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Theorem cnptoprest 12445
Description: Equivalence of continuity at a point and continuity of the restricted function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1  |-  X  = 
U. J
cnprest.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnptoprest  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) )

Proof of Theorem cnptoprest
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  J  e.  Top )
2 simpl3 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  A  C_  X
)
3 cnprest.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
43ntrss2 12327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  A )  C_  A )
51, 2, 4syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( int `  J ) `  A )  C_  A
)
6 simprl 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  P  e.  ( ( int `  J
) `  A )
)
75, 6sseldd 3102 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  P  e.  A )
8 fvres 5452 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 P )  =  ( F `  P
) )
97, 8syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( F  |`  A ) `  P )  =  ( F `  P ) )
109eqcomd 2146 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F `  P )  =  ( ( F  |`  A ) `
 P ) )
1110eleq1d 2209 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  y  <->  ( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y ) )
12 inss1 3300 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
13 imass2 4922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  x  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  ( F " x ) )
14 sstr2 3108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  ( F "
x )  ->  (
( F " x
)  C_  y  ->  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) )
1512, 13, 14mp2b 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )
1615anim2i 340 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  -> 
( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
1716reximi 2532 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
183ntropn 12323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  A )  e.  J )
191, 2, 18syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( int `  J ) `  A )  e.  J
)
20 inopn 12207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J )  ->  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  e.  J )
21203com23 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  e.  J )
22213expia 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J )  ->  (
x  e.  J  -> 
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  e.  J ) )
231, 19, 22syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( x  e.  J  ->  ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) )  e.  J
) )
24 elin 3263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  A )
) )
2524simplbi2com 1421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ( int `  J ) `  A
)  ->  ( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) ) )
266, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) ) )
27 sslin 3306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( int `  J
) `  A )  C_  A  ->  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  C_  ( x  i^i  A ) )
28 imass2 4922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  ( ( int `  J ) `
 A ) ) 
C_  ( x  i^i 
A )  ->  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
) )  C_  ( F " ( x  i^i 
A ) ) )
295, 27, 283syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F " ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  ( F " ( x  i^i 
A ) ) )
30 sstr2 3108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) )  C_  ( F " ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F
" ( x  i^i 
A ) )  C_  y  ->  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y  ->  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) )
3226, 31anim12d 333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y )  -> 
( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J ) `
 A ) )  /\  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) )
3323, 32anim12d 333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( (
x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)  ->  ( (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  e.  J  /\  ( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  /\  ( F " ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) ) )
34 eleq2 2204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) ) ) )
35 imaeq2 4884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( F " z )  =  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) ) )
3635sseq1d 3130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( ( F " z )  C_  y 
<->  ( F " (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) ) ) 
C_  y ) )
3734, 36anbi12d 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( ( P  e.  z  /\  ( F " z ) 
C_  y )  <->  ( P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  /\  ( F " ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) )
3837rspcev 2792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  e.  J  /\  ( P  e.  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  /\  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) )  C_  y ) )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
)
3933, 38syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( (
x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z )  C_  y ) ) )
4039expdimp 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  /\  x  e.  J )  ->  (
( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) )
4140rexlimdva 2552 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) )
42 eleq2 2204 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  x ) )
43 imaeq2 4884 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  ( F " z )  =  ( F " x
) )
4443sseq1d 3130 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( F " z
)  C_  y  <->  ( F " x )  C_  y
) )
4542, 44anbi12d 465 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( P  e.  z  /\  ( F "
z )  C_  y
)  <->  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y ) ) )
4645cbvrexv 2658 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z ) 
C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )
4741, 46syl6ib 160 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) )
4817, 47impbid2 142 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y ) ) )
49 vex 2692 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
5049inex1 4069 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
5150a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  A )  e.  _V )
52 uniexg 4368 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
531, 52syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  U. J  e. 
_V )
542, 3sseqtrdi 3149 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  A  C_  U. J
)
5553, 54ssexd 4075 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  A  e.  _V )
56 elrest 12164 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
571, 55, 56syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
58 eleq2 2204 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  i^i 
A )  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  ( x  i^i  A ) ) )
59 elin 3263 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( x  i^i 
A )  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  A ) )
6059rbaib 907 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  A  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A )  <->  P  e.  x ) )
617, 60syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A
)  <->  P  e.  x
) )
6258, 61sylan9bbr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  /\  z  =  ( x  i^i  A
) )  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  x ) )
63 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  /\  z  =  ( x  i^i  A
) )  ->  z  =  ( x  i^i 
A ) )
6463imaeq2d 4888 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  /\  z  =  ( x  i^i  A
) )  ->  (
( F  |`  A )
" z )  =  ( ( F  |`  A ) " (
x  i^i  A )
) )
65 inss2 3301 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
66 resima2 4860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  A  ->  (
( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
) )
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  |`  A ) " ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
)
6864, 67eqtrdi 2189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  /\  z  =  ( x  i^i  A
) )  ->  (
( F  |`  A )
" z )  =  ( F " (
x  i^i  A )
) )
6968sseq1d 3130 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  /\  z  =  ( x  i^i  A
) )  ->  (
( ( F  |`  A ) " z
)  C_  y  <->  ( F " ( x  i^i  A
) )  C_  y
) )
7062, 69anbi12d 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  /\  z  =  ( x  i^i  A
) )  ->  (
( P  e.  z  /\  ( ( F  |`  A ) " z
)  C_  y )  <->  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) ) )
7151, 57, 70rexxfr2d 4393 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( E. z  e.  ( Jt  A
) ( P  e.  z  /\  ( ( F  |`  A ) " z )  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y ) ) )
7248, 71bitr4d 190 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  <->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
7311, 72imbi12d 233 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  <->  ( ( ( F  |`  A ) `  P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
7473ralbidv 2438 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  <->  A. y  e.  K  ( ( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
753toptopon 12222 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
761, 75sylib 121 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
77 simpl2 986 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  K  e.  Top )
78 cnprest.2 . . . . . 6  |-  Y  = 
U. K
7978toptopon 12222 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
8077, 79sylib 121 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
812, 7sseldd 3102 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  P  e.  X )
82 iscnp 12405 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
8376, 80, 81, 82syl3anc 1217 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
84 simprr 522 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  F : X
--> Y )
8584biantrurd 303 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
8683, 85bitr4d 190 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) )
87 simp1l 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  J  e.  Top )
8887, 75sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
89 simp1r 1007 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  A  C_  X
)
90 resttopon 12377 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
9188, 89, 90syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A
) )
92 simp3 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  Top )
9392, 79sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
9443ad2ant1 1003 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( int `  J ) `  A
)  C_  A )
95 simp2l 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  P  e.  ( ( int `  J
) `  A )
)
9694, 95sseldd 3102 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  P  e.  A
)
97 iscnp 12405 . . . . 5  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  A
)  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
9891, 93, 96, 97syl3anc 1217 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
99 simp2r 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  F : X --> Y )
10099, 89fssresd 5306 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  |`  A ) : A --> Y )
101100biantrurd 303 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
10298, 101bitr4d 190 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `  P )  <->  A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
1031, 2, 6, 84, 77, 102syl221anc 1228 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  <->  A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
10474, 86, 1033bitr4d 219 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   _Vcvv 2689    i^i cin 3074    C_ wss 3075   U.cuni 3743    |` cres 4548   "cima 4549   -->wf 5126   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   ↾t crest 12157   Topctop 12201  TopOnctopon 12214   intcnt 12299    CnP ccnp 12392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-rest 12159  df-topgen 12178  df-top 12202  df-topon 12215  df-bases 12247  df-ntr 12302  df-cnp 12395
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