Theorem fvmptd3 5468

Description: Deduction version of fvmpt 5452. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptd3.1	|- F = ( x e. D |-> B )
fvmptd3.2	|- ( x = A -> B = C )
fvmptd3.3	|- ( ph -> A e. D )
fvmptd3.4	|- ( ph -> C e. V )

Assertion

Ref	Expression
fvmptd3	|- ( ph -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem fvmptd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptd3.3	. 2 |- ( ph -> A e. D )
2		fvmptd3.4	. 2 |- ( ph -> C e. V )
3		nfcv 2255	. . 3 |- F/_ x A
4		nfcv 2255	. . 3 |- F/_ x C
5		fvmptd3.2	. . 3 |- ( x = A -> B = C )
6		fvmptd3.1	. . 3 |- F = ( x e. D |-> B )
7	3, 4, 5, 6	fvmptf 5467	. 2 |- ( ( A e. D /\ C e. V ) -> ( F ` A ) = C )
8	1, 2, 7	syl2anc 406	1 |- ( ph -> ( F ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1314   e. wcel 1463   |-> cmpt 3949   ` cfv 5081

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089

This theorem is referenced by:  ofvalg  5945  fival  6810  inl11  6902  djuss  6907  ctmlemr  6945  ctssdclemn0  6947  ctssdc  6950  enumctlemm  6951  fodjum  6968  fodju0  6969  ismkvnex  6979  xrnegiso  10920  summodclem3  11038  fsumf1o  11048  fsum3ser  11055  fsumadd  11064  sumsnf  11067  ennnfonelemjn  11757  ennnfonelemp1  11761  ctiunctlemfo  11792  ntrval  12119  clsval  12120  cnpval  12206  upxp  12280  uptx  12282  txlm  12287  cnmpt11  12291  cnmpt21  12299  ispsmet  12309  mopnval  12428  bdxmet  12487  cncfmptc  12565  cncfmptid  12566  addccncf  12569  negcncf  12571  limcmpted  12585  cnmptlimc  12596  subctctexmid  12880  nninffeq  12900  trilpolemclim  12913  trilpolemcl  12914  trilpolemisumle  12915  trilpolemeq1  12917  trilpolemlt1  12918