Theorem finacn 7560

Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finacn	|- ( A e. Fin -> AC A = _V )

Proof of Theorem finacn

Dummy variables f g x y z j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6944	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) -> f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } )
2	1	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } )
3		ffvelcdm 5841	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> ( f ` y ) e. { w e. ~P x | E. j j e. w } )
4		eleq2 2302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( f ` y ) -> ( j e. w <-> j e. ( f ` y ) ) )
5	4	exbidv 1878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( f ` y ) -> ( E. j j e. w <-> E. j j e. ( f ` y ) ) )
6	5	elrab 2982	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` y ) e. { w e. ~P x | E. j j e. w } <-> ( ( f ` y ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` y ) ) )
7	3, 6	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> ( ( f ` y ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` y ) ) )
8	7	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> E. j j e. ( f ` y ) )
9		eleq1w 2299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = z -> ( j e. ( f ` y ) <-> z e. ( f ` y ) ) )
10	9	cbvexv 1974	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j j e. ( f ` y ) <-> E. z z e. ( f ` y ) )
11	8, 10	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> E. z z e. ( f ` y ) )
12		rexv 2840	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. _V z e. ( f ` y ) <-> E. z z e. ( f ` y ) )
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
14	13	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 |- ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } -> A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
15	2, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
16		eleq1 2301	. . . . . . . 8 |- ( z = ( g ` y ) -> ( z e. ( f ` y ) <-> ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
17	16	ac6sfi 7202	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) ) -> E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
18	15, 17	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
19		exsimpr 1671	. . . . . 6 |- ( E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
21	20	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( A e. Fin -> A. f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
22		vex 2824	. . . . 5 |- x e. _V
23		isacnm 7559	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ A e. Fin ) -> ( x e. AC A <-> A. f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
24	22, 23	mpan 428	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( x e. AC A <-> A. f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
25	21, 24	mpbird 167	. . 3 |- ( A e. Fin -> x e. AC A )
26	22	a1i 9	. . 3 |- ( A e. Fin -> x e. _V )
27	25, 26	2thd 175	. 2 |- ( A e. Fin -> ( x e. AC A <-> x e. _V ) )
28	27	eqrdv 2236	1 |- ( A e. Fin -> AC A = _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   _Vcvv 2821   ~Pcpw 3688   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ^m cmap 6922   Fincfn 7022  AC wacn 7523

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-er 6807  df-map 6924  df-en 7023  df-fin 7025  df-acnm 7525

This theorem is used by: (None)