Theorem acnccim 7474

Description: Given countable choice, every set has choice sets of length om. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnccim	|- (CCHOICE -> AC om = _V )

Proof of Theorem acnccim

Dummy variables f g j y z n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> CCHOICE )
2		elmapfn 6831	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) -> f Fn om )
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> f Fn om )
4		elmapi 6830	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) -> f : om --> { z e. ~P x | E. j j e. z } )
5	4	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> f : om --> { z e. ~P x | E. j j e. z } )
6		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> n e. om )
7	5, 6	ffvelcdmd 5776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> ( f ` n ) e. { z e. ~P x | E. j j e. z } )
8		eleq2 2293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( f ` n ) -> ( j e. z <-> j e. ( f ` n ) ) )
9	8	exbidv 1871	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( f ` n ) -> ( E. j j e. z <-> E. j j e. ( f ` n ) ) )
10	9	elrab 2959	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` n ) e. { z e. ~P x | E. j j e. z } <-> ( ( f ` n ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` n ) ) )
11	7, 10	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> ( ( f ` n ) e. ~P x /\ E. j j e. ( f ` n ) ) )
12	11	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) /\ n e. om ) -> E. j j e. ( f ` n ) )
13	12	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> A. n e. om E. j j e. ( f ` n ) )
14	1, 3, 13	cc2 7469	. . . . . 6 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> E. g ( g Fn om /\ A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
15		exsimpr 1664	. . . . . 6 |- ( E. g ( g Fn om /\ A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 |- ( (CCHOICE /\ f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) ) -> E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
17	16	ralrimiva 2603	. . . 4 |- (CCHOICE -> A