Theorem fvmptd3 5514

Description: Deduction version of fvmpt 5498. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptd3.1	|- F = ( x e. D |-> B )
fvmptd3.2	|- ( x = A -> B = C )
fvmptd3.3	|- ( ph -> A e. D )
fvmptd3.4	|- ( ph -> C e. V )

Assertion

Ref	Expression
fvmptd3	|- ( ph -> ( F ` A ) = C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   x, D

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   F( x)   V( x)

Proof of Theorem fvmptd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptd3.3	. 2 |- ( ph -> A e. D )
2		fvmptd3.4	. 2 |- ( ph -> C e. V )
3		nfcv 2281	. . 3 |- F/_ x A
4		nfcv 2281	. . 3 |- F/_ x C
5		fvmptd3.2	. . 3 |- ( x = A -> B = C )
6		fvmptd3.1	. . 3 |- F = ( x e. D |-> B )
7	3, 4, 5, 6	fvmptf 5513	. 2 |- ( ( A e. D /\ C e. V ) -> ( F ` A ) = C )
8	1, 2, 7	syl2anc 408	1 |- ( ph -> ( F ` A ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   |-> cmpt 3989   ` cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  ofvalg  5991  fival  6858  inl11  6950  djuss  6955  ctmlemr  6993  ctssdclemn0  6995  ctssdc  6998  enumctlemm  6999  fodjum  7018  fodju0  7019  ismkvnex  7029  xrnegiso  11031  summodclem3  11149  fsumf1o  11159  fsum3ser  11166  fsumadd  11175  sumsnf  11178  prodfdivap  11316  prodmodclem3  11344  prodmodclem2a  11345  ennnfonelemjn  11915  ennnfonelemp1  11919  ctiunctlemfo  11952  ntrval  12279  clsval  12280  cnpval  12367  upxp  12441  uptx  12443  txlm  12448  cnmpt11  12452  cnmpt21  12460  ispsmet  12492  mopnval  12611  bdxmet  12670  cncfmptc  12751  cncfmptid  12752  addccncf  12755  negcncf  12757  ivthdec  12791  limcmpted  12801  cnmptlimc  12812  dvrecap  12846  dveflem  12855  dvef  12856  subctctexmid  13196  nninffeq  13216  trilpolemclim  13229  trilpolemcl  13230  trilpolemisumle  13231  trilpolemeq1  13233  trilpolemlt1  13234