Theorem txcnp 12911

Description: If two functions are continuous at D, then the ordered pair of them is continuous at D into the product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txcnp.4	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
txcnp.5	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
txcnp.6	|- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
txcnp.7	|- ( ph -> D e. X )
txcnp.8	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) )
txcnp.9	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) )

Assertion

Ref	Expression
txcnp	|- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( ( J CnP ( K tX L ) ) ` D ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, Y   x, Z   x, D   x, X

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   J( x)   K( x)   L( x)

Proof of Theorem txcnp

Dummy variables s r t v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txcnp.4	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		txcnp.5	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		txcnp.8	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) )
4		cnpf2 12847	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
6	5	fvmptelrn 5638	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. Y )
7		txcnp.6	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. (TopOn ` Z ) )
8		txcnp.9	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) )
9		cnpf2 12847	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. (TopOn ` Z ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
10	1, 7, 8, 9	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
11	10	fvmptelrn 5638	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. Z )
12	6, 11	opelxpd 4637	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. A , B >. e. ( Y X. Z ) )
13	12	fmpttd 5640	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) : X --> ( Y X. Z ) )
14		txcnp.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. X )
15		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
16	12	elexd 2739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
17		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> <. A , B >. ) = ( x e. X |-> <. A , B >. )
18	17	fvmpt2 5569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. A , B >. )
19	15, 16, 18	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. A , B >. )
20		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
21	20	fvmpt2 5569	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ A e. Y ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
22	15, 6, 21	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
23		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
24	23	fvmpt2 5569	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ B e. Z ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B )
25	15, 11, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B )
26	22, 25	opeq12d 3766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. A , B >. )
27	19, 26	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. )
28	27	ralrimiva 2539	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. X ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. )
29		nffvmpt1 5497	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D )
30		nffvmpt1 5497	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` D )
31		nffvmpt1 5497	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( x e. X |-> B ) ` D )
32	30, 31	nfop 3774	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >.
33	29, 32	nfeq 2316	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >.
34		fveq2 5486	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) )
35		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` D ) )
36		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = D -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = ( ( x e. X |-> B ) ` D ) )
37	35, 36	opeq12d 3766	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = D -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. )
38	34, 37	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . 10 |- ( x = D -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. ) )
39	33, 38	rspc 2824	. . . . . . . . 9 |- ( D e. X -> ( A. x e. X ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. ) )
40	14, 28, 39	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. )
41	40	eleq1d 2235	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) <-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. e. ( v X. w ) ) )
42	41	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) <-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. e. ( v X. w ) ) )
43	1	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
44	2	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
45	14	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> D e. X )
46	3	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) )
47		simplrl 525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> v e. K )
48		simprl 521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v )
49		icnpimaex 12851	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ D e. X ) /\ ( ( x e. X |-> A ) e. ( ( J CnP K ) ` D ) /\ v e. K /\ ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v ) ) -> E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) )
50	43, 44, 45, 46, 47, 48, 49	syl33anc 1243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) )
51	7	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> L e. (TopOn ` Z ) )
52	8	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) )
53		simplrr 526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> w e. L )
54		simprr 522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w )
55		icnpimaex 12851	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. (TopOn ` Z ) /\ D e. X ) /\ ( ( x e. X |-> B ) e. ( ( J CnP L ) ` D ) /\ w e. L /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) )
56	43, 51, 45, 52, 53, 54, 55	syl33anc 1243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) )
57	50, 56	jca 304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) ) -> ( E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) )
58	57	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) -> ( E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) )
59		opelxp 4634	. . . . . . 7 |- ( <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. e. ( v X. w ) <-> ( ( ( x e. X |-> A ) ` D ) e. v /\ ( ( x e. X |-> B ) ` D ) e. w ) )
60		reeanv 2635	. . . . . . 7 |- ( E. r e. J E. s e. J ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) <-> ( E. r e. J ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ E. s e. J ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) )
61	58, 59, 60	3imtr4g 204	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( <. ( ( x e. X |-> A ) ` D ) , ( ( x e. X |-> B ) ` D ) >. e. ( v X. w ) -> E. r e. J E. s e. J ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) )
62	42, 61	sylbid 149	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. r e. J E. s e. J ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) )
63		an4 576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) <-> ( ( D e. r /\ D e. s ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) )
64		elin 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( r i^i s ) <-> ( D e. r /\ D e. s ) )
65	64	biimpri 132	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. r /\ D e. s ) -> D e. ( r i^i s ) )
66	65	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( D e. r /\ D e. s ) -> D e. ( r i^i s ) ) )
67		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r e. J /\ s e. J ) -> r e. J )
68		toponss 12664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ r e. J ) -> r C_ X )
69	1, 67, 68	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> r C_ X )
70		ssinss1 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r C_ X -> ( r i^i s ) C_ X )
71	70	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> ( r i^i s ) C_ X )
72	71	sselda 3142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. X )
73	28	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> A. x e. X ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. )
74		nffvmpt1 5497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t )
75		nffvmpt1 5497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` t )
76		nffvmpt1 5497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( ( x e. X |-> B ) ` t )
77	75, 76	nfop 3774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >.
78	74, 77	nfeq 2316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >.
79		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = t -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) )
80		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = t -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` t ) )
81		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = t -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = ( ( x e. X |-> B ) ` t ) )
82	80, 81	opeq12d 3766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = t -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. )
83	79, 82	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = t -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. ) )
84	78, 83	rspc 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t e. X -> ( A. x e. X ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` x ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. ) )
85	72, 73, 84	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) = <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. )
86		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. ( r i^i s ) )
87	86	elin1d 3311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. r )
88	5	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
89	88	ffund 5341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> Fun ( x e. X |-> A ) )
90	71	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( r i^i s ) C_ X )
91	88	fdmd 5344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> dom ( x e. X |-> A ) = X )
92	90, 91	sseqtrrd 3181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( r i^i s ) C_ dom ( x e. X |-> A ) )
93	92, 86	sseldd 3143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. dom ( x e. X |-> A ) )
94		funfvima 5716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Fun ( x e. X |-> A ) /\ t e. dom ( x e. X |-> A ) ) -> ( t e. r -> ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> A ) " r ) ) )
95	89, 93, 94	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( t e. r -> ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> A ) " r ) ) )
96	87, 95	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> A ) " r ) )
97	86	elin2d 3312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. s )
98	10	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> Z )
99	98	ffund 5341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> Fun ( x e. X |-> B ) )
100	98	fdmd 5344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> dom ( x e. X |-> B ) = X )
101	90, 100	sseqtrrd 3181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( r i^i s ) C_ dom ( x e. X |-> B ) )
102	101, 86	sseldd 3143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> t e. dom ( x e. X |-> B ) )
103		funfvima 5716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Fun ( x e. X |-> B ) /\ t e. dom ( x e. X |-> B ) ) -> ( t e. s -> ( ( x e. X |-> B ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
104	99, 102, 103	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( t e. s -> ( ( x e. X |-> B ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
105	97, 104	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` t ) e. ( ( x e. X |-> B ) " s ) )
106	96, 105	opelxpd 4637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` t ) , ( ( x e. X |-> B ) ` t ) >. e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
107	85, 106	eqeltrd 2243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r C_ X ) /\ t e. ( r i^i s ) ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
108	107	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> A. t e. ( r i^i s ) ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
109	13	ffund 5341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Fun ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
110	109	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> Fun ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
111	13	fdmd 5344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) = X )
112	111	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) = X )
113	71, 112	sseqtrrd 3181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> ( r i^i s ) C_ dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
114		funimass4 5537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Fun ( x e. X |-> <. A , B >. ) /\ ( r i^i s ) C_ dom ( x e. X |-> <. A , B >. ) ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) <-> A. t e. ( r i^i s ) ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) ) )
115	110, 113, 114	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) <-> A. t e. ( r i^i s ) ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` t ) e. ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) ) )
116	108, 115	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r C_ X ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
117	69, 116	syldan 280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
118	117	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) )
119		xpss12 4711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) -> ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) C_ ( v X. w ) )
120		sstr2 3149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) -> ( ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) X. ( ( x e. X |-> B ) " s ) ) C_ ( v X. w ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) )
121	118, 119, 120	syl2im 38	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) )
122	66, 121	anim12d 333	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( ( D e. r /\ D e. s ) /\ ( ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) )
123	63, 122	syl5bi 151	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) )
124		topontop 12652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
125	1, 124	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. Top )
126		inopn 12641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ r e. J /\ s e. J ) -> ( r i^i s ) e. J )
127	126	3expb 1194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( r i^i s ) e. J )
128	125, 127	sylan 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( r i^i s ) e. J )
129	128	adantlr 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( r i^i s ) e. J )
130	123, 129	jctild 314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) /\ ( r e. J /\ s e. J ) ) -> ( ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> ( ( r i^i s ) e. J /\ ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) ) )
131	130	expimpd 361	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( r e. J /\ s e. J ) /\ ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) -> ( ( r i^i s ) e. J /\ ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) ) )
132		eleq2 2230	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( r i^i s ) -> ( D e. z <-> D e. ( r i^i s ) ) )
133		imaeq2 4942	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( r i^i s ) -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) = ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) )
134	133	sseq1d 3171	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( r i^i s ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) )
135	132, 134	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( r i^i s ) -> ( ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) <-> ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) )
136	135	rspcev 2830	. . . . . . . 8 |- ( ( ( r i^i s ) e. J /\ ( D e. ( r i^i s ) /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " ( r i^i s ) ) C_ ( v X. w ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) )
137	131, 136	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( r e. J /\ s e. J ) /\ ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
138	137	expd 256	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( r e. J /\ s e. J ) -> ( ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) )
139	138	rexlimdvv 2590	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( E. r e. J E. s e. J ( ( D e. r /\ ( ( x e. X |-> A ) " r ) C_ v ) /\ ( D e. s /\ ( ( x e. X |-> B ) " s ) C_ w ) ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
140	62, 139	syld 45	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( v e. K /\ w e. L ) ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
141	140	ralrimivva 2548	. . 3 |- ( ph -> A. v e. K A. w e. L ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
142		vex 2729	. . . . . 6 |- v e. _V
143		vex 2729	. . . . . 6 |- w e. _V
144	142, 143	xpex 4719	. . . . 5 |- ( v X. w ) e. _V
145	144	rgen2w 2522	. . . 4 |- A. v e. K A. w e. L ( v X. w ) e. _V
146		eqid 2165	. . . . 5 |- ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) = ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) )
147		eleq2 2230	. . . . . 6 |- ( y = ( v X. w ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) ) )
148		sseq2 3166	. . . . . . . 8 |- ( y = ( v X. w ) -> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) )
149	148	anbi2d 460	. . . . . . 7 |- ( y = ( v X. w ) -> ( ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) <-> ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
150	149	rexbidv 2467	. . . . . 6 |- ( y = ( v X. w ) -> ( E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) <-> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
151	147, 150	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( y = ( v X. w ) -> ( ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) <-> ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) )
152	146, 151	ralrnmpo 5956	. . . 4 |- ( A. v e. K A. w e. L ( v X. w ) e. _V -> ( A. y e. ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) <-> A. v e. K A. w e. L ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) ) )
153	145, 152	ax-mp 5	. . 3 |- ( A. y e. ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) <-> A. v e. K A. w e. L ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. ( v X. w ) -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ ( v X. w ) ) ) )
154	141, 153	sylibr 133	. 2 |- ( ph -> A. y e. ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) )
155		topontop 12652	. . . . 5 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
156	2, 155	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> K e. Top )
157		topontop 12652	. . . . 5 |- ( L e. (TopOn ` Z ) -> L e. Top )
158	7, 157	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> L e. Top )
159		eqid 2165	. . . . 5 |- ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) = ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) )
160	159	txval 12895	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ L e. Top ) -> ( K tX L ) = ( topGen ` ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ) )
161	156, 158, 160	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( K tX L ) = ( topGen ` ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ) )
162		txtopon 12902	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. (TopOn ` Z ) ) -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( Y X. Z ) ) )
163	2, 7, 162	syl2anc 409	. . 3 |- ( ph -> ( K tX L ) e. (TopOn ` ( Y X. Z ) ) )
164	1, 161, 163, 14	tgcnp 12849	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( ( J CnP ( K tX L ) ) ` D ) <-> ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) : X --> ( Y X. Z ) /\ A. y e. ran ( v e. K , w e. L |-> ( v X. w ) ) ( ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) ` D ) e. y -> E. z e. J ( D e. z /\ ( ( x e. X |-> <. A , B >. ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
165	13, 154, 164	mpbir2and 934	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( ( J CnP ( K tX L ) ) ` D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   i^i cin 3115   C_ wss 3116   <.cop 3579   |-> cmpt 4043   X. cxp 4602   dom cdm 4604   ran crn 4605   "cima 4607   Fun wfun 5182   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844   topGenctg 12571   Topctop 12635  TopOnctopon 12648   CnP ccnp 12826   tX ctx 12892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-map 6616  df-topgen 12577  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-cnp 12829  df-tx 12893

This theorem is referenced by: (None)