Theorem supubti 7339

Description: A supremum is an upper bound. See also supclti 7338 and suplubti 7340.

This proof demonstrates how to expand an iota-based definition (df-iota 5337) using riotacl2 6053.

(Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
supclti.2	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supubti	|- ( ph -> ( C e. B -> -. sup ( B , A , R ) R C ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, x   y, A, x, z   x, B, y, z   u, R, v, x   y, R, z   ph, u, v, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( v, u)   C( x, y, z, v, u)

Proof of Theorem supubti

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> A. y e. B -. x R y )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. A -> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> A. y e. B -. x R y ) )
3	2	ss2rabi 3330	. . 3 |- { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } C_ { x e. A | A. y e. B -. x R y }
4		supmoti.ti	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
5		supclti.2	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
6	4, 5	supval2ti 7335	. . . 4 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
7	4, 5	supeuti 7334	. . . . 5 |- ( ph -> E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
8		riotacl2 6053	. . . . 5 |- ( E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
10	6, 9	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
11	3, 10	sselid 3246	. 2 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. y e. B -. x R y } )
12		breq2 4134	. . . . . . 7 |- ( y = w -> ( x R y <-> x R w ) )
13	12	notbid 677	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( -. x R y <-> -. x R w ) )
14	13	cbvralv 2786	. . . . 5 |- ( A. y e. B -. x R y <-> A. w e. B -. x R w )
15		breq1 4133	. . . . . . 7 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( x R w <-> sup ( B , A , R ) R w ) )
16	15	notbid 677	. . . . . 6 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( -. x R w <-> -. sup ( B , A , R ) R w ) )
17	16	ralbidv 2550	. . . . 5 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( A. w e. B -. x R w <-> A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w ) )
18	14, 17	bitrid 192	. . . 4 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( A. y e. B -. x R y <-> A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w ) )
19	18	elrab 2982	. . 3 |- ( sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. y e. B -. x R y } <-> ( sup ( B , A , R ) e. A /\ A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w ) )
20	19	simprbi 275	. 2 |- ( sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. y e. B -. x R y } -> A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w )
21		breq2 4134	. . . 4 |- ( w = C -> ( sup ( B , A , R ) R w <-> sup ( B , A , R ) R C ) )
22	21	notbid 677	. . 3 |- ( w = C -> ( -. sup ( B , A , R ) R w <-> -. sup ( B , A , R ) R C ) )
23	22	rspccv 2926	. 2 |- ( A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w -> ( C e. B -> -. sup ( B , A , R ) R C ) )
24	11, 20, 23	3syl 17	1 |- ( ph -> ( C e. B -> -. sup ( B , A , R ) R C ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   E!wreu 2530   {crab 2532   class class class wbr 4130   iota_crio 6037   supcsup 7322

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-riota 6038  df-sup 7324

This theorem is used by:  suplub2ti  7341  supisoti  7350  inflbti  7364  suprubex  9281  zsupcl  10664  dvdslegcd  12741