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Theorem supubti 7032
Description: A supremum is an upper bound. See also supclti 7031 and suplubti 7033.

This proof demonstrates how to expand an iota-based definition (df-iota 5199) using riotacl2 5869.

(Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2021.)

Hypotheses
Ref Expression
supmoti.ti  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
supclti.2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Assertion
Ref Expression
supubti  |-  ( ph  ->  ( C  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  A ,  R
) R C ) )
Distinct variable groups:    u, A, v, x    y, A, x, z    x, B, y, z    u, R, v, x    y, R, z    ph, u, v, x
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    B( v, u)    C( x, y, z, v, u)

Proof of Theorem supubti
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  A. y  e.  B  -.  x R y )
21a1i 9 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  ->  A. y  e.  B  -.  x R y ) )
32ss2rabi 3252 . . 3  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  C_  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y }
4 supmoti.ti . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  A  /\  v  e.  A ) )  -> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) )
5 supclti.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
64, 5supval2ti 7028 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
74, 5supeuti 7027 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
8 riotacl2 5869 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
97, 8syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
106, 9eqeltrd 2266 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
113, 10sselid 3168 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  { x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y } )
12 breq2 4025 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  (
x R y  <->  x R w ) )
1312notbid 668 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x R w ) )
1413cbvralv 2718 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. w  e.  B  -.  x R w )
15 breq1 4024 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( x R w  <->  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1615notbid 668 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( -.  x R w  <->  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1716ralbidv 2490 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( A. w  e.  B  -.  x R w  <->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1814, 17bitrid 192 . . . 4  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
1918elrab 2908 . . 3  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y }  <-> 
( sup ( B ,  A ,  R
)  e.  A  /\  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w ) )
2019simprbi 275 . 2  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  {
x  e.  A  |  A. y  e.  B  -.  x R y }  ->  A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w )
21 breq2 4025 . . . 4  |-  ( w  =  C  ->  ( sup ( B ,  A ,  R ) R w  <->  sup ( B ,  A ,  R ) R C ) )
2221notbid 668 . . 3  |-  ( w  =  C  ->  ( -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w  <->  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R C ) )
2322rspccv 2853 . 2  |-  ( A. w  e.  B  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R w  ->  ( C  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  A ,  R ) R C ) )
2411, 20, 233syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  B  ->  -.  sup ( B ,  A ,  R
) R C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   E!wreu 2470   {crab 2472   class class class wbr 4021   iota_crio 5854   supcsup 7015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-iota 5199  df-riota 5855  df-sup 7017
This theorem is referenced by:  suplub2ti  7034  supisoti  7043  inflbti  7057  suprubex  8943  zsupcl  11989  dvdslegcd  12006
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