Theorem finacn 7511

Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finacn	|- ( A e. Fin -> AC A = _V )

Proof of Theorem finacn

Dummy variables f g x y z j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6904	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) -> f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } )
2	1	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } )
3		ffvelcdm 5810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> ( f ` y ) e. { w e. ~P x | E. j j e. w } )
4		eleq2 2296	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( f ` y ) -> ( j e. w <-> j e. ( f ` y ) ) )
5	4	exbidv 1874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( f ` y ) -> ( E. j j e. w <-> E. j j e. ( f ` y ) ) )
6	5	elrab 2973	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` y ) e. { w e. ~P x | E. j j e. w } <-> ( ( f ` y ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` y ) ) )
7	3, 6	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> ( ( f ` y ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` y ) ) )
8	7	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> E. j j e. ( f ` y ) )
9		eleq1w 2293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = z -> ( j e. ( f ` y ) <-> z e. ( f ` y ) ) )
10	9	cbvexv 1968	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j j e. ( f ` y ) <-> E. z z e. ( f ` y ) )
11	8, 10	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> E. z z e. ( f ` y ) )
12		rexv 2832	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. _V z e. ( f ` y ) <-> E. z z e. ( f ` y ) )
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
14	13	ralrimiva 2615	. . . . . . . 8 |- ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } -> A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
15	2, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
16		eleq1 2295	. . . . . . . 8 |- ( z = ( g ` y ) -> ( z e. ( f ` y ) <-> ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
17	16	ac6sfi 7155	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) ) -> E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
18	15, 17	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
19		exsimpr 1667	. . . . . 6 |- ( E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
21	20	ralrimiva 2615	. . . 4 |- ( A e. Fin -> A. f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
22		vex 2816	. . . . 5 |- x e. _V
23		isacnm 7510	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ A e. Fin ) -> ( x e. AC A <-> A. f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
24	22, 23	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( x e. AC A <-> A. f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
25	21, 24	mpbird 167	. . 3 |- ( A e. Fin -> x e. AC A )
26	22	a1i 9	. . 3 |- ( A e. Fin -> x e. _V )
27	25, 26	2thd 175	. 2 |- ( A e. Fin -> ( x e. AC A <-> x e. _V ) )
28	27	eqrdv 2230	1 |- ( A e. Fin -> AC A = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   {crab 2524   _Vcvv 2813   ~Pcpw 3669   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   ^m cmap 6882   Fincfn 6975  AC wacn 7474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-er 6767  df-map 6884  df-en 6976  df-fin 6978  df-acnm 7476

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