ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txcnmpt Unicode version

Theorem txcnmpt 12284
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnmpt.1  |-  W  = 
U. U
txcnmpt.2  |-  H  =  ( x  e.  W  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)
Assertion
Ref Expression
txcnmpt  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  H  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, G    x, R    x, S    x, U    x, W
Allowed substitution hint:    H( x)

Proof of Theorem txcnmpt
Dummy variables  s  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnmpt.1 . . . . . . 7  |-  W  = 
U. U
2 eqid 2115 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. R
31, 2cnf 12215 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  F : W --> U. R )
43adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  F : W --> U. R
)
54ffvelrnda 5509 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  x  e.  W )  ->  ( F `  x )  e.  U. R )
6 eqid 2115 . . . . . . 7  |-  U. S  =  U. S
71, 6cnf 12215 . . . . . 6  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  G : W --> U. S )
87adantl 273 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  G : W --> U. S
)
98ffvelrnda 5509 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  x  e.  W )  ->  ( G `  x )  e.  U. S )
105, 9opelxpd 4532 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  x  e.  W )  ->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >.  e.  ( U. R  X.  U. S ) )
11 txcnmpt.2 . . 3  |-  H  =  ( x  e.  W  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)
1210, 11fmptd 5528 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  H : W --> ( U. R  X.  U. S ) )
1311mptpreima 4990 . . . . . 6  |-  ( `' H " ( r  X.  s ) )  =  { x  e.  W  |  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >.  e.  ( r  X.  s ) }
144adantr 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  ->  F : W --> U. R
)
1514adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  F : W --> U. R )
16 ffn 5230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : W --> U. R  ->  F  Fn  W )
17 elpreima 5493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  W  ->  (
x  e.  ( `' F " r )  <-> 
( x  e.  W  /\  ( F `  x
)  e.  r ) ) )
1815, 16, 173syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( `' F " r )  <-> 
( x  e.  W  /\  ( F `  x
)  e.  r ) ) )
19 ibar 297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  W  ->  (
( F `  x
)  e.  r  <->  ( x  e.  W  /\  ( F `  x )  e.  r ) ) )
2019adantl 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
( F `  x
)  e.  r  <->  ( x  e.  W  /\  ( F `  x )  e.  r ) ) )
2118, 20bitr4d 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( `' F " r )  <-> 
( F `  x
)  e.  r ) )
228ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  G : W --> U. S )
23 ffn 5230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : W --> U. S  ->  G  Fn  W )
24 elpreima 5493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  W  ->  (
x  e.  ( `' G " s )  <-> 
( x  e.  W  /\  ( G `  x
)  e.  s ) ) )
2522, 23, 243syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( `' G " s )  <-> 
( x  e.  W  /\  ( G `  x
)  e.  s ) ) )
26 ibar 297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  W  ->  (
( G `  x
)  e.  s  <->  ( x  e.  W  /\  ( G `  x )  e.  s ) ) )
2726adantl 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
( G `  x
)  e.  s  <->  ( x  e.  W  /\  ( G `  x )  e.  s ) ) )
2825, 27bitr4d 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( `' G " s )  <-> 
( G `  x
)  e.  s ) )
2921, 28anbi12d 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
( x  e.  ( `' F " r )  /\  x  e.  ( `' G " s ) )  <->  ( ( F `
 x )  e.  r  /\  ( G `
 x )  e.  s ) ) )
30 elin 3225 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  <->  ( x  e.  ( `' F "
r )  /\  x  e.  ( `' G "
s ) ) )
31 opelxp 4529 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.  e.  ( r  X.  s
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  r  /\  ( G `
 x )  e.  s ) )
3229, 30, 313bitr4g 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R
)  /\  G  e.  ( U  Cn  S
) )  /\  (
r  e.  R  /\  s  e.  S )
)  /\  x  e.  W )  ->  (
x  e.  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  <->  <. ( F `
 x ) ,  ( G `  x
) >.  e.  ( r  X.  s ) ) )
3332rabbi2dva 3250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( W  i^i  (
( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )  =  {
x  e.  W  |  <. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.  e.  ( r  X.  s
) } )
34 inss1 3262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  C_  ( `' F " r )
35 cnvimass 4860 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " r ) 
C_  dom  F
3634, 35sstri 3072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  C_  dom  F
3736, 14fssdm 5245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  C_  W )
38 sseqin2 3261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) )  C_  W  <->  ( W  i^i  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) ) )  =  ( ( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )
3937, 38sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( W  i^i  (
( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )  =  ( ( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )
4033, 39eqtr3d 2149 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  ->  { x  e.  W  |  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>.  e.  ( r  X.  s ) }  =  ( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) ) )
4113, 40syl5eq 2159 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( `' H "
( r  X.  s
) )  =  ( ( `' F "
r )  i^i  ( `' G " s ) ) )
42 cntop1 12212 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  U  e.  Top )
4342adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  U  e.  Top )
4443adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  ->  U  e.  Top )
45 cnima 12231 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  r  e.  R )  ->  ( `' F "
r )  e.  U
)
4645ad2ant2r 498 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( `' F "
r )  e.  U
)
47 cnima 12231 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( U  Cn  S )  /\  s  e.  S )  ->  ( `' G "
s )  e.  U
)
4847ad2ant2l 497 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( `' G "
s )  e.  U
)
49 inopn 12013 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Top  /\  ( `' F " r )  e.  U  /\  ( `' G " s )  e.  U )  -> 
( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  e.  U )
5044, 46, 48, 49syl3anc 1199 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( ( `' F " r )  i^i  ( `' G " s ) )  e.  U )
5141, 50eqeltrd 2191 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  /\  ( r  e.  R  /\  s  e.  S ) )  -> 
( `' H "
( r  X.  s
) )  e.  U
)
5251ralrimivva 2488 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( `' H " ( r  X.  s ) )  e.  U )
53 vex 2660 . . . . . 6  |-  r  e. 
