Theorem infssuzledc 11883

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssuzledc.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
infssuzledc.s	|- S = { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps }
infssuzledc.a	|- ( ph -> A e. S )
infssuzledc.dc	|- ( ( ph /\ n e. ( M ... A ) ) -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
infssuzledc	|- ( ph -> inf ( S , RR , < ) <_ A )

Distinct variable groups:   A, n   n, M   ph, n

Allowed substitution hints:   ps( n)   S( n)

Proof of Theorem infssuzledc

Dummy variables y a b x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 7978	. . . 4 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( a = b <-> ( -. a < b /\ -. b < a ) ) )
2	1	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( a = b <-> ( -. a < b /\ -. b < a ) ) )
3		infssuzledc.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		infssuzledc.s	. . . 4 |- S = { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps }
5		infssuzledc.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
6		infssuzledc.dc	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... A ) ) -> DECID ps )
7	3, 4, 5, 6	infssuzex 11882	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. S -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. S z < y ) ) )
8	2, 7	infclti 6988	. 2 |- ( ph -> inf ( S , RR , < ) e. RR )
9		elrabi 2879	. . . 4 |- ( A e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } -> A e. ( ZZ>= ` M ) )
10	9, 4	eleq2s 2261	. . 3 |- ( A e. S -> A e. ( ZZ>= ` M ) )
11		eluzelre 9476	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` M ) -> A e. RR )
12	5, 10, 11	3syl 17	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
13	2, 7	inflbti 6989	. . 3 |- ( ph -> ( A e. S -> -. A < inf ( S , RR , < ) ) )
14	5, 13	mpd 13	. 2 |- ( ph -> -. A < inf ( S , RR , < ) )
15	8, 12, 14	nltled 8019	1 |- ( ph -> inf ( S , RR , < ) <_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   {crab 2448   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842  infcinf 6948   RRcr 7752   < clt 7933   <_ cle 7934   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-fz 9945  df-fzo 10078

This theorem is referenced by:  zsupssdc  11887  nnminle  11968  lcmledvds  12002  odzdvds  12177