Theorem finacn 7347

Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finacn	|- ( A e. Fin -> AC A = _V )

Proof of Theorem finacn

Dummy variables f g x y z j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6780	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) -> f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } )
2	1	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } )
3		ffvelcdm 5736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> ( f ` y ) e. { w e. ~P x | E. j j e. w } )
4		eleq2 2271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( f ` y ) -> ( j e. w <-> j e. ( f ` y ) ) )
5	4	exbidv 1849	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( f ` y ) -> ( E. j j e. w <-> E. j j e. ( f ` y ) ) )
6	5	elrab 2936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` y ) e. { w e. ~P x | E. j j e. w } <-> ( ( f ` y ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` y ) ) )
7	3, 6	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> ( ( f ` y ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` y ) ) )
8	7	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> E. j j e. ( f ` y ) )
9		eleq1w 2268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = z -> ( j e. ( f ` y ) <-> z e. ( f ` y ) ) )
10	9	cbvexv 1943	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j j e. ( f ` y ) <-> E. z z e. ( f ` y ) )
11	8, 10	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> E. z z e. ( f ` y ) )
12		rexv 2795	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. _V z e. ( f ` y ) <-> E. z z e. ( f ` y ) )
13	11, 12	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } /\ y e. A ) -> E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
14	13	ralrimiva 2581	. . . . . . . 8 |- ( f : A --> { w e. ~P x | E. j j e. w } -> A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
15	2, 14	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
16		eleq1 2270	. . . . . . . 8 |- ( z = ( g ` y ) -> ( z e. ( f ` y ) <-> ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
17	16	ac6sfi 7021	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) ) -> E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
18	15, 17	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
19		exsimpr 1642	. . . . . 6 |- ( E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) ) -> E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
21	20	ralrimiva 2581	. . . 4 |- ( A e. Fin -> A. f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
22		vex 2779	. . . . 5 |- x e. _V
23		isacnm 7346	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ A e. Fin ) -> ( x e. AC A <-> A. f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
24	22, 23	mpan 424	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( x e. AC A <-> A. f e. ( { w e. ~P x | E. j j e. w } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
25	21, 24	mpbird 167	. . 3 |- ( A e. Fin -> x e. AC A )
26	22	a1i 9	. . 3 |- ( A e. Fin -> x e. _V )
27	25, 26	2thd 175	. 2 |- ( A e. Fin -> ( x e. AC A <-> x e. _V ) )
28	27	eqrdv 2205	1 |- ( A e. Fin -> AC A = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   {crab 2490   _Vcvv 2776   ~Pcpw 3626   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   ^m cmap 6758   Fincfn 6850  AC wacn 7311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-er 6643  df-map 6760  df-en 6851  df-fin 6853  df-acnm 7313

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