Theorem infssuzledc 10684

Description: The infimum of a subset of an upper set of integers is less than or equal to all members of the subset. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
infssuzledc.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
infssuzledc.s	|- S = { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps }
infssuzledc.a	|- ( ph -> A e. S )
infssuzledc.dc	|- ( ( ph /\ n e. ( M ... A ) ) -> DECID ps )

Assertion

Ref	Expression
infssuzledc	|- ( ph -> inf ( S , RR , < ) <_ A )

Distinct variable groups:   A, n   n, M   ph, n

Allowed substitution hints:   ps( n)   S( n)

Proof of Theorem infssuzledc

Dummy variables y a b x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 8411	. . . 4 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( a = b <-> ( -. a < b /\ -. b < a ) ) )
2	1	adantl 277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( a = b <-> ( -. a < b /\ -. b < a ) ) )
3		infssuzledc.m	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		infssuzledc.s	. . . 4 |- S = { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps }
5		infssuzledc.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. S )
6		infssuzledc.dc	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... A ) ) -> DECID ps )
7	3, 4, 5, 6	infssuzex 10683	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. S -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. S z < y ) ) )
8	2, 7	infclti 7369	. 2 |- ( ph -> inf ( S , RR , < ) e. RR )
9		elrabi 2979	. . . 4 |- ( A e. { n e. ( ZZ>= ` M ) | ps } -> A e. ( ZZ>= ` M ) )
10	9, 4	eleq2s 2333	. . 3 |- ( A e. S -> A e. ( ZZ>= ` M ) )
11		eluzelre 9948	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` M ) -> A e. RR )
12	5, 10, 11	3syl 17	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
13	2, 7	inflbti 7370	. . 3 |- ( ph -> ( A e. S -> -. A < inf ( S , RR , < ) ) )
14	5, 13	mpd 13	. 2 |- ( ph -> -. A < inf ( S , RR , < ) )
15	8, 12, 14	nltled 8454	1 |- ( ph -> inf ( S , RR , < ) <_ A )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088  infcinf 7329   RRcr 8184   < clt 8366   <_ cle 8367   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   ...cfz 10428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567

This theorem is used by:  infssfzledc  10687  zsupssdc  10690  bitsfzolem  12746  nnminle  12837  nninfctlemfo  12842  lcmledvds  12873  odzdvds  13053  4sqlem13m  13211  4sqlem17  13215