Theorem finacn 7418

Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finacn	|- ( A e. Fin -> AC A = _V )

Proof of Theorem finacn

Dummy variables f g x y z j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6838	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) -> f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } )
2	1	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } )
3		ffvelcdm 5780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> ( f ` y ) e. { w e. ~P x | E. j j e. w } )
4		eleq2 2295	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( f ` y ) -> ( j e. w <-> j e. ( f ` y ) ) )
5	4	exbidv 1873	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( f ` y ) -> ( E. j j e. w <-> E. j j e. ( f ` y ) ) )
6	5	elrab 2962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` y ) e. { w e. ~P x | E. j j e. w } <-> ( ( f ` y ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` y ) ) )
7	3, 6	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> ( ( f ` y ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` y ) ) )
8	7	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> E. j j e. ( f ` y ) )
9		eleq1w 2292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = z -> ( j e. ( f ` y ) <-> z e. ( f ` y ) ) )
10	9	cbvexv 1967	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j j e. ( f ` y ) <-> E. z z e. ( f ` y ) )
11	8, 10	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> E. z z e. ( f ` y ) )
12		rexv 2821	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. _V z e. ( f ` y ) <-> E. z z e. ( f ` y ) )
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
14	13	ralrimiva 2605	. . . . . . . 8 |- ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } -> A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
15	2, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
16		eleq1 2294	. . . . . . . 8 |- ( z = ( g ` y ) -> ( z e. ( f ` y ) <-> ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
17	16	ac6sfi 7086	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) ) -> E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
18	15, 17	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
19		exsimpr 1666	. . . . . 6 |- ( E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
21	20	ralrimiva 2605	. . . 4 |- ( A e. Fin -> A. f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
22		vex 2805	. . . . 5 |- x e. _V
23		isacnm 7417	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ A e. Fin ) -> ( x e. AC A <-> A. f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
24	22, 23	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( x e. AC A <-> A. f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
25	21, 24	mpbird 167	. . 3 |- ( A e. Fin -> x e. AC A )
26	22	a1i 9	. . 3 |- ( A e. Fin -> x e. _V )
27	25, 26	2thd 175	. 2 |- ( A e. Fin -> ( x e. AC A <-> x e. _V ) )
28	27	eqrdv 2229	1 |- ( A e. Fin -> AC A = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   {crab 2514   _Vcvv 2802   ~Pcpw 3652   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   ^m cmap 6816   Fincfn 6908  AC wacn 7381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-er 6701  df-map 6818  df-en 6909  df-fin 6911  df-acnm 7383

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