Theorem fvmptd3 5673

Description: Deduction version of fvmpt 5656. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptd3.1	|- F = ( x e. D |-> B )
fvmptd3.2	|- ( x = A -> B = C )
fvmptd3.3	|- ( ph -> A e. D )
fvmptd3.4	|- ( ph -> C e. V )

Assertion

Ref	Expression
fvmptd3	|- ( ph -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem fvmptd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptd3.3	. 2 |- ( ph -> A e. D )
2		fvmptd3.4	. 2 |- ( ph -> C e. V )
3		nfcv 2348	. . 3 |- F/_ x A
4		nfcv 2348	. . 3 |- F/_ x C
5		fvmptd3.2	. . 3 |- ( x = A -> B = C )
6		fvmptd3.1	. . 3 |- F = ( x e. D |-> B )
7	3, 4, 5, 6	fvmptf 5672	. 2 |- ( ( A e. D /\ C e. V ) -> ( F ` A ) = C )
8	1, 2, 7	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( F ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   |-> cmpt 4105   ` cfv 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279

This theorem is referenced by:  ofvalg  6168  pw2f1odclem  6931  fival  7072  inl11  7167  djuss  7172  ctmlemr  7210  ctssdclemn0  7212  ctssdc  7215  enumctlemm  7216  nninfisollemne  7233  nninfisol  7235  fodjum  7248  fodju0  7249  ismkvnex  7257  nninfwlporlemd  7274  nninfwlpoimlemg  7277  nninfwlpoimlemginf  7278  cc2lem  7378  seqf1oglem2  10665  seqf1og  10666  lswwrd  11040  swrdfv  11106  xrnegiso  11573  summodclem3  11691  fsumf1o  11701  fsum3ser  11708  fsumadd  11717  sumsnf  11720  prodfdivap  11858  prodmodclem3  11886  prodmodclem2a  11887  fprodseq  11894  fprodf1o  11899  prodsnf  11903  fprodshft  11929  fprodrev  11930  nninfctlemfo  12361  eulerthlemh  12553  eulerthlemth  12554  phisum  12563  1arithlem2  12687  ennnfonelemjn  12773  ennnfonelemp1  12777  ctiunctlemfo  12810  nninfdclemf  12820  nninfdclemp1  12821  ptex  13096  prdsplusgfval  13116  prdsmulrfval  13118  divsfval  13160  divsfvalg  13161  plusffvalg  13194  grpidvalg  13205  issubm  13304  gsumfzz  13327  grpinvfvalg  13374  grpinvval  13375  grpsubfvalg  13377  grplactfval  13433  prdsinvlem  13440  mulgfvalg  13457  issubg  13509  subgex  13512  isnsg  13538  conjghm  13612  conjnmz  13615  qusghm  13618  gsumfzconst  13677  gsumfzmhm2  13680  mgpvalg  13685  srglmhm  13755  srgrmhm  13756  ringlghm  13823  ringrghm  13824  opprvalg  13831  reldvdsrsrg  13854  dvdsrvald  13855  isunitd  13868  invrfvald  13884  dvrfvald  13895  issubrng  13961  issubrg  13983  rrgval  14024  aprval  14044  aprap  14048  scaffvalg  14068  lsssetm  14118  lspfval  14150  lspval  14152  sraval  14199  rlmvalg  14216  2idlvalg  14265  expghmap  14369  mulgghm2  14370  mulgrhm  14371  zrhvalg  14380  zrhmulg  14382  zlmval  14389  znval  14398  znzrhval  14409  ntrval  14582  clsval  14583  cnpval  14670  upxp  14744  uptx  14746  txlm  14751  cnmpt11  14755  cnmpt21  14763  ispsmet  14795  mopnval  14914  bdxmet  14973  cncfmptc  15068  cncfmptid  15069  addccncf  15072  negcncf  15077  ivthdec  15116  ivthreinc  15117  hovera  15119  hoverb  15120  hoverlt1  15121  hovergt0  15122  limcmpted  15135  cnmptlimc  15146  dvrecap  15185  dveflem  15198  dvef  15199  plyval  15204  plycoeid3  15229  plyrecj  15235  sgmppw  15464  lgsval  15481  lgsfvalg  15482  lgsdir  15512  lgsdilem2  15513  lgsdi  15514  lgsne0  15515  gausslemma2dlem1f1o  15537  gausslemma2dlem4  15541  lgseisenlem2  15548  2lgslem1b  15566  vtxvalg  15615  iedgvalg  15616  edgopval  15654  edgstruct  15656  2omap  15932  subctctexmid  15937  nninffeq  15957  nnnninfex  15959  trilpolemclim  15975  trilpolemcl  15976  trilpolemisumle  15977  trilpolemeq1  15979  trilpolemlt1  15980  iswomni0  15990  dceqnconst  15999  dcapnconst  16000  nconstwlpolemgt0  16003