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Theorem txcnmpt 14778
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnmpt.1 |- W = U. U
txcnmpt.2 |- H = ( x e. W |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. )
Assertion
Ref Expression
txcnmpt |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> H e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, R   x, S   x, U   x, W
Allowed substitution hint:   H( x)
Proof of Theorem txcnmpt
Dummy variables s r z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnmpt.1 . . . . . . 7 |- W = U. U
2 eqid 2205 . . . . . . 7 |- U. R = U. R
31, 2cnf 14709 . . . . . 6 |- ( F e. ( U Cn R ) -> F : W --> U. R )
43adantr 276 . . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> F : W --> U. R )
54ffvelcdmda 5717 . . . 4 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ x e. W ) -> ( F ` x ) e. U. R )
6 eqid 2205 . . . . . . 7 |- U. S = U. S
71, 6cnf 14709 . . . . . 6 |- ( G e. ( U Cn S ) -> G : W --> U. S )
87adantl 277 . . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> G : W --> U. S )
98ffvelcdmda 5717 . . . 4 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ x e. W ) -> ( G ` x ) e. U. S )
105, 9opelxpd 4709 . . 3 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ x e. W ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( U. R X. U. S ) )
11 txcnmpt.2 . . 3 |- H = ( x e. W |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. )
1210, 11fmptd 5736 . 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> H : W --> ( U. R X. U. S ) )
1311mptpreima 5177 . . . . . 6 |- ( `' H " ( r X. s ) ) = { x e. W | <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) }
144adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> F : W --> U. R )
1514adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> F : W --> U. R )
16 ffn 5427 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : W --> U. R -> F Fn W )
17 elpreima 5701 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn W -> ( x e. ( `' F " r ) <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
1815, 16, 173syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' F " r ) <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
19 ibar 301 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. W -> ( ( F ` x ) e. r <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
2019adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( ( F ` x ) e. r <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
2118, 20bitr4d 191 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' F " r ) <-> ( F ` x ) e. r ) )
228ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> G : W --> U. S )
23 ffn 5427 . . . . . . . . . . . 12 |- ( G : W --> U. S -> G Fn W )
24 elpreima 5701 . . . . . . . . . . . 12 |- ( G Fn W -> ( x e. ( `' G " s ) <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
2522, 23, 243syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' G " s ) <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
26 ibar 301 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. W -> ( ( G ` x ) e. s <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
2726adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( ( G ` x ) e. s <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
2825, 27bitr4d 191 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' G " s ) <-> ( G ` x ) e. s ) )
2921, 28anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( ( x e. ( `' F " r ) /\ x e. ( `' G " s ) ) <-> ( ( F ` x ) e. r /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
30 elin 3356 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) <-> ( x e. ( `' F " r ) /\ x e. ( `' G " s ) ) )
31 opelxp 4706 . . . . . . . . 9 |- ( <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) <-> ( ( F ` x ) e. r /\ ( G ` x ) e. s ) )
3229, 30, 313bitr4g 223 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) <-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) ) )
3332rabbi2dva 3381 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( W i^i ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) ) = { x e. W | <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) } )
34 inss1 3393 . . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ ( `' F " r )
35 cnvimass 5046 . . . . . . . . . 10 |- ( `' F " r ) C_ dom F
3634, 35sstri 3202 . . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ dom F
3736, 14fssdm 5442 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ W )
38 sseqin2 3392 . . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ W <-> ( W i^i ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) ) = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
3937, 38sylib 122 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( W i^i ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) ) = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
4033, 39eqtr3d 2240 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> { x e. W | <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) } = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
4113, 40eqtrid 2250 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' H " ( r X. s ) ) = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
42 cntop1 14706 . . . . . . . 8 |- ( G e. ( U Cn S ) -> U e. Top )
4342adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> U e. Top )
4443adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> U e. Top )
45 cnima 14725 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ r e. R ) -> ( `' F " r ) e. U )
4645ad2ant2r 509 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' F " r ) e. U )
47 cnima 14725 . . . . . . 7 |- ( ( G e. ( U Cn S ) /\ s e. S ) -> ( `' G " s ) e. U )
4847ad2ant2l 508 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' G " s ) e. U )
49 inopn 14508 . . . . . 6 |- ( ( U e. Top /\ ( `' F " r ) e. U /\ ( `' G " s ) e. U ) -> ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) e. U )
5044, 46, 48, 49syl3anc 1250 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) e. U )
5141, 50eqeltrd 2282 . . . 4 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' H " ( r X. s ) ) e. U )
5251ralrimivva 2588 . . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> A. r e. R A. s e. S ( `' H " ( r X. s ) ) e. U )
53 vex 2775 . . . . . 6 |- r e. _V
54 vex 2775 . . . . . 6 |- s e. _V
5553, 54xpex 4791 . . . . 5 |- ( r X. s ) e. _V
5655rgen2w 2562 . . . 4 |- A. r e. R A. s e. S ( r X. s ) e. _V
57 eqid 2205 . . . . 5 |- ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) = ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) )
58 imaeq2 5019 . . . . . 6 |- ( z = ( r X. s ) -> ( `' H " z ) = ( `' H " ( r X. s ) ) )
5958eleq1d 2274 . . . . 5 |- ( z = ( r X. s ) -> ( ( `' H " z ) e. U <-> ( `' H " ( r X. s ) ) e. U ) )
6057, 59ralrnmpo 6062 . . . 4 |- ( A. r e. R A. s e. S ( r X. s ) e. _V -> ( A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U <-> A. r e. R A. s e. S ( `' H " ( r X. s ) ) e. U ) )
6156, 60ax-mp 5 . . 3 |- ( A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U <-> A. r e. R A. s e. S ( `' H " ( r X. s ) ) e. U )
6252, 61sylibr 134 . 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U )
631toptopon 14523 . . . 4 |- ( U e. Top <-> U e. (TopOn ` W ) )
6443, 63sylib 122 . . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> U e. (TopOn ` W ) )
65 cntop2 14707 . . . 4 |- ( F e. ( U Cn R ) -> R e. Top )
66 cntop2 14707 . . . 4 |- ( G e. ( U Cn S ) -> S e. Top )
67 eqid 2205 . . . . 5 |- ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) = ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) )
6867txval 14760 . . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) )
6965, 66, 68syl2an 289 . . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) )
70 toptopon2 14524 . . . . 5 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
7165, 70sylib 122 . . . 4 |- ( F e. ( U Cn R ) -> R e. (TopOn ` U. R ) )
72 toptopon2 14524 . . . . 5 |- ( S e. Top <-> S e. (TopOn ` U. S ) )
7366, 72sylib 122 . . . 4 |- ( G e. ( U Cn S ) -> S e. (TopOn ` U. S ) )
74 txtopon 14767 . . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ S e. (TopOn ` U. S ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
7571, 73, 74syl2an 289 . . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
7664, 69, 75tgcn 14713 . 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( H e. ( U Cn ( R tX S ) ) <-> ( H : W --> ( U. R X. U. S ) /\ A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U ) ) )
7712, 62, 76mpbir2and 947 1 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> H e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   {crab 2488   _Vcvv 2772   i^i cin 3165   C_ wss 3166   <.cop 3636   U.cuni 3850   |-> cmpt 4106   X. cxp 4674   `'ccnv 4675   dom cdm 4676   ran crn 4677   "cima 4679   Fn wfn 5267   -->wf 5268   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   e. cmpo 5948   topGenctg 13119   Topctop 14502  TopOnctopon 14515   Cn ccn 14690   tX ctx 14757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-map 6739  df-topgen 13125  df-top 14503  df-topon 14516  df-bases 14548  df-cn 14693  df-tx 14758
This theorem is referenced by:  uptx  14779  cnmpt1t  14790  cnmpt2t  14798
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