Theorem txcnmpt 13812

Description: A map into the product of two topological spaces is continuous if both of its projections are continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcnmpt.1	|- W = U. U
txcnmpt.2	|- H = ( x e. W |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. )

Assertion

Ref	Expression
txcnmpt	|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> H e. ( U Cn ( R tX S ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, G   x, R   x, S   x, U   x, W

Allowed substitution hint:   H( x)

Proof of Theorem txcnmpt

Dummy variables s r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcnmpt.1	. . . . . . 7 |- W = U. U
2		eqid 2177	. . . . . . 7 |- U. R = U. R
3	1, 2	cnf 13743	. . . . . 6 |- ( F e. ( U Cn R ) -> F : W --> U. R )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> F : W --> U. R )
5	4	ffvelcdmda 5653	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ x e. W ) -> ( F ` x ) e. U. R )
6		eqid 2177	. . . . . . 7 |- U. S = U. S
7	1, 6	cnf 13743	. . . . . 6 |- ( G e. ( U Cn S ) -> G : W --> U. S )
8	7	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> G : W --> U. S )
9	8	ffvelcdmda 5653	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ x e. W ) -> ( G ` x ) e. U. S )
10	5, 9	opelxpd 4661	. . 3 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ x e. W ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( U. R X. U. S ) )
11		txcnmpt.2	. . 3 |- H = ( x e. W |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. )
12	10, 11	fmptd 5672	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> H : W --> ( U. R X. U. S ) )
13	11	mptpreima 5124	. . . . . 6 |- ( `' H " ( r X. s ) ) = { x e. W | <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) }
14	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> F : W --> U. R )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> F : W --> U. R )
16		ffn 5367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : W --> U. R -> F Fn W )
17		elpreima 5637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn W -> ( x e. ( `' F " r ) <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
18	15, 16, 17	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' F " r ) <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
19		ibar 301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. W -> ( ( F ` x ) e. r <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( ( F ` x ) e. r <-> ( x e. W /\ ( F ` x ) e. r ) ) )
21	18, 20	bitr4d 191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' F " r ) <-> ( F ` x ) e. r ) )
22	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> G : W --> U. S )
23		ffn 5367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : W --> U. S -> G Fn W )
24		elpreima 5637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G Fn W -> ( x e. ( `' G " s ) <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
25	22, 23, 24	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' G " s ) <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
26		ibar 301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. W -> ( ( G ` x ) e. s <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
27	26	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( ( G ` x ) e. s <-> ( x e. W /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
28	25, 27	bitr4d 191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( `' G " s ) <-> ( G ` x ) e. s ) )
29	21, 28	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( ( x e. ( `' F " r ) /\ x e. ( `' G " s ) ) <-> ( ( F ` x ) e. r /\ ( G ` x ) e. s ) ) )
30		elin 3320	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) <-> ( x e. ( `' F " r ) /\ x e. ( `' G " s ) ) )
31		opelxp 4658	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) <-> ( ( F ` x ) e. r /\ ( G ` x ) e. s ) )
32	29, 30, 31	3bitr4g 223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) /\ x e. W ) -> ( x e. ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) <-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) ) )
33	32	rabbi2dva 3345	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( W i^i ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) ) = { x e. W | <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) } )
34		inss1 3357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ ( `' F " r )
35		cnvimass 4993	. . . . . . . . . 10 |- ( `' F " r ) C_ dom F
36	34, 35	sstri 3166	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ dom F
37	36, 14	fssdm 5382	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ W )
38		sseqin2 3356	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) C_ W <-> ( W i^i ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) ) = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
