Theorem finacn 7354

Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finacn	|- ( A e. Fin -> AC A = _V )

Proof of Theorem finacn

Dummy variables f g x y z j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6787	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) -> f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } )
2	1	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } )
3		ffvelcdm 5741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> ( f ` y ) e. { w e. ~P x | E. j j e. w } )
4		eleq2 2273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( f ` y ) -> ( j e. w <-> j e. ( f ` y ) ) )
5	4	exbidv 1851	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( f ` y ) -> ( E. j j e. w <-> E. j j e. ( f ` y ) ) )
6	5	elrab 2939	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` y ) e. { w e. ~P x | E. j j e. w } <-> ( ( f ` y ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` y ) ) )
7	3, 6	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> ( ( f ` y ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` y ) ) )
8	7	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> E. j j e. ( f ` y ) )
9		eleq1w 2270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = z -> ( j e. ( f ` y ) <-> z e. ( f ` y ) ) )
10	9	cbvexv 1945	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j j e. ( f ` y ) <-> E. z z e. ( f ` y ) )
11	8, 10	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> E. z z e. ( f ` y ) )
12		rexv 2798	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. _V z e. ( f ` y ) <-> E. z z e. ( f ` y ) )
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
14	13	ralrimiva 2583	. . . . . . . 8 |- ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } -> A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
15	2, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
16		eleq1 2272	. . . . . . . 8 |- ( z = ( g ` y ) -> ( z e. ( f ` y ) <-> ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
17	16	ac6sfi 7028	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) ) -> E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
18	15, 17	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
19		exsimpr 1644	. . . . . 6 |- ( E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
21	20	ralrimiva 2583	. . . 4 |- ( A e. Fin -> A. f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
22		vex 2782	. . . . 5 |- x e. _V
23		isacnm 7353	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ A e. Fin ) -> ( x e. AC A <-> A. f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
24	22, 23	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( x e. AC A <-> A. f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
25	21, 24	mpbird 167	. . 3 |- ( A e. Fin -> x e. AC A )
26	22	a1i 9	. . 3 |- ( A e. Fin -> x e. _V )
27	25, 26	2thd 175	. 2 |- ( A e. Fin -> ( x e. AC A <-> x e. _V ) )
28	27	eqrdv 2207	1 |- ( A e. Fin -> AC A = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1375   E.wex 1518   e. wcel 2180   A.wral 2488   E.wrex 2489   {crab 2492   _Vcvv 2779   ~Pcpw 3629   -->wf 5290   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   ^m cmap 6765   Fincfn 6857  AC wacn 7318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-er 6650  df-map 6767  df-en 6858  df-fin 6860  df-acnm 7320

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