Theorem indval 9296

Description: Value of the indicator function generator for a set A and a domain O, i.e., an indicator function for a given domain O and a given subset A of the domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indval	|- ( ( O e. V /\ A C_ O ) -> ( (𝟭 ` O ) ` A ) = ( x e. O |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) ) )

Distinct variable groups:   x, O   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem indval

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indv 9295	. . 3 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) = ( a e. ~P O |-> ( x e. O |-> if ( x e. a , 1 , 0 ) ) ) )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( O e. V /\ A C_ O ) -> (𝟭 ` O ) = ( a e. ~P O |-> ( x e. O |-> if ( x e. a , 1 , 0 ) ) ) )
3		eleq2 2302	. . . . 5 |- ( a = A -> ( x e. a <-> x e. A ) )
4	3	ifbid 3662	. . . 4 |- ( a = A -> if ( x e. a , 1 , 0 ) = if ( x e. A , 1 , 0 ) )
5	4	mpteq2dv 4222	. . 3 |- ( a = A -> ( x e. O |-> if ( x e. a , 1 , 0 ) ) = ( x e. O |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) ) )
6	5	adantl 277	. 2 |- ( ( ( O e. V /\ A C_ O ) /\ a = A ) -> ( x e. O |-> if ( x e. a , 1 , 0 ) ) = ( x e. O |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) ) )
7		ssexg 4272	. . . 4 |- ( ( A C_ O /\ O e. V ) -> A e. _V )
8	7	ancoms 268	. . 3 |- ( ( O e. V /\ A C_ O ) -> A e. _V )
9		simpr 110	. . 3 |- ( ( O e. V /\ A C_ O ) -> A C_ O )
10	8, 9	elpwd 3697	. 2 |- ( ( O e. V /\ A C_ O ) -> A e. ~P O )
11		mptexg 5942	. . 3 |- ( O e. V -> ( x e. O |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) ) e. _V )
12	11	adantr 276	. 2 |- ( ( O e. V /\ A C_ O ) -> ( x e. O |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) ) e. _V )
13	2, 6, 10, 12	fvmptd 5786	1 |- ( ( O e. V /\ A C_ O ) -> ( (𝟭 ` O ) ` A ) = ( x e. O |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   ifcif 3638   ~Pcpw 3688   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377   0cc0 8179   1c1 8180  𝟭cind 9293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ind 9294

This theorem is used by:  indfdc  9298  indfval  9299  indconst0  9302  indconst1  9303