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Theorem cnptoprest 12189
Description: Equivalence of continuity at a point and continuity of the restricted function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1 |- X = U. J
cnprest.2 |- Y = U. K
Assertion
Ref Expression
cnptoprest |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) ) )
Proof of Theorem cnptoprest
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 952 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> J e. Top )
2 simpl3 954 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> A C_ X )
3 cnprest.1 . . . . . . . . . 10 |- X = U. J
43ntrss2 12072 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` A ) C_ A )
51, 2, 4syl2anc 406 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( int ` J ) ` A ) C_ A )
6 simprl 501 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> P e. ( ( int ` J ) ` A ) )
75, 6sseldd 3048 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> P e. A )
8 fvres 5377 . . . . . . 7 |- ( P e. A -> ( ( F |` A ) ` P ) = ( F ` P ) )
97, 8syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( F |` A ) ` P ) = ( F ` P ) )
109eqcomd 2105 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( F ` P ) = ( ( F |` A ) ` P ) )
1110eleq1d 2168 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( F ` P ) e. y <-> ( ( F |` A ) ` P ) e. y ) )
12 inss1 3243 . . . . . . . . 9 |- ( x i^i A ) C_ x
13 imass2 4851 . . . . . . . . 9 |- ( ( x i^i A ) C_ x -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ ( F " x ) )
14 sstr2 3054 . . . . . . . . 9 |- ( ( F " ( x i^i A ) ) C_ ( F " x ) -> ( ( F " x ) C_ y -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
1512, 13, 14mp2b 8 . . . . . . . 8 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y )
1615anim2i 337 . . . . . . 7 |- ( ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
1716reximi 2488 . . . . . 6 |- ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
183ntropn 12068 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` A ) e. J )
191, 2, 18syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( int ` J ) ` A ) e. J )
20 inopn 11952 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ ( ( int ` J ) ` A ) e. J ) -> ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J )
21203com23 1155 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( ( int ` J ) ` A ) e. J /\ x e. J ) -> ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J )
22213expia 1151 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( ( int ` J ) ` A ) e. J ) -> ( x e. J -> ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J ) )
231, 19, 22syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( x e. J -> ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J ) )
24 elin 3206 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) <-> ( P e. x /\ P e. ( ( int ` J ) ` A ) ) )
2524simplbi2com 1388 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) -> ( P e. x -> P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) )
266, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( P e. x -> P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) )
27 sslin 3249 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( int ` J ) ` A ) C_ A -> ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) C_ ( x i^i A ) )
28 imass2 4851 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) C_ ( x i^i A ) -> ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ ( F " ( x i^i A ) ) )
295, 27, 283syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ ( F " ( x i^i A ) ) )
30 sstr2 3054 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ ( F " ( x i^i A ) ) -> ( ( F " ( x i^i A ) ) C_ y -> ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( F " ( x i^i A ) ) C_ y -> ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) )
3226, 31anim12d 331 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) -> ( P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) /\ ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) ) )
3323, 32anim12d 331 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) -> ( ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J /\ ( P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) /\ ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) ) ) )
34 eleq2 2163 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) -> ( P e. z <-> P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) )
35 imaeq2 4813 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) -> ( F " z ) = ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) )
3635sseq1d 3076 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) -> ( ( F " z ) C_ y <-> ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) )
3734, 36anbi12d 460 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) -> ( ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) <-> ( P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) /\ ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) ) )
3837rspcev 2744 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J /\ ( P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) /\ ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) )
3933, 38syl6 33 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) )
4039expdimp 257 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) /\ x e. J ) -> ( ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) )
4140rexlimdva 2508 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) )
42 eleq2 2163 . . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( P e. z <-> P e. x ) )
43 imaeq2 4813 . . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( F " z ) = ( F " x ) )
4443sseq1d 3076 . . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( ( F " z ) C_ y <-> ( F " x ) C_ y ) )
4542, 44anbi12d 460 . . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) <-> ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
