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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > txcnmpt | Unicode version |
Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
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txcnmpt.1 |
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txcnmpt.2 |
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Ref | Expression |
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txcnmpt |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | txcnmpt.1 |
. . . . . . 7
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2 | eqid 2115 |
. . . . . . 7
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3 | 1, 2 | cnf 12215 |
. . . . . 6
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4 | 3 | adantr 272 |
. . . . 5
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5 | 4 | ffvelrnda 5509 |
. . . 4
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6 | eqid 2115 |
. . . . . . 7
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7 | 1, 6 | cnf 12215 |
. . . . . 6
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8 | 7 | adantl 273 |
. . . . 5
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9 | 8 | ffvelrnda 5509 |
. . . 4
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10 | 5, 9 | opelxpd 4532 |
. . 3
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11 | txcnmpt.2 |
. . 3
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12 | 10, 11 | fmptd 5528 |
. 2
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13 | 11 | mptpreima 4990 |
. . . . . 6
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14 | 4 | adantr 272 |
. . . . . . . . . . . . 13
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15 | 14 | adantr 272 |
. . . . . . . . . . . 12
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16 | ffn 5230 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | elpreima 5493 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | 15, 16, 17 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | ibar 297 |
. . . . . . . . . . . 12
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20 | 19 | adantl 273 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | 18, 20 | bitr4d 190 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 8 | ad2antrr 477 |
. . . . . . . . . . . 12
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23 | ffn 5230 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | elpreima 5493 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 22, 23, 24 | 3syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | ibar 297 |
. . . . . . . . . . . 12
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27 | 26 | adantl 273 |
. . . . . . . . . . 11
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28 | 25, 27 | bitr4d 190 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 21, 28 | anbi12d 462 |
. . . . . . . . 9
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30 | elin 3225 |
. . . . . . . . 9
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31 | opelxp 4529 |
. . . . . . . . 9
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32 | 29, 30, 31 | 3bitr4g 222 |
. . . . . . . 8
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33 | 32 | rabbi2dva 3250 |
. . . . . . 7
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34 | inss1 3262 |
. . . . . . . . . 10
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35 | cnvimass 4860 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 34, 35 | sstri 3072 |
. . . . . . . . 9
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37 | 36, 14 | fssdm 5245 |
. . . . . . . 8
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38 | sseqin2 3261 |
. . . . . . . 8
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39 | 37, 38 | sylib 121 |
. . . . . . 7
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40 | 33, 39 | eqtr3d 2149 |
. . . . . 6
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41 | 13, 40 | syl5eq 2159 |
. . . . 5
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42 | cntop1 12212 |
. . . . . . . 8
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43 | 42 | adantl 273 |
. . . . . . 7
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44 | 43 | adantr 272 |
. . . . . 6
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45 | cnima 12231 |
. . . . . . 7
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46 | 45 | ad2ant2r 498 |
. . . . . 6
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47 | cnima 12231 |
. . . . . . 7
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48 | 47 | ad2ant2l 497 |
. . . . . 6
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49 | inopn 12013 |
. . . . . 6
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50 | 44, 46, 48, 49 | syl3anc 1199 |
. . . . 5
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51 | 41, 50 | eqeltrd 2191 |
. . . 4
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52 | 51 | ralrimivva 2488 |
. . 3
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53 | vex 2660 |
. . . . . 6
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54 | vex 2660 |
. . . . . 6
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55 | 53, 54 | xpex 4614 |
. . . . 5
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56 | 55 | rgen2w 2462 |
. . . 4
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57 | eqid 2115 |
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58 | imaeq2 4835 |
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59 | 58 | eleq1d 2183 |
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60 | 57, 59 | ralrnmpo 5839 |
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61 | 56, 60 | ax-mp 7 |
. . 3
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62 | 52, 61 | sylibr 133 |
. 2
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63 | 1 | toptopon 12028 |
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64 | 43, 63 | sylib 121 |
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65 | cntop2 12213 |
. . . 4
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66 | cntop2 12213 |
. . . 4
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67 | eqid 2115 |
. . . . 5
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68 | 67 | txval 12266 |
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69 | 65, 66, 68 | syl2an 285 |
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70 | toptopon2 12029 |
. . . . 5
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71 | 65, 70 | sylib 121 |
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72 | toptopon2 12029 |
. . . . 5
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73 | 66, 72 | sylib 121 |
. . . 4
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74 | txtopon 12273 |
. . . 4
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75 | 71, 73, 74 | syl2an 285 |
. . 3
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76 | 64, 69, 75 | tgcn 12219 |
. 2
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77 | 12, 62, 76 | mpbir2and 911 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 586 ax-in2 587 ax-io 681 ax-5 1406 ax-7 1407 ax-gen 1408 ax-ie1 1452 ax-ie2 1453 ax-8 1465 ax-10 1466 ax-11 1467 ax-i12 1468 ax-bndl 1469 ax-4 1470 ax-13 1474 ax-14 1475 ax-17 1489 ax-i9 1493 ax-ial 1497 ax-i5r 1498 ax-ext 2097 ax-coll 4003 ax-sep 4006 ax-pow 4058 ax-pr 4091 ax-un 4315 ax-setind 4412 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 947 df-tru 1317 df-fal 1320 df-nf 1420 df-sb 1719 df-eu 1978 df-mo 1979 df-clab 2102 df-cleq 2108 df-clel 2111 df-nfc 2244 df-ne 2283 df-ral 2395 df-rex 2396 df-reu 2397 df-rab 2399 df-v 2659 df-sbc 2879 df-csb 2972 df-dif 3039 df-un 3041 df-in 3043 df-ss 3050 df-nul 3330 df-pw 3478 df-sn 3499 df-pr 3500 df-op 3502 df-uni 3703 df-iun 3781 df-br 3896 df-opab 3950 df-mpt 3951 df-id 4175 df-xp 4505 df-rel 4506 df-cnv 4507 df-co 4508 df-dm 4509 df-rn 4510 df-res 4511 df-ima 4512 df-iota 5046 df-fun 5083 df-fn 5084 df-f 5085 df-f1 5086 df-fo 5087 df-f1o 5088 df-fv 5089 df-ov 5731 df-oprab 5732 df-mpo 5733 df-1st 5992 df-2nd 5993 df-map 6498 df-topgen 11984 df-top 12008 df-topon 12021 df-bases 12053 df-cn 12200 df-tx 12264 |
This theorem is referenced by: uptx 12285 cnmpt1t 12296 cnmpt2t 12304 |
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