ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infssuzledc Unicode version

Theorem infssuzledc 11484
Description: The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
infssuzledc.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
infssuzledc.s  |-  S  =  { n  e.  (
ZZ>= `  M )  |  ps }
infssuzledc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
infssuzledc.dc  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... A ) )  -> DECID  ps )
Assertion
Ref Expression
infssuzledc  |-  ( ph  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  A
)
Distinct variable groups:    A, n    n, M    ph, n
Allowed substitution hints:    ps( n)    S( n)

Proof of Theorem infssuzledc
Dummy variables  y  a  b  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lttri3 7760 . . . 4  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( a  =  b  <-> 
( -.  a  < 
b  /\  -.  b  <  a ) ) )
21adantl 273 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  -> 
( a  =  b  <-> 
( -.  a  < 
b  /\  -.  b  <  a ) ) )
3 infssuzledc.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 infssuzledc.s . . . 4  |-  S  =  { n  e.  (
ZZ>= `  M )  |  ps }
5 infssuzledc.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
6 infssuzledc.dc . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... A ) )  -> DECID  ps )
73, 4, 5, 6infssuzex 11483 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) ) )
82, 7infclti 6859 . 2  |-  ( ph  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
9 elrabi 2804 . . . 4  |-  ( A  e.  { n  e.  ( ZZ>= `  M )  |  ps }  ->  A  e.  ( ZZ>= `  M )
)
109, 4eleq2s 2207 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  A  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 eluzelre 9231 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  A  e.  RR )
125, 10, 113syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
132, 7inflbti 6860 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  ->  -.  A  < inf ( S ,  RR ,  <  ) ) )
145, 13mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  -.  A  < inf ( S ,  RR ,  <  ) )
158, 12, 14nltled 7799 1  |-  ( ph  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 802    = wceq 1312    e. wcel 1461   {crab 2392   class class class wbr 3893   ` cfv 5079  (class class class)co 5726  infcinf 6819   RRcr 7539    < clt 7717    <_ cle 7718   ZZcz 8951   ZZ>=cuz 9221   ...cfz 9676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-addcom 7638  ax-addass 7640  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5989  df-2nd 5990  df-sup 6820  df-inf 6821  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-inn 8624  df-n0 8875  df-z 8952  df-uz 9222  df-fz 9677  df-fzo 9806
This theorem is referenced by:  lcmledvds  11590
  Copyright terms: Public domain W3C validator