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Theorem cnptoprest 14224
Description: Equivalence of continuity at a point and continuity of the restricted function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1  |-  X  = 
U. J
cnprest.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cnptoprest  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) )

Proof of Theorem cnptoprest
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1002 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  J  e.  Top )
2 simpl3 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  A  C_  X
)
3 cnprest.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  = 
U. J
43ntrss2 14106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  A )  C_  A )
51, 2, 4syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( int `  J ) `  A )  C_  A
)
6 simprl 529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  P  e.  ( ( int `  J
) `  A )
)
75, 6sseldd 3171 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  P  e.  A )
8 fvres 5561 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 P )  =  ( F `  P
) )
97, 8syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( F  |`  A ) `  P )  =  ( F `  P ) )
109eqcomd 2195 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F `  P )  =  ( ( F  |`  A ) `
 P ) )
1110eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  y  <->  ( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y ) )
12 inss1 3370 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  C_  x
13 imass2 5025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  x  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  ( F " x ) )
14 sstr2 3177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  ( F "
x )  ->  (
( F " x
)  C_  y  ->  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) )
1512, 13, 14mp2b 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " x ) 
C_  y  ->  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y )
1615anim2i 342 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  -> 
( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
1716reximi 2587 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)
183ntropn 14102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  A )  e.  J )
191, 2, 18syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( int `  J ) `  A )  e.  J
)
20 inopn 13988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J )  ->  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  e.  J )
21203com23 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  e.  J )
22213expia 1207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( int `  J
) `  A )  e.  J )  ->  (
x  e.  J  -> 
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  e.  J ) )
231, 19, 22syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( x  e.  J  ->  ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) )  e.  J
) )
24 elin 3333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  ( ( int `  J
) `  A )
) )
2524simplbi2com 1455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ( int `  J ) `  A
)  ->  ( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) ) )
266, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( P  e.  x  ->  P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) ) )
27 sslin 3376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( int `  J
) `  A )  C_  A  ->  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  C_  ( x  i^i  A ) )
28 imass2 5025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  ( ( int `  J ) `
 A ) ) 
C_  ( x  i^i 
A )  ->  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
) )  C_  ( F " ( x  i^i 
A ) ) )
295, 27, 283syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F " ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  ( F " ( x  i^i 
A ) ) )
30 sstr2 3177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) )  C_  ( F " ( x  i^i  A ) )  ->  ( ( F
" ( x  i^i 
A ) )  C_  y  ->  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y  ->  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) )
3226, 31anim12d 335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y )  -> 
( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J ) `
 A ) )  /\  ( F "
( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) )
3323, 32anim12d 335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( (
x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)  ->  ( (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  e.  J  /\  ( P  e.  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  /\  ( F " ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) ) )
34 eleq2 2253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) ) ) )
35 imaeq2 4987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( F " z )  =  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) ) )
3635sseq1d 3199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( ( F " z )  C_  y 
<->  ( F " (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) ) ) 
C_  y ) )
3734, 36anbi12d 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x  i^i  ( ( int `  J
) `  A )
)  ->  ( ( P  e.  z  /\  ( F " z ) 
C_  y )  <->  ( P  e.  ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  /\  ( F " ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
) )  C_  y
) ) )
3837rspcev 2856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  i^i  (
( int `  J
) `  A )
)  e.  J  /\  ( P  e.  (
x  i^i  ( ( int `  J ) `  A ) )  /\  ( F " ( x  i^i  ( ( int `  J ) `  A
) ) )  C_  y ) )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
)
3933, 38syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( (
x  e.  J  /\  ( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )
)  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z )  C_  y ) ) )
4039expdimp 259 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  /\  x  e.  J )  ->  (
( P  e.  x  /\  ( F " (
x  i^i  A )
)  C_  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) )
4140rexlimdva 2607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y )  ->  E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z
)  C_  y )
) )
42 eleq2 2253 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  x ) )
43 imaeq2 4987 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  ( F " z )  =  ( F " x
) )
4443sseq1d 3199 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
( F " z
)  C_  y  <->  ( F " x )  C_  y
) )
4542, 44anbi12d 473 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( P  e.  z  /\  ( F "
z )  C_  y
)  <->  ( P  e.  x  /\  ( F
" x )  C_  y ) ) )
4645cbvrexv 2719 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  J  ( P  e.  z  /\  ( F " z ) 
C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) )
4741, 46imbitrdi 161 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y )  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) )
4817, 47impbid2 143 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y ) ) )
49 vex 2755 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
5049inex1 4155 . . . . . . 7  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
5150a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  /\  x  e.  J )  ->  (
x  i^i  A )  e.  _V )
52 uniexg 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
531, 52syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  U. J  e. 
