Theorem acnccim 7491

Description: Given countable choice, every set has choice sets of length om. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnccim	|- (CCHOICE -> AC om = _V )

Proof of Theorem acnccim

Dummy variables f g j y z n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> CCHOICE )
2		elmapfn 6840	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) -> f Fn om )
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> f Fn om )
4		elmapi 6839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) -> f : om --> { z e. ~P x | E. j j e. z } )
5	4	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> f : om --> { z e. ~P x | E. j j e. z } )
6		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> n e. om )
7	5, 6	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> ( f ` n ) e. { z e. ~P x | E. j j e. z } )
8		eleq2 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( f ` n ) -> ( j e. z <-> j e. ( f ` n ) ) )
9	8	exbidv 1873	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( f ` n ) -> ( E. j j e. z <-> E. j j e. ( f ` n ) ) )
10	9	elrab 2962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` n ) e. { z e. ~P x | E. j j e. z } <-> ( ( f ` n ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` n ) ) )
11	7, 10	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` n ) ) )
12	11	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> E. j j e. ( f ` n ) )
13	12	ralrimiva 2605	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> A. n e. om E. j j e. ( f ` n ) )
14	1, 3, 13	cc2 7486	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> E. g ( g Fn om /\ A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
15		exsimpr 1666	. . . . . 6 |- ( E. g ( g Fn om /\ A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
17	16	ralrimiva 2605	. . . 4 |- (CCHOICE -> A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
18		vex 2805	. . . . 5 |- x e. _V
19		omex 4691	. . . . 5 |- om e. _V
20		isacnm 7418	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ om e. _V ) -> ( x e. AC om <-> A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
21	18, 19, 20	mp2an 426	. . . 4 |- ( x e. AC om <-> A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
22	17, 21	sylibr 134	. . 3 |- (CCHOICE -> x e. AC om )
23	18	a1i 9	. . 3 |- (CCHOICE -> x e. _V )
24	22, 23	2thd 175	. 2 |- (CCHOICE -> ( x e. AC om <-> x e. _V ) )
25	24	eqrdv 2229	1 |- (CCHOICE -> AC om = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   _Vcvv 2802   ~Pcpw 3652   omcom 4688   Fn wfn 5321   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   ^m cmap 6817  AC wacn 7382  CCHOICEwacc 7481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-2nd 6304  df-er 6702  df-map 6819  df-en 6910  df-acnm 7384  df-cc 7482

This theorem is referenced by: (None)