Theorem supubti 7241

Description: A supremum is an upper bound. See also supclti 7240 and suplubti 7242.

This proof demonstrates how to expand an iota-based definition (df-iota 5293) using riotacl2 5996.

(Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
supclti.2	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supubti	|- ( ph -> ( C e. B -> -. sup ( B , A , R ) R C ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, x   y, A, x, z   x, B, y, z   u, R, v, x   y, R, z   ph, u, v, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( v, u)   C( x, y, z, v, u)

Proof of Theorem supubti

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> A. y e. B -. x R y )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. A -> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> A. y e. B -. x R y ) )
3	2	ss2rabi 3310	. . 3 |- { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } C_ { x e. A | A. y e. B -. x R y }
4		supmoti.ti	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
5		supclti.2	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
6	4, 5	supval2ti 7237	. . . 4 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
7	4, 5	supeuti 7236	. . . . 5 |- ( ph -> E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
8		riotacl2 5996	. . . . 5 |- ( E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
9	7, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
10	6, 9	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. { x e. A | ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) } )
11	3, 10	sselid 3226	. 2 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. y e. B -. x R y } )
12		breq2 4097	. . . . . . 7 |- ( y = w -> ( x R y <-> x R w ) )
13	12	notbid 673	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( -. x R y <-> -. x R w ) )
14	13	cbvralv 2768	. . . . 5 |- ( A. y e. B -. x R y <-> A. w e. B -. x R w )
15		breq1 4096	. . . . . . 7 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( x R w <-> sup ( B , A , R ) R w ) )
16	15	notbid 673	. . . . . 6 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( -. x R w <-> -. sup ( B , A , R ) R w ) )
17	16	ralbidv 2533	. . . . 5 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( A. w e. B -. x R w <-> A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w ) )
18	14, 17	bitrid 192	. . . 4 |- ( x = sup ( B , A , R ) -> ( A. y e. B -. x R y <-> A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w ) )
19	18	elrab 2963	. . 3 |- ( sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. y e. B -. x R y } <-> ( sup ( B , A , R ) e. A /\ A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w ) )
20	19	simprbi 275	. 2 |- ( sup ( B , A , R ) e. { x e. A | A. y e. B -. x R y } -> A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w )
21		breq2 4097	. . . 4 |- ( w = C -> ( sup ( B , A , R ) R w <-> sup ( B , A , R ) R C ) )
22	21	notbid 673	. . 3 |- ( w = C -> ( -. sup ( B , A , R ) R w <-> -. sup ( B , A , R ) R C ) )
23	22	rspccv 2908	. 2 |- ( A. w e. B -. sup ( B , A , R ) R w -> ( C e. B -> -. sup ( B , A , R ) R C ) )
24	11, 20, 23	3syl 17	1 |- ( ph -> ( C e. B -> -. sup ( B , A , R ) R C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   E!wreu 2513   {crab 2515   class class class wbr 4093   iota_crio 5980   supcsup 7224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-iota 5293  df-riota 5981  df-sup 7226

This theorem is referenced by:  suplub2ti  7243  supisoti  7252  inflbti  7266  suprubex  9173  zsupcl  10537  dvdslegcd  12598