_V )
542, 3sseqtrdi 3218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  A  C_  U. J
)
5553, 54ssexd 4161 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  A  e.  _V )
56 elrest 12762 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  _V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
571, 55, 56syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. x  e.  J  z  =  ( x  i^i  A ) ) )
58 eleq2 2253 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( x  i^i 
A )  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  ( x  i^i  A ) ) )
59 elin 3333 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  ( x  i^i 
A )  <->  ( P  e.  x  /\  P  e.  A ) )
6059rbaib 922 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  A  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A )  <->  P  e.  x ) )
617, 60syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( P  e.  ( x  i^i  A
)  <->  P  e.  x
) )
6258, 61sylan9bbr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  /\  z  =  ( x  i^i  A
) )  ->  ( P  e.  z  <->  P  e.  x ) )
63 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  /\  z  =  ( x  i^i  A
) )  ->  z  =  ( x  i^i 
A ) )
6463imaeq2d 4991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  /\  z  =  ( x  i^i  A
) )  ->  (
( F  |`  A )
" z )  =  ( ( F  |`  A ) " (
x  i^i  A )
) )
65 inss2 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
66 resima2 4962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  A ) 
C_  A  ->  (
( F  |`  A )
" ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
) )
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  |`  A ) " ( x  i^i 
A ) )  =  ( F " (
x  i^i  A )
)
6864, 67eqtrdi 2238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  /\  z  =  ( x  i^i  A
) )  ->  (
( F  |`  A )
" z )  =  ( F " (
x  i^i  A )
) )
6968sseq1d 3199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  /\  z  =  ( x  i^i  A
) )  ->  (
( ( F  |`  A ) " z
)  C_  y  <->  ( F " ( x  i^i  A
) )  C_  y
) )
7062, 69anbi12d 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X
)  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  /\  z  =  ( x  i^i  A
) )  ->  (
( P  e.  z  /\  ( ( F  |`  A ) " z
)  C_  y )  <->  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i  A ) ) 
C_  y ) ) )
7151, 57, 70rexxfr2d 4486 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( E. z  e.  ( Jt  A
) ( P  e.  z  /\  ( ( F  |`  A ) " z )  C_  y )  <->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " ( x  i^i 
A ) )  C_  y ) ) )
7248, 71bitr4d 191 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x ) 
C_  y )  <->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) )
7311, 72imbi12d 234 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  <->  ( ( ( F  |`  A ) `  P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
7473ralbidv 2490 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  <->  A. y  e.  K  ( ( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
753toptopon 14003 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
761, 75sylib 122 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
77 simpl2 1003 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  K  e.  Top )
78 cnprest.2 . . . . . 6  |-  Y  = 
U. K
7978toptopon 14003 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
8077, 79sylib 122 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
812, 7sseldd 3171 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  P  e.  X )
82 iscnp 14184 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
8376, 80, 81, 82syl3anc 1249 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `
 P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
84 simprr 531 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  F : X
--> Y )
8584biantrurd 305 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( A. y  e.  K  (
( F `  P
)  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x )  C_  y ) ) ) ) )
8683, 85bitr4d 191 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  A. y  e.  K  ( ( F `  P )  e.  y  ->  E. x  e.  J  ( P  e.  x  /\  ( F " x
)  C_  y )
) ) )
87 simp1l 1023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  J  e.  Top )
8887, 75sylib 122 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
89 simp1r 1024 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  A  C_  X
)
90 resttopon 14156 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
9188, 89, 90syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A
) )
92 simp3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  Top )
9392, 79sylib 122 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
9443ad2ant1 1020 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( int `  J ) `  A
)  C_  A )
95 simp2l 1025 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  P  e.  ( ( int `  J
) `  A )
)
9694, 95sseldd 3171 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  P  e.  A
)
97 iscnp 14184 . . . . 5  |-  ( ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  A
)  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
9891, 93, 96, 97syl3anc 1249 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `  P )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
99 simp2r 1026 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  F : X --> Y )
10099, 89fssresd 5414 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( F  |`  A ) : A --> Y )
101100biantrurd 305 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) )  <->  ( ( F  |`  A ) : A --> Y  /\  A. y  e.  K  (
( ( F  |`  A ) `  P
)  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) ) )
10298, 101bitr4d 191 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  ( ( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y )  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `  P )  <->  A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
1031, 2, 6, 84, 77, 102syl221anc 1260 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( ( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K ) `
 P )  <->  A. y  e.  K  ( (
( F  |`  A ) `
 P )  e.  y  ->  E. z  e.  ( Jt  A ) ( P  e.  z  /\  (
( F  |`  A )
" z )  C_  y ) ) ) )
10474, 86, 1033bitr4d 220 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  A  C_  X )  /\  ( P  e.  (
( int `  J
) `  A )  /\  F : X --> Y ) )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <-> 
( F  |`  A )  e.  ( ( ( Jt  A )  CnP  K
) `  P )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   _Vcvv 2752    i^i cin 3143    C_ wss 3144   U.cuni 3827    |` cres 4649   "cima 4650   -->wf 5234   ` cfv 5238  (class class class)co 5900   ↾t crest 12755   Topctop 13982  TopOnctopon 13995   intcnt 14078    CnP ccnp 14171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-map 6680  df-rest 12757  df-topgen 12776  df-top 13983  df-topon 13996  df-bases 14028  df-ntr 14081  df-cnp 14174
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