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Theorem supubti 6976
Description: A supremum is an upper bound. See also supclti 6975 and suplubti 6977.

This proof demonstrates how to expand an iota-based definition (df-iota 5160) using riotacl2 5822.

(Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2021.)

Hypotheses
Ref Expression
supmoti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
supclti.2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Assertion
Ref Expression
supubti  |-  ( ph  ->  ( C  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  A ,  R
) R C ) )
Distinct variable groups:    u, A, v, x    y, A, x, z    x, B, y, z    u, R, v, x    y, R, z    ph, u, v, x
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( v, u)    C( x, y, z, v, u)

Proof of Theorem supubti
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  A. y  e.  B  -.  x R y )
21a1i 9 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  ->  A. y  e.  B  -.  x R y ) )
32ss2rabi 3229 . . 3  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  C_  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y }
4 supmoti.ti . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
5 supclti.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
64, 5supval2ti 6972 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
74, 5supeuti 6971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
8 riotacl2 5822 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
97, 8syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
106, 9eqeltrd 2247 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
113, 10sselid 3145 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y } )
12 breq2 3993 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  (
x R y  <->  x R w ) )
1312notbid 662 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R w ) )
1413cbvralv 2696 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. w  e.  B  -.  x R w )
15 breq1 3992 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( x R w  <->  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1615notbid 662 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( -.  x R w  <->  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1716ralbidv 2470 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( A. w  e.  B  -.  x R w  <->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1814, 17syl5bb 191 . . . 4  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1918elrab 2886 . . 3  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y }  <-> 
( sup ( B ,  A ,  R
)  e.  A  /\  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
2019simprbi 273 . 2  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y }  ->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w )
21 breq2 3993 . . . 4  |-  ( w  =  C  ->  ( sup ( B ,  A ,  R ) R w  <->  sup ( B ,  A ,  R ) R C ) )
2221notbid 662 . . 3  |-  ( w  =  C  ->  ( -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w  <->  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R C ) )
2322rspccv 2831 . 2  |-  ( A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w  ->  ( C  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R C ) )
2411, 20, 233syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  A ,  R
) R C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   E!wreu 2450   {crab 2452   class class class wbr 3989   iota_crio 5808   supcsup 6959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-iota 5160  df-riota 5809  df-sup 6961
This theorem is referenced by:  suplub2ti  6978  supisoti  6987  inflbti  7001  suprubex  8867  zsupcl  11902  dvdslegcd  11919
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