Theorem infssuzledc 10645

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssuzledc.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
infssuzledc.s	|- S = { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps }
infssuzledc.a	|- ( ph -> A e. S )
infssuzledc.dc	|- ( ( ph /\ n e. ( M ... A ) ) -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
infssuzledc	|- ( ph -> inf ( S , RR , < ) <_ A )

Distinct variable groups:   A, n   n, M   ph, n

Allowed substitution hints:   ps( n)   S( n)

Proof of Theorem infssuzledc

Dummy variables y a b x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 8395	. . . 4 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( a = b <-> ( -. a < b /\ -. b < a ) ) )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( a = b <-> ( -. a < b /\ -. b < a ) ) )
3		infssuzledc.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		infssuzledc.s	. . . 4 |- S = { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps }
5		infssuzledc.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
6		infssuzledc.dc	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... A ) ) -> DECID ps )
7	3, 4, 5, 6	infssuzex 10644	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. S -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. S z < y ) ) )
8	2, 7	infclti 7353	. 2 |- ( ph -> inf ( S , RR , < ) e. RR )
9		elrabi 2979	. . . 4 |- ( A e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } -> A e. ( ZZ>= ` M ) )
10	9, 4	eleq2s 2333	. . 3 |- ( A e. S -> A e. ( ZZ>= ` M ) )
11		eluzelre 9911	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` M ) -> A e. RR )
12	5, 10, 11	3syl 17	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
13	2, 7	inflbti 7354	. . 3 |- ( ph -> ( A e. S -> -. A < inf ( S , RR , < ) ) )
14	5, 13	mpd 13	. 2 |- ( ph -> -. A < inf ( S , RR , < ) )
15	8, 12, 14	nltled 8437	1 |- ( ph -> inf ( S , RR , < ) <_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075  infcinf 7313   RRcr 8168   < clt 8350   <_ cle 8351   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528

This theorem is referenced by:  infssfzledc  10648  zsupssdc  10651  bitsfzolem  12699  nnminle  12790  nninfctlemfo  12795  lcmledvds  12826  odzdvds  13002  4sqlem13m  13160  4sqlem17  13164