Theorem acnccim 7355

Description: Given countable choice, every set has choice sets of length om. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnccim	|- (CCHOICE -> AC om = _V )

Proof of Theorem acnccim

Dummy variables f g j y z n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> CCHOICE )
2		elmapfn 6739	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) -> f Fn om )
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> f Fn om )
4		elmapi 6738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) -> f : om --> { z e. ~P x | E. j j e. z } )
5	4	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> f : om --> { z e. ~P x | E. j j e. z } )
6		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> n e. om )
7	5, 6	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> ( f ` n ) e. { z e. ~P x | E. j j e. z } )
8		eleq2 2260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( f ` n ) -> ( j e. z <-> j e. ( f ` n ) ) )
9	8	exbidv 1839	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( f ` n ) -> ( E. j j e. z <-> E. j j e. ( f ` n ) ) )
10	9	elrab 2920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` n ) e. { z e. ~P x | E. j j e. z } <-> ( ( f ` n ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` n ) ) )
11	7, 10	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` n ) ) )
12	11	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> E. j j e. ( f ` n ) )
13	12	ralrimiva 2570	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> A. n e. om E. j j e. ( f ` n ) )
14	1, 3, 13	cc2 7350	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> E. g ( g Fn om /\ A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
15		exsimpr 1632	. . . . . 6 |- ( E. g ( g Fn om /\ A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
17	16	ralrimiva 2570	. . . 4 |- (CCHOICE -> A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
18		vex 2766	. . . . 5 |- x e. _V
19		omex 4630	. . . . 5 |- om e. _V
20		isacnm 7286	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ om e. _V ) -> ( x e. AC om <-> A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
21	18, 19, 20	mp2an 426	. . . 4 |- ( x e. AC om <-> A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
22	17, 21	sylibr 134	. . 3 |- (CCHOICE -> x e. AC om )
23	18	a1i 9	. . 3 |- (CCHOICE -> x e. _V )
24	22, 23	2thd 175	. 2 |- (CCHOICE -> ( x e. AC om <-> x e. _V ) )
25	24	eqrdv 2194	1 |- (CCHOICE -> AC om = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   ~Pcpw 3606   omcom 4627   Fn wfn 5254   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ^m cmap 6716  AC wacn 7256  CCHOICEwacc 7345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-2nd 6208  df-er 6601  df-map 6718  df-en 6809  df-acnm 7258  df-cc 7346

This theorem is referenced by: (None)