Theorem txcnp 14507

Description: If two functions are continuous at D, then the ordered pair of them is continuous at D into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcnp.4	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
txcnp.5	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
txcnp.6	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
txcnp.7	|- ( ph -> D e. X )
txcnp.8	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) )
txcnp.9	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) )

Assertion

Ref	Expression
txcnp	|- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( ( J CnP ( K tX L ) ) ` D ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, Y   x, Z   x, D   x, X

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   J( x)   K( x)   L( x)

Proof of Theorem txcnp

Dummy variables s r t v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcnp.4	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		txcnp.5	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		txcnp.8	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) )
4		cnpf2 14443	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
6	5	fvmptelcdm 5715	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. Y )
7		txcnp.6	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
8		txcnp.9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) )
9		cnpf2 14443	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. (TopOn ` Z ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
10	1, 7, 8, 9	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
11	10	fvmptelcdm 5715	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. Z )
12	6, 11	opelxpd 4696	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. A , B >. e. ( Y X. Z ) )
13	12	fmpttd 5717	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) : X --> ( Y X. Z ) )
14		txcnp.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. X )
15		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
16	12	elexd 2776	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
17		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> <. A , B >. ) = ( x e. X |-> <. A , B >. )
18	17	fvmpt2 5645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. A , B >. )
19	15, 16, 18	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. A , B >. )
20		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
21	20	fvmpt2 5645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ A e. Y ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
22	15, 6, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
23		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
24	23	fvmpt2 5645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ B e. Z ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B )
25	15, 11, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B )
26	22, 25	opeq12d 3816	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. A , B >. )
27	19, 26	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. )
28	27	ralrimiva 2570	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. X ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. )
29		nffvmpt1 5569	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D )
30		nffvmpt1 5569	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` D )
31		nffvmpt1 5569	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( x e. X |-> B ) ` D )
32	30, 31	nfop 3824	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >.
33	29, 32	nfeq 2347	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >.
34		fveq2 5558	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) )
35		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` D ) )
36		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = ( ( x e. X |-> B ) ` D ) )
37	35, 36	opeq12d 3816	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = D -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. )
38	34, 37	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . 10 |- ( x = D -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. ) )
39	33, 38	rspc 2862	. . . . . . . . 9 |- ( D e. X -> ( A. x e. X ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. ) )
40	14, 28, 39	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. )
41	40	eleq1d 2265	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) <-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. e. ( v X. w ) ) )
42	41	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) <-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. e. ( v X. w ) ) )
43	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
44	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
45	14	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> D e. X )
46	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) )
47		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> v e. K )
48		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v )
49		icnpimaex 14447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ D e. X ) /\ ( ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) /\ v e. K /\ ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v ) ) -> E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) )
50	43, 44, 45, 46, 47, 48, 49	syl33anc 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) )
51	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> L e. (TopOn ` Z ) )
52	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) )
53		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> w e. L )
54		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w )
55		icnpimaex 14447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. (TopOn ` Z ) /\ D e. X ) /\ ( ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) /\ w e. L /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) )
56	43, 51, 45, 52, 53, 54, 55	syl33anc 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) )
57	50, 56	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) )
58	57	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) -> ( E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) )
59		opelxp 4693	. . . . . . 7 |- ( <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. e. ( v X. w ) <-> ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) )
60		reeanv 2667	. . . . . . 7 |- ( E. r e. J E. s e. J ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) <-> ( E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) )
61	58, 59, 60	3imtr4g 205	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. e. ( v X. w ) -> E. r e. J E. s e. J ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) )
62	42, 61	sylbid 150	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. r e. J E. s e. J ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) )
63		an4 586	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) <-> ( ( D e. r /\ D e. s ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) )
64		elin 3346	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( r i^i s ) <-> ( D e. r /\ D e. s ) )
65	64	biimpri 133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. r /\ D e. s ) -> D e. ( r i^i s ) )
66	65	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( D e. r /\ D e. s ) -> D e. ( r i^i s ) ) )
67		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r e. J /\ s e. J ) -> r e. J )
68		toponss 14262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ r e. J ) -> r C_ X )
69	1, 67, 68	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> r C_ X )
70		ssinss1 3392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r C_ X -> ( r i^i s ) C_ X )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> ( r i^i s ) C_ X )
72	71	sselda 3183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. X )
73	28	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> A. x e. X ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. )
74		nffvmpt1 5569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t )
75		nffvmpt1 5569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` t )
76		nffvmpt1 5569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( ( x e. X |-> B ) ` t )
77	75, 76	nfop 3824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >.
78	74, 77	nfeq 2347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >.
79		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = t -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) )
80		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = t -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` t ) )
81		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = t -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = ( ( x e. X |-> B ) ` t ) )
82	80, 81	opeq12d 3816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = t -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. )
83	79, 82	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = t -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. ) )
84	78, 83	rspc 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t e. X -> ( A. x e. X ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. ) )
85	72, 73, 84	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. )
86		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. ( r i^i s ) )
87	86	elin1d 3352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. r )
88	5	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
89	88	ffund 5411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> Fun ( x e. X |-> A ) )
90	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( r i^i s ) C_ X )
91	88	fdmd 5414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> dom ( x e. X |-> A ) = X )