39	37, 38	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( W i^i ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) ) = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
40	33, 39	eqtr3d 2212	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> { x e. W | <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( r X. s ) } = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
41	13, 40	eqtrid 2222	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' H " ( r X. s ) ) = ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) )
42		cntop1 13740	. . . . . . . 8 |- ( G e. ( U Cn S ) -> U e. Top )
43	42	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> U e. Top )
44	43	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> U e. Top )
45		cnima 13759	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ r e. R ) -> ( `' F " r ) e. U )
46	45	ad2ant2r 509	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' F " r ) e. U )
47		cnima 13759	. . . . . . 7 |- ( ( G e. ( U Cn S ) /\ s e. S ) -> ( `' G " s ) e. U )
48	47	ad2ant2l 508	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' G " s ) e. U )
49		inopn 13542	. . . . . 6 |- ( ( U e. Top /\ ( `' F " r ) e. U /\ ( `' G " s ) e. U ) -> ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) e. U )
50	44, 46, 48, 49	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( ( `' F " r ) i^i ( `' G " s ) ) e. U )
51	41, 50	eqeltrd 2254	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( `' H " ( r X. s ) ) e. U )
52	51	ralrimivva 2559	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> A. r e. R A. s e. S ( `' H " ( r X. s ) ) e. U )
53		vex 2742	. . . . . 6 |- r e. _V
54		vex 2742	. . . . . 6 |- s e. _V
55	53, 54	xpex 4743	. . . . 5 |- ( r X. s ) e. _V
56	55	rgen2w 2533	. . . 4 |- A. r e. R A. s e. S ( r X. s ) e. _V
57		eqid 2177	. . . . 5 |- ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) = ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) )
58		imaeq2 4968	. . . . . 6 |- ( z = ( r X. s ) -> ( `' H " z ) = ( `' H " ( r X. s ) ) )
59	58	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( z = ( r X. s ) -> ( ( `' H " z ) e. U <-> ( `' H " ( r X. s ) ) e. U ) )
60	57, 59	ralrnmpo 5991	. . . 4 |- ( A. r e. R A. s e. S ( r X. s ) e. _V -> ( A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U <-> A. r e. R A. s e. S ( `' H " ( r X. s ) ) e. U ) )
61	56, 60	ax-mp 5	. . 3 |- ( A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U <-> A. r e. R A. s e. S ( `' H " ( r X. s ) ) e. U )
62	52, 61	sylibr 134	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U )
63	1	toptopon 13557	. . . 4 |- ( U e. Top <-> U e. (TopOn ` W ) )
64	43, 63	sylib 122	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> U e. (TopOn ` W ) )
65		cntop2 13741	. . . 4 |- ( F e. ( U Cn R ) -> R e. Top )
66		cntop2 13741	. . . 4 |- ( G e. ( U Cn S ) -> S e. Top )
67		eqid 2177	. . . . 5 |- ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) = ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) )
68	67	txval 13794	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) )
69	65, 66, 68	syl2an 289	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ) )
70		toptopon2 13558	. . . . 5 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
71	65, 70	sylib 122	. . . 4 |- ( F e. ( U Cn R ) -> R e. (TopOn ` U. R ) )
72		toptopon2 13558	. . . . 5 |- ( S e. Top <-> S e. (TopOn ` U. S ) )
73	66, 72	sylib 122	. . . 4 |- ( G e. ( U Cn S ) -> S e. (TopOn ` U. S ) )
74		txtopon 13801	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ S e. (TopOn ` U. S ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
75	71, 73, 74	syl2an 289	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
76	64, 69, 75	tgcn 13747	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( H e. ( U Cn ( R tX S ) ) <-> ( H : W --> ( U. R X. U. S ) /\ A. z e. ran ( r e. R , s e. S |-> ( r X. s ) ) ( `' H " z ) e. U ) ) )
77	12, 62, 76	mpbir2and 944	1 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> H e. ( U Cn ( R tX S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   _Vcvv 2739   i^i cin 3130   C_ wss 3131   <.cop 3597   U.cuni 3811   |-> cmpt 4066   X. cxp 4626   `'ccnv 4627   dom cdm 4628   ran crn 4629   "cima 4631   Fn wfn 5213   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   e. cmpo 5879   topGenctg 12708   Topctop 13536  TopOnctopon 13549   Cn ccn 13724   tX ctx 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-topgen 12714  df-top 13537  df-topon 13550  df-bases 13582  df-cn 13727  df-tx 13792

This theorem is referenced by:  uptx  13813  cnmpt1t  13824  cnmpt2t  13832