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Theorem cnptoprest 12397
Description: Equivalence of continuity at a point and continuity of the restricted function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1 |- X = U. J
cnprest.2 |- Y = U. K
Assertion
Ref Expression
cnptoprest |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) ) )
Proof of Theorem cnptoprest
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 984 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> J e. Top )
2 simpl3 986 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> A C_ X )
3 cnprest.1 . . . . . . . . . 10 |- X = U. J
43ntrss2 12279 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` A ) C_ A )
51, 2, 4syl2anc 408 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( int ` J ) ` A ) C_ A )
6 simprl 520 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> P e. ( ( int ` J ) ` A ) )
75, 6sseldd 3093 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> P e. A )
8 fvres 5438 . . . . . . 7 |- ( P e. A -> ( ( F |` A ) ` P ) = ( F ` P ) )
97, 8syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( F |` A ) ` P ) = ( F ` P ) )
109eqcomd 2143 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( F ` P ) = ( ( F |` A ) ` P ) )
1110eleq1d 2206 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( F ` P ) e. y <-> ( ( F |` A ) ` P ) e. y ) )
12 inss1 3291 . . . . . . . . 9 |- ( x i^i A ) C_ x
13 imass2 4910 . . . . . . . . 9 |- ( ( x i^i A ) C_ x -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ ( F " x ) )
14 sstr2 3099 . . . . . . . . 9 |- ( ( F " ( x i^i A ) ) C_ ( F " x ) -> ( ( F " x ) C_ y -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
1512, 13, 14mp2b 8 . . . . . . . 8 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y )
1615anim2i 339 . . . . . . 7 |- ( ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
1716reximi 2527 . . . . . 6 |- ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
183ntropn 12275 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` A ) e. J )
191, 2, 18syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( int ` J ) ` A ) e. J )
20 inopn 12159 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ ( ( int ` J ) ` A ) e. J ) -> ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J )
21203com23 1187 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( ( int ` J ) ` A ) e. J /\ x e. J ) -> ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J )
22213expia 1183 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ ( ( int ` J ) ` A ) e. J ) -> ( x e. J -> ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J ) )
231, 19, 22syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( x e. J -> ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J ) )
24 elin 3254 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) <-> ( P e. x /\ P e. ( ( int ` J ) ` A ) ) )
2524simplbi2com 1420 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) -> ( P e. x -> P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) )
266, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( P e. x -> P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) )
27 sslin 3297 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( int ` J ) ` A ) C_ A -> ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) C_ ( x i^i A ) )
28 imass2 4910 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) C_ ( x i^i A ) -> ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ ( F " ( x i^i A ) ) )
295, 27, 283syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ ( F " ( x i^i A ) ) )
30 sstr2 3099 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ ( F " ( x i^i A ) ) -> ( ( F " ( x i^i A ) ) C_ y -> ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( F " ( x i^i A ) ) C_ y -> ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) )
3226, 31anim12d 333 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) -> ( P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) /\ ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) ) )
3323, 32anim12d 333 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) -> ( ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J /\ ( P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) /\ ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) ) ) )
34 eleq2 2201 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) -> ( P e. z <-> P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) )
35 imaeq2 4872 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) -> ( F " z ) = ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) )
3635sseq1d 3121 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) -> ( ( F " z ) C_ y <-> ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) )
3734, 36anbi12d 464 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) -> ( ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) <-> ( P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) /\ ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) ) )
3837rspcev 2784 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J /\ ( P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) /\ ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) )
3933, 38syl6 33 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) )
4039expdimp 257 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) /\ x e. J ) -> ( ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) )
4140rexlimdva 2547 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) )
42 eleq2 2201 . . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( P e. z <-> P e. x ) )
43 imaeq2 4872 . . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( F " z ) = ( F " x ) )
4443sseq1d 3121 . . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( ( F " z ) C_ y <-> ( F " x ) C_ y ) )
4542, 44anbi12d 464 . . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) <-> ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