92	90, 91	sseqtrrd 3222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( r i^i s ) C_ dom ( x e. X |-> A ) )
93	92, 86	sseldd 3184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. dom ( x e. X |-> A ) )
94		funfvima 5794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Fun ( x e. X |-> A ) /\ t e. dom ( x e. X |-> A ) ) -> ( t e. r -> ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> A ) " r ) ) )
95	89, 93, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( t e. r -> ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> A ) " r ) ) )
96	87, 95	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> A ) " r ) )
97	86	elin2d 3353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. s )
98	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
99	98	ffund 5411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> Fun ( x e. X |-> B ) )
100	98	fdmd 5414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
101	90, 100	sseqtrrd 3222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( r i^i s ) C_ dom ( x e. X |-> B ) )
102	101, 86	sseldd 3184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. dom ( x e. X |-> B ) )
103		funfvima 5794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Fun ( x e. X |-> B ) /\ t e. dom ( x e. X |-> B ) ) -> ( t e. s -> ( ( x e. X |-> B ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
104	99, 102, 103	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( t e. s -> ( ( x e. X |-> B ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
105	97, 104	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> B ) " s ) )
106	96, 105	opelxpd 4696	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
107	85, 106	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
108	107	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> A. t e. ( r i^i s ) ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
109	13	ffund 5411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Fun ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
110	109	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> Fun ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
111	13	fdmd 5414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) = X )
112	111	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) = X )
113	71, 112	sseqtrrd 3222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> ( r i^i s ) C_ dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
114		funimass4 5611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun ( x e. X |-> <. A , B >. ) /\ ( r i^i s ) C_ dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) <-> A. t e. ( r i^i s ) ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) ) )
115	110, 113, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) <-> A. t e. ( r i^i s ) ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) ) )
116	108, 115	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
117	69, 116	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
118	117	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
119		xpss12 4770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) C_ ( v X. w ) )
120		sstr2 3190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) -> ( ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) C_ ( v X. w ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) )
121	118, 119, 120	syl2im 38	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) )
122	66, 121	anim12d 335	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( ( D e. r /\ D e. s ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) )
123	63, 122	biimtrid 152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) )
124		topontop 14250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
125	1, 124	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. Top )
126		inopn 14239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ r e. J /\ s e. J ) -> ( r i^i s ) e. J )
127	126	3expb 1206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( r i^i s ) e. J )
128	125, 127	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( r i^i s ) e. J )
129	128	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( r i^i s ) e. J )
130	123, 129	jctild 316	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> ( ( r i^i s ) e. J /\ ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) ) )
131	130	expimpd 363	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( r e. J /\ s e. J ) /\ ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) -> ( ( r i^i s ) e. J /\ ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) ) )
132		eleq2 2260	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( r i^i s ) -> ( D e. z <-> D e. ( r i^i s ) ) )
133		imaeq2 5005	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( r i^i s ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) = ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) )
134	133	sseq1d 3212	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( r i^i s ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) )
135	132, 134	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( r i^i s ) -> ( ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) <-> ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) )
136	135	rspcev 2868	. . . . . . . 8 |- ( ( ( r i^i s ) e. J /\ ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) )
137	131, 136	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( r e. J /\ s e. J ) /\ ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
138	137	expd 258	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( r e. J /\ s e. J ) -> ( ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) )
139	138	rexlimdvv 2621	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( E. r e. J E. s e. J ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
140	62, 139	syld 45	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
141	140	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( ph -> A. v e. K A. w e. L ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
142		vex 2766	. . . . . 6 |- v e. _V
143		vex 2766	. . . . . 6 |- w e. _V
144	142, 143	xpex 4778	. . . . 5 |- ( v X. w ) e. _V
145	144	rgen2w 2553	. . . 4 |- A. v e. K A. w e. L ( v X. w ) e. _V
146		eqid 2196	. . . . 5 |- ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) = ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) )
147		eleq2 2260	. . . . . 6 |- ( y = ( v X. w ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) ) )
148		sseq2 3207	. . . . . . . 8 |- ( y = ( v X. w ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) )
149	148	anbi2d 464	. . . . . . 7 |- ( y = ( v X. w ) -> ( ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) <-> ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
150	149	rexbidv 2498	. . . . . 6 |- ( y = ( v X. w ) -> ( E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) <-> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
151	147, 150	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( y = ( v X. w ) -> ( ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) <-> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) )
152	146, 151	ralrnmpo 6037	. . . 4 |- ( A. v e. K A. w e. L ( v X. w ) e. _V -> ( A. y e. ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) <-> A. v e. K A. w e. L ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) )
153	145, 152	ax-mp 5	. . 3 |- ( A. y e. ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) <-> A. v e. K A. w e. L ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
154	141, 153	sylibr 134	. 2 |- ( ph -> A. y e. ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) )
155		topontop 14250	. . . . 5 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
156	2, 155	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> K e. Top )
157		topontop 14250	. . . . 5 |- ( L e. (TopOn ` Z ) -> L e. Top )
158	7, 157	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> L e. Top )
159		eqid 2196	. . . . 5 |- ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) = ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) )
160	159	txval 14491	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ L e. Top ) -> ( K tX L ) = ( topGen ` ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ) )
161	156, 158, 160	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( K tX L ) = ( topGen ` ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ) )
162		txtopon 14498	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. (TopOn ` Z ) ) -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( Y X. Z ) ) )
163	2, 7, 162	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( Y X. Z ) ) )
164	1, 161, 163, 14	tgcnp 14445	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( ( J CnP ( K tX L ) ) ` D ) <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) : X --> ( Y X. Z ) /\ A. y e. ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
165	13, 154, 164	mpbir2and 946	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( ( J CnP ( K tX L ) ) ` D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   i^i cin 3156   C_ wss 3157   <.cop 3625   |-> cmpt 4094   X. cxp 4661   dom cdm 4663   ran crn 4664   "cima 4666   Fun wfun 5252   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   topGenctg 12925   Topctop 14233  TopOnctopon 14246   CnP ccnp 14422   tX ctx 14488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-topgen 12931  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-cnp 14425  df-tx 14489

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