Theorem fvmptd3 5658

Description: Deduction version of fvmpt 5641. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptd3.1	|- F = ( x e. D |-> B )
fvmptd3.2	|- ( x = A -> B = C )
fvmptd3.3	|- ( ph -> A e. D )
fvmptd3.4	|- ( ph -> C e. V )

Assertion

Ref	Expression
fvmptd3	|- ( ph -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem fvmptd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptd3.3	. 2 |- ( ph -> A e. D )
2		fvmptd3.4	. 2 |- ( ph -> C e. V )
3		nfcv 2339	. . 3 |- F/_ x A
4		nfcv 2339	. . 3 |- F/_ x C
5		fvmptd3.2	. . 3 |- ( x = A -> B = C )
6		fvmptd3.1	. . 3 |- F = ( x e. D |-> B )
7	3, 4, 5, 6	fvmptf 5657	. 2 |- ( ( A e. D /\ C e. V ) -> ( F ` A ) = C )
8	1, 2, 7	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( F ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  ofvalg  6149  pw2f1odclem  6904  fival  7045  inl11  7140  djuss  7145  ctmlemr  7183  ctssdclemn0  7185  ctssdc  7188  enumctlemm  7189  nninfisollemne  7206  nninfisol  7208  fodjum  7221  fodju0  7222  ismkvnex  7230  nninfwlporlemd  7247  nninfwlpoimlemg  7250  nninfwlpoimlemginf  7251  cc2lem  7349  seqf1oglem2  10629  seqf1og  10630  xrnegiso  11444  summodclem3  11562  fsumf1o  11572  fsum3ser  11579  fsumadd  11588  sumsnf  11591  prodfdivap  11729  prodmodclem3  11757  prodmodclem2a  11758  fprodseq  11765  fprodf1o  11770  prodsnf  11774  fprodshft  11800  fprodrev  11801  nninfctlemfo  12232  eulerthlemh  12424  eulerthlemth  12425  phisum  12434  1arithlem2  12558  ennnfonelemjn  12644  ennnfonelemp1  12648  ctiunctlemfo  12681  nninfdclemf  12691  nninfdclemp1  12692  ptex  12966  prdsplusgfval  12986  prdsmulrfval  12988  divsfval  13030  divsfvalg  13031  plusffvalg  13064  grpidvalg  13075  issubm  13174  gsumfzz  13197  grpinvfvalg  13244  grpinvval  13245  grpsubfvalg  13247  grplactfval  13303  prdsinvlem  13310  mulgfvalg  13327  issubg  13379  subgex  13382  isnsg  13408  conjghm  13482  conjnmz  13485  qusghm  13488  gsumfzconst  13547  gsumfzmhm2  13550  mgpvalg  13555  srglmhm  13625  srgrmhm  13626  ringlghm  13693  ringrghm  13694  opprvalg  13701  reldvdsrsrg  13724  dvdsrvald  13725  isunitd  13738  invrfvald  13754  dvrfvald  13765  issubrng  13831  issubrg  13853  rrgval  13894  aprval  13914  aprap  13918  scaffvalg  13938  lsssetm  13988  lspfval  14020  lspval  14022  sraval  14069  rlmvalg  14086  2idlvalg  14135  expghmap  14239  mulgghm2  14240  mulgrhm  14241  zrhvalg  14250  zrhmulg  14252  zlmval  14259  znval  14268  znzrhval  14279  ntrval  14430  clsval  14431  cnpval  14518  upxp  14592  uptx  14594  txlm  14599  cnmpt11  14603  cnmpt21  14611  ispsmet  14643  mopnval  14762  bdxmet  14821  cncfmptc  14916  cncfmptid  14917  addccncf  14920  negcncf  14925  ivthdec  14964  ivthreinc  14965  hovera  14967  hoverb  14968  hoverlt1  14969  hovergt0  14970  limcmpted  14983  cnmptlimc  14994  dvrecap  15033  dveflem  15046  dvef  15047  plyval  15052  plycoeid3  15077  plyrecj  15083  sgmppw  15312  lgsval  15329  lgsfvalg  15330  lgsdir  15360  lgsdilem2  15361  lgsdi  15362  lgsne0  15363  gausslemma2dlem1f1o  15385  gausslemma2dlem4  15389  lgseisenlem2  15396  2lgslem1b  15414  2omap  15726  subctctexmid  15731  nninffeq  15751  trilpolemclim  15767  trilpolemcl  15768  trilpolemisumle  15769  trilpolemeq1  15771  trilpolemlt1  15772  iswomni0  15782  dceqnconst  15791  dcapnconst  15792  nconstwlpolemgt0  15795