Theorem infssuzledc 10377

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssuzledc.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
infssuzledc.s	|- S = { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps }
infssuzledc.a	|- ( ph -> A e. S )
infssuzledc.dc	|- ( ( ph /\ n e. ( M ... A ) ) -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
infssuzledc	|- ( ph -> inf ( S , RR , < ) <_ A )

Distinct variable groups:   A, n   n, M   ph, n

Allowed substitution hints:   ps( n)   S( n)

Proof of Theorem infssuzledc

Dummy variables y a b x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 8152	. . . 4 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( a = b <-> ( -. a < b /\ -. b < a ) ) )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( a = b <-> ( -. a < b /\ -. b < a ) ) )
3		infssuzledc.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		infssuzledc.s	. . . 4 |- S = { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps }
5		infssuzledc.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
6		infssuzledc.dc	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... A ) ) -> DECID ps )
7	3, 4, 5, 6	infssuzex 10376	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. S -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. S z < y ) ) )
8	2, 7	infclti 7125	. 2 |- ( ph -> inf ( S , RR , < ) e. RR )
9		elrabi 2926	. . . 4 |- ( A e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } -> A e. ( ZZ>= ` M ) )
10	9, 4	eleq2s 2300	. . 3 |- ( A e. S -> A e. ( ZZ>= ` M ) )
11		eluzelre 9658	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` M ) -> A e. RR )
12	5, 10, 11	3syl 17	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
13	2, 7	inflbti 7126	. . 3 |- ( ph -> ( A e. S -> -. A < inf ( S , RR , < ) ) )
14	5, 13	mpd 13	. 2 |- ( ph -> -. A < inf ( S , RR , < ) )
15	8, 12, 14	nltled 8193	1 |- ( ph -> inf ( S , RR , < ) <_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2176   {crab 2488   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944  infcinf 7085   RRcr 7924   < clt 8107   <_ cle 8108   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648   ...cfz 10130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265

This theorem is referenced by:  zsupssdc  10381  bitsfzolem  12265  nnminle  12356  nninfctlemfo  12361  lcmledvds  12392  odzdvds  12568  4sqlem13m  12726  4sqlem17  12730