4645cbvrexv 2653 . . . . . . 7 |- ( E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) )
4741, 46syl6ib 160 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
4817, 47impbid2 142 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
49 vex 2684 . . . . . . . 8 |- x e. _V
5049inex1 4057 . . . . . . 7 |- ( x i^i A ) e. _V
5150a1i 9 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) /\ x e. J ) -> ( x i^i A ) e. _V )
52 uniexg 4356 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
531, 52syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> U. J e. _V )
542, 3sseqtrdi 3140 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> A C_ U. J )
5553, 54ssexd 4063 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> A e. _V )
56 elrest 12116 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. x e. J z = ( x i^i A ) ) )
571, 55, 56syl2anc 408 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. x e. J z = ( x i^i A ) ) )
58 eleq2 2201 . . . . . . . 8 |- ( z = ( x i^i A ) -> ( P e. z <-> P e. ( x i^i A ) ) )
59 elin 3254 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( x i^i A ) <-> ( P e. x /\ P e. A ) )
6059rbaib 906 . . . . . . . . 9 |- ( P e. A -> ( P e. ( x i^i A ) <-> P e. x ) )
617, 60syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( P e. ( x i^i A ) <-> P e. x ) )
6258, 61sylan9bbr 458 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( P e. z <-> P e. x ) )
63 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> z = ( x i^i A ) )
6463imaeq2d 4876 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( F |` A ) " z ) = ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) )
65 inss2 3292 . . . . . . . . . 10 |- ( x i^i A ) C_ A
66 resima2 4848 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x i^i A ) C_ A -> ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) = ( F " ( x i^i A ) ) )
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) = ( F " ( x i^i A ) )
6864, 67syl6eq 2186 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( F |` A ) " z ) = ( F " ( x i^i A ) ) )
6968sseq1d 3121 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( ( F |` A ) " z ) C_ y <-> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
7062, 69anbi12d 464 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) <-> ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
7151, 57, 70rexxfr2d 4381 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
7248, 71bitr4d 190 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) <-> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
7311, 72imbi12d 233 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) <-> ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) )
7473ralbidv 2435 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) )
753toptopon 12174 . . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
761, 75sylib 121 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
77 simpl2 985 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> K e. Top )
78 cnprest.2 . . . . . 6 |- Y = U. K
7978toptopon 12174 . . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
8077, 79sylib 121 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
812, 7sseldd 3093 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> P e. X )
82 iscnp 12357 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
8376, 80, 81, 82syl3anc 1216 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
84 simprr 521 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> F : X --> Y )
8584biantrurd 303 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
8683, 85bitr4d 190 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
87 simp1l 1005 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> J e. Top )
8887, 75sylib 121 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> J e. (TopOn ` X ) )
89 simp1r 1006 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> A C_ X )
90 resttopon 12329 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
9188, 89, 90syl2anc 408 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
92 simp3 983 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> K e. Top )
9392, 79sylib 121 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
9443ad2ant1 1002 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( int ` J ) ` A ) C_ A )
95 simp2l 1007 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> P e. ( ( int ` J ) ` A ) )
9694, 95sseldd 3093 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> P e. A )
97 iscnp 12357 . . . . 5 |- ( ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. A ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> ( ( F |` A ) : A --> Y /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
9891, 93, 96, 97syl3anc 1216 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> ( ( F |` A ) : A --> Y /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
99 simp2r 1008 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> F : X --> Y )
10099, 89fssresd 5294 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( F |` A ) : A --> Y )
101100biantrurd 303 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) <-> ( ( F |` A ) : A --> Y /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
10298, 101bitr4d 190 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) )
1031, 2, 6, 84, 77, 102syl221anc 1227 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) )
10474, 86, 1033bitr4d 219 1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   _Vcvv 2681   i^i cin 3065   C_ wss 3066   U.cuni 3731   |` cres 4536   "cima 4537   -->wf 5114   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   ↾t crest 12109   Topctop 12153  TopOnctopon 12166   intcnt 12251   CnP ccnp 12344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-map 6537  df-rest 12111  df-topgen 12130  df-top 12154  df-topon 12167  df-bases 12199  df-ntr 12254  df-cnp 12347
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