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Theorem txcnp 12642
 Description: If two functions are continuous at , then the ordered pair of them is continuous at into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txcnp.4 TopOn
txcnp.5 TopOn
txcnp.6 TopOn
txcnp.7
txcnp.8
txcnp.9
Assertion
Ref Expression
txcnp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem txcnp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txcnp.4 . . . . . 6 TopOn
2 txcnp.5 . . . . . 6 TopOn
3 txcnp.8 . . . . . 6
4 cnpf2 12578 . . . . . 6 TopOn TopOn
51, 2, 3, 4syl3anc 1220 . . . . 5
65fvmptelrn 5619 . . . 4
7 txcnp.6 . . . . . 6 TopOn
8 txcnp.9 . . . . . 6
9 cnpf2 12578 . . . . . 6 TopOn TopOn
101, 7, 8, 9syl3anc 1220 . . . . 5
1110fvmptelrn 5619 . . . 4
126, 11opelxpd 4618 . . 3
1312fmpttd 5621 . 2
14 txcnp.7 . . . . . . . . 9
15 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12
1612elexd 2725 . . . . . . . . . . . 12
17 eqid 2157 . . . . . . . . . . . . 13
1817fvmpt2 5550 . . . . . . . . . . . 12
1915, 16, 18syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11
20 eqid 2157 . . . . . . . . . . . . . 14
2120fvmpt2 5550 . . . . . . . . . . . . 13
2215, 6, 21syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12
23 eqid 2157 . . . . . . . . . . . . . 14
2423fvmpt2 5550 . . . . . . . . . . . . 13
2515, 11, 24syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12
2622, 25opeq12d 3749 . . . . . . . . . . 11
2719, 26eqtr4d 2193 . . . . . . . . . 10
2827ralrimiva 2530 . . . . . . . . 9
29 nffvmpt1 5478 . . . . . . . . . . 11
30 nffvmpt1 5478 . . . . . . . . . . . 12
31 nffvmpt1 5478 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31nfop 3757 . . . . . . . . . . 11
3329, 32nfeq 2307 . . . . . . . . . 10
34 fveq2 5467 . . . . . . . . . . 11
35 fveq2 5467 . . . . . . . . . . . 12
36 fveq2 5467 . . . . . . . . . . . 12
3735, 36opeq12d 3749 . . . . . . . . . . 11
3834, 37eqeq12d 2172 . . . . . . . . . 10
3933, 38rspc 2810 . . . . . . . . 9
4014, 28, 39sylc 62 . . . . . . . 8
4140eleq1d 2226 . . . . . . 7
4241adantr 274 . . . . . 6
431ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 TopOn
442ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 TopOn
4514ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10
463ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10
47 simplrl 525 . . . . . . . . . 10
48 simprl 521 . . . . . . . . . 10
49 icnpimaex 12582 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
5043, 44, 45, 46, 47, 48, 49syl33anc 1235 . . . . . . . . 9
517ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10 TopOn
528ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10
53 simplrr 526 . . . . . . . . . 10
54 simprr 522 . . . . . . . . . 10
55 icnpimaex 12582 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
5643, 51, 45, 52, 53, 54, 55syl33anc 1235 . . . . . . . . 9
5750, 56jca 304 . . . . . . . 8
5857ex 114 . . . . . . 7
59 opelxp 4615 . . . . . . 7
60 reeanv 2626 . . . . . . 7
6158, 59, 603imtr4g 204 . . . . . 6
6242, 61sylbid 149 . . . . 5
63 an4 576 . . . . . . . . . . 11
64 elin 3290 . . . . . . . . . . . . . 14
6564biimpri 132 . . . . . . . . . . . . 13
6665a1i 9 . . . . . . . . . . . 12
67 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16
68 toponss 12395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 TopOn
691, 67, 68syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . 15
70 ssinss1 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7170adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7271sselda 3128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7328ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
74 nffvmpt1 5478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
75 nffvmpt1 5478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
76 nffvmpt1 5478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7775, 76nfop 3757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7874, 77nfeq 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
79 fveq2 5467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
80 fveq2 5467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
81 fveq2 5467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8280, 81opeq12d 3749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8379, 82eqeq12d 2172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8478, 83rspc 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8572, 73, 84sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
86 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8786elin1d 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
885ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8988ffund 5322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9071adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9188fdmd 5325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9290, 91sseqtrrd 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9392, 86sseldd 3129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
94 funfvima 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9589, 93, 94syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9687, 95mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9786elin2d 3297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9810ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9998ffund 5322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10098fdmd 5325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10190, 100sseqtrrd 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
102101, 86sseldd 3129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
103 funfvima 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10499, 102, 103syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10597, 104mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10696, 105opelxpd 4618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10785, 106eqeltrd 2234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108107ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10913ffund 5322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110109adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11113fdmd 5325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112111adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11371, 112sseqtrrd 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
114 funimass4 5518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115110, 113, 114syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116108, 115mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . 15
11769, 116syldan 280 . . . . . . . . . . . . . 14
118117adantlr 469 . . . . . . . . . . . . 13
119 xpss12 4692 . . . . . . . . . . . . 13
120 sstr2 3135 . . . . . . . . . . . . 13
121118, 119, 120syl2im 38 . . . . . . . . . . . 12
12266, 121anim12d 333 . . . . . . . . . . 11
12363, 122syl5bi 151 . . . . . . . . . 10
124 topontop 12383 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
1251, 124syl 14 . . . . . . . . . . . 12
126 inopn 12372 . . . . . . . . . . . . 13
1271263expb 1186 . . . . . . . . . . . 12
128125, 127sylan 281 . . . . . . . . . . 11
129128adantlr 469 . . . . . . . . . 10
130123, 129jctild 314 . . . . . . . . 9
131130expimpd 361 . . . . . . . 8
132 eleq2 2221 . . . . . . . . . 10
133 imaeq2 4923 . . . . . . . . . . 11
134133sseq1d 3157 . . . . . . . . . 10
135132, 134anbi12d 465 . . . . . . . . 9
136135rspcev 2816 . . . . . . . 8
137131, 136syl6 33 . . . . . . 7
138137expd 256 . . . . . 6
139138rexlimdvv 2581 . . . . 5
14062, 139syld 45 . . . 4
141140ralrimivva 2539 . . 3
142 vex 2715 . . . . . 6
143 vex 2715 . . . . . 6
144142, 143xpex 4700 . . . . 5
145144rgen2w 2513 . . . 4
146 eqid 2157 . . . . 5
147 eleq2 2221 . . . . . 6
148 sseq2 3152 . . . . . . . 8
149148anbi2d 460 . . . . . . 7
150149rexbidv 2458 . . . . . 6
151147, 150imbi12d 233 . . . . 5
152146, 151ralrnmpo 5932 . . . 4
153145, 152ax-mp 5 . . 3
154141, 153sylibr 133 . 2
155 topontop 12383 . . . . 5 TopOn
1562, 155syl 14 . . . 4
157 topontop 12383 . . . . 5 TopOn
1587, 157syl 14 . . . 4
159 eqid 2157 . . . . 5
160159txval 12626 . . . 4
161156, 158, 160syl2anc 409 . . 3
162 txtopon 12633 . . . 4 TopOn TopOn TopOn
1632, 7, 162syl2anc 409 . . 3 TopOn
1641, 161, 163, 14tgcnp 12580 . 2
16513, 154, 164mpbir2and 929 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1335   wcel 2128  wral 2435  wrex 2436  cvv 2712   cin 3101   wss 3102  cop 3563   cmpt 4025   cxp 4583   cdm 4585   crn 4586  cima 4588   wfun 5163  wf 5165  cfv 5169  (class class class)co 5821   cmpo 5823  ctg 12337  ctop 12366  TopOnctopon 12379   ccnp 12557   ctx 12623 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-map 6592  df-topgen 12343  df-top 12367  df-topon 12380  df-bases 12412  df-cnp 12560  df-tx 12624 This theorem is referenced by: (None)
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