ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  infssuzledc Unicode version

Theorem infssuzledc 10726
Description: The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
infssuzledc.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
infssuzledc.s  |-  S  =  { n  e.  (
ZZ>= `  M )  |  ps }
infssuzledc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
infssuzledc.dc  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... A ) )  -> DECID  ps )
Assertion
Ref Expression
infssuzledc  |-  ( ph  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  A
)
Distinct variable groups:    A, n    n, M    ph, n
Allowed substitution hints:    ps( n)    S( n)

Proof of Theorem infssuzledc
Dummy variables  y  a  b  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lttri3 7468 . . . 4  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( a  =  b  <-> 
( -.  a  < 
b  /\  -.  b  <  a ) ) )
21adantl 271 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR ) )  -> 
( a  =  b  <-> 
( -.  a  < 
b  /\  -.  b  <  a ) ) )
3 infssuzledc.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
4 infssuzledc.s . . . 4  |-  S  =  { n  e.  (
ZZ>= `  M )  |  ps }
5 infssuzledc.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
6 infssuzledc.dc . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( M ... A ) )  -> DECID  ps )
73, 4, 5, 6infssuzex 10725 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  S  -.  y  <  x  /\  A. y  e.  RR  (
x  <  y  ->  E. z  e.  S  z  <  y ) ) )
82, 7infclti 6625 . 2  |-  ( ph  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
9 elrabi 2756 . . . 4  |-  ( A  e.  { n  e.  ( ZZ>= `  M )  |  ps }  ->  A  e.  ( ZZ>= `  M )
)
109, 4eleq2s 2177 . . 3  |-  ( A  e.  S  ->  A  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 eluzelre 8924 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  A  e.  RR )
125, 10, 113syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
132, 7inflbti 6626 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  ->  -.  A  < inf ( S ,  RR ,  <  ) ) )
145, 13mpd 13 . 2  |-  ( ph  ->  -.  A  < inf ( S ,  RR ,  <  ) )
158, 12, 14nltled 7507 1  |-  ( ph  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103  DECID wdc 776    = wceq 1285    e. wcel 1434   {crab 2357   class class class wbr 3811   ` cfv 4969  (class class class)co 5591  infcinf 6585   RRcr 7252    < clt 7425    <_ cle 7426   ZZcz 8646   ZZ>=cuz 8914   ...cfz 9319
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-addcom 7348  ax-addass 7350  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-sup 6586  df-inf 6587  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-inn 8317  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-fz 9320  df-fzo 9444
This theorem is referenced by:  lcmledvds  10832
  Copyright terms: Public domain W3C validator