Theorem acnccim 7588

Description: Given countable choice, every set has choice sets of length om. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnccim	|- (CCHOICE -> AC om = _V )

Proof of Theorem acnccim

Dummy variables f g j y z n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> CCHOICE )
2		elmapfn 6907	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) -> f Fn om )
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> f Fn om )
4		elmapi 6906	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) -> f : om --> { z e. ~P x | E. j j e. z } )
5	4	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> f : om --> { z e. ~P x | E. j j e. z } )
6		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> n e. om )
7	5, 6	ffvelcdmd 5815	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> ( f ` n ) e. { z e. ~P x | E. j j e. z } )
8		eleq2 2298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( f ` n ) -> ( j e. z <-> j e. ( f ` n ) ) )
9	8	exbidv 1874	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( f ` n ) -> ( E. j j e. z <-> E. j j e. ( f ` n ) ) )
10	9	elrab 2975	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` n ) e. { z e. ~P x | E. j j e. z } <-> ( ( f ` n ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` n ) ) )
11	7, 10	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` n ) ) )
12	11	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> E. j j e. ( f ` n ) )
13	12	ralrimiva 2617	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> A. n e. om E. j j e. ( f ` n ) )
14	1, 3, 13	cc2 7583	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> E. g ( g Fn om /\ A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
15		exsimpr 1667	. . . . . 6 |- ( E. g ( g Fn om /\ A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
17	16	ralrimiva 2617	. . . 4 |- (CCHOICE -> A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
18		vex 2818	. . . . 5 |- x e. _V
19		omex 4717	. . . . 5 |- om e. _V
20		isacnm 7512	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ om e. _V ) -> ( x e. AC om <-> A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
21	18, 19, 20	mp2an 426	. . . 4 |- ( x e. AC om <-> A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
22	17, 21	sylibr 134	. . 3 |- (CCHOICE -> x e. AC om )
23	18	a1i 9	. . 3 |- (CCHOICE -> x e. _V )
24	22, 23	2thd 175	. 2 |- (CCHOICE -> ( x e. AC om <-> x e. _V ) )
25	24	eqrdv 2232	1 |- (CCHOICE -> AC om = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   _Vcvv 2815   ~Pcpw 3671   omcom 4714   Fn wfn 5349   -->wf 5350   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   ^m cmap 6884  AC wacn 7476  CCHOICEwacc 7578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-2nd 6337  df-er 6769  df-map 6886  df-en 6978  df-acnm 7478  df-cc 7579

This theorem is referenced by: (None)