_V
54 vex 2660 . . . . . 6  |-  s  e. 
_V
5553, 54xpex 4614 . . . . 5  |-  ( r  X.  s )  e. 
_V
5655rgen2w 2462 . . . 4  |-  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( r  X.  s )  e.  _V
57 eqid 2115 . . . . 5  |-  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  =  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )
58 imaeq2 4835 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  ( `' H " z )  =  ( `' H " ( r  X.  s
) ) )
5958eleq1d 2183 . . . . 5  |-  ( z  =  ( r  X.  s )  ->  (
( `' H "
z )  e.  U  <->  ( `' H " ( r  X.  s ) )  e.  U ) )
6057, 59ralrnmpo 5839 . . . 4  |-  ( A. r  e.  R  A. s  e.  S  (
r  X.  s )  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) ( `' H " z )  e.  U  <->  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( `' H " ( r  X.  s ) )  e.  U ) )
6156, 60ax-mp 7 . . 3  |-  ( A. z  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ( `' H "
z )  e.  U  <->  A. r  e.  R  A. s  e.  S  ( `' H " ( r  X.  s ) )  e.  U )
6252, 61sylibr 133 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  A. z  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s
) ) ( `' H " z )  e.  U )
631toptopon 12028 . . . 4  |-  ( U  e.  Top  <->  U  e.  (TopOn `  W ) )
6443, 63sylib 121 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  U  e.  (TopOn `  W
) )
65 cntop2 12213 . . . 4  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  R  e.  Top )
66 cntop2 12213 . . . 4  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  S  e.  Top )
67 eqid 2115 . . . . 5  |-  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )  =  ran  (
r  e.  R , 
s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) )
6867txval 12266 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
6965, 66, 68syl2an 285 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( R  tX  S
)  =  ( topGen ` 
ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ) )
70 toptopon2 12029 . . . . 5  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
7165, 70sylib 121 . . . 4  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
72 toptopon2 12029 . . . . 5  |-  ( S  e.  Top  <->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
7366, 72sylib 121 . . . 4  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  S  e.  (TopOn `  U. S ) )
74 txtopon 12273 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  S  e.  (TopOn `  U. S ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
7571, 73, 74syl2an 285 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( R  tX  S
)  e.  (TopOn `  ( U. R  X.  U. S ) ) )
7664, 69, 75tgcn 12219 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( H  e.  ( U  Cn  ( R 
tX  S ) )  <-> 
( H : W --> ( U. R  X.  U. S )  /\  A. z  e.  ran  ( r  e.  R ,  s  e.  S  |->  ( r  X.  s ) ) ( `' H "
z )  e.  U
) ) )
7712, 62, 76mpbir2and 911 1  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  H  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2390   {crab 2394   _Vcvv 2657    i^i cin 3036    C_ wss 3037   <.cop 3496   U.cuni 3702    |-> cmpt 3949    X. cxp 4497   `'ccnv 4498   dom cdm 4499   ran crn 4500   "cima 4502    Fn wfn 5076   -->wf 5077   ` cfv 5081  (class class class)co 5728    e. cmpo 5730   topGenctg 11978   Topctop 12007  TopOnctopon 12020    Cn ccn 12197    tX ctx 12263
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-map 6498  df-topgen 11984  df-top 12008  df-topon 12021  df-bases 12053  df-cn 12200  df-tx 12264
This theorem is referenced by:  uptx  12285  cnmpt1t  12296  cnmpt2t  12304
  Copyright terms: Public domain W3C validator