4645cbvrexv 2613 . . . . . . 7 |- ( E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) )
4741, 46syl6ib 160 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
4817, 47impbid2 142 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
49 vex 2644 . . . . . . . 8 |- x e. _V
5049inex1 4002 . . . . . . 7 |- ( x i^i A ) e. _V
5150a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) /\ x e. J ) -> ( x i^i A ) e. _V )
52 uniexg 4299 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
531, 52syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> U. J e. _V )
542, 3syl6sseq 3095 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> A C_ U. J )
5553, 54ssexd 4008 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> A e. _V )
56 elrest 11909 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. x e. J z = ( x i^i A ) ) )
571, 55, 56syl2anc 406 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. x e. J z = ( x i^i A ) ) )
58 eleq2 2163 . . . . . . . 8 |- ( z = ( x i^i A ) -> ( P e. z <-> P e. ( x i^i A ) ) )
59 elin 3206 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( x i^i A ) <-> ( P e. x /\ P e. A ) )
6059rbaib 874 . . . . . . . . 9 |- ( P e. A -> ( P e. ( x i^i A ) <-> P e. x ) )
617, 60syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( P e. ( x i^i A ) <-> P e. x ) )
6258, 61sylan9bbr 454 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( P e. z <-> P e. x ) )
63 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> z = ( x i^i A ) )
6463imaeq2d 4817 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( F |` A ) " z ) = ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) )
65 inss2 3244 . . . . . . . . . 10 |- ( x i^i A ) C_ A
66 resima2 4789 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x i^i A ) C_ A -> ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) = ( F " ( x i^i A ) ) )
6765, 66ax-mp 7 . . . . . . . . 9 |- ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) = ( F " ( x i^i A ) )
6864, 67syl6eq 2148 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( F |` A ) " z ) = ( F " ( x i^i A ) ) )
6968sseq1d 3076 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( ( F |` A ) " z ) C_ y <-> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
7062, 69anbi12d 460 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) <-> ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
7151, 57, 70rexxfr2d 4324 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
7248, 71bitr4d 190 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) <-> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
7311, 72imbi12d 233 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) <-> ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) )
7473ralbidv 2396 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) )
753toptopon 11967 . . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
761, 75sylib 121 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
77 simpl2 953 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> K e. Top )
78 cnprest.2 . . . . . 6 |- Y = U. K
7978toptopon 11967 . . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
8077, 79sylib 121 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
812, 7sseldd 3048 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> P e. X )
82 iscnp 12149 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
8376, 80, 81, 82syl3anc 1184 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
84 simprr 502 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> F : X --> Y )
8584biantrurd 301 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
8683, 85bitr4d 190 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
87 simp1l 973 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> J e. Top )
8887, 75sylib 121 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> J e. (TopOn ` X ) )
89 simp1r 974 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> A C_ X )
90 resttopon 12122 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
9188, 89, 90syl2anc 406 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
92 simp3 951 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> K e. Top )
9392, 79sylib 121 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
9443ad2ant1 970 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( int ` J ) ` A ) C_ A )
95 simp2l 975 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> P e. ( ( int ` J ) ` A ) )
9694, 95sseldd 3048 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> P e. A )
97 iscnp 12149 . . . . 5 |- ( ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. A ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> ( ( F |` A ) : A --> Y /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
9891, 93, 96, 97syl3anc 1184 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> ( ( F |` A ) : A --> Y /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
99 simp2r 976 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> F : X --> Y )
10099, 89fssresd 5235 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( F |` A ) : A --> Y )
101100biantrurd 301 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) <-> ( ( F |` A ) : A --> Y /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
10298, 101bitr4d 190 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) )
1031, 2, 6, 84, 77, 102syl221anc 1195 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) )
10474, 86, 1033bitr4d 219 1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 930   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   _Vcvv 2641   i^i cin 3020   C_ wss 3021   U.cuni 3683   |` cres 4479   "cima 4480   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   ↾t crest 11902   Topctop 11946  TopOnctopon 11959   intcnt 12044   CnP ccnp 12137
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-map 6474  df-rest 11904  df-topgen 11923  df-top 11947  df-topon 11960  df-bases 11992  df-ntr 12047  df-cnp 12140
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