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Theorem supubti 6774
Description: A supremum is an upper bound. See also supclti 6773 and suplubti 6775.

This proof demonstrates how to expand an iota-based definition (df-iota 5014) using riotacl2 5659.

(Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2021.)

Hypotheses
Ref Expression
supmoti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
supclti.2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Assertion
Ref Expression
supubti  |-  ( ph  ->  ( C  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  A ,  R
) R C ) )
Distinct variable groups:    u, A, v, x    y, A, x, z    x, B, y, z    u, R, v, x    y, R, z    ph, u, v, x
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( v, u)    C( x, y, z, v, u)

Proof of Theorem supubti
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  A. y  e.  B  -.  x R y )
21a1i 9 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  ->  A. y  e.  B  -.  x R y ) )
32ss2rabi 3118 . . 3  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  C_  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y }
4 supmoti.ti . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
5 supclti.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
64, 5supval2ti 6770 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
74, 5supeuti 6769 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
8 riotacl2 5659 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
97, 8syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
106, 9eqeltrd 2171 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
113, 10sseldi 3037 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y } )
12 breq2 3871 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  (
x R y  <->  x R w ) )
1312notbid 630 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R w ) )
1413cbvralv 2604 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. w  e.  B  -.  x R w )
15 breq1 3870 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( x R w  <->  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1615notbid 630 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( -.  x R w  <->  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1716ralbidv 2391 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( A. w  e.  B  -.  x R w  <->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1814, 17syl5bb 191 . . . 4  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1918elrab 2785 . . 3  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y }  <-> 
( sup ( B ,  A ,  R
)  e.  A  /\  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
2019simprbi 270 . 2  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y }  ->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w )
21 breq2 3871 . . . 4  |-  ( w  =  C  ->  ( sup ( B ,  A ,  R ) R w  <->  sup ( B ,  A ,  R ) R C ) )
2221notbid 630 . . 3  |-  ( w  =  C  ->  ( -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w  <->  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R C ) )
2322rspccv 2733 . 2  |-  ( A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w  ->  ( C  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R C ) )
2411, 20, 233syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  A ,  R
) R C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1296    e. wcel 1445   A.wral 2370   E.wrex 2371   E!wreu 2372   {crab 2374   class class class wbr 3867   iota_crio 5645   supcsup 6757
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-iota 5014  df-riota 5646  df-sup 6759
This theorem is referenced by:  suplub2ti  6776  supisoti  6785  inflbti  6799  suprubex  8509  zsupcl  11370  dvdslegcd  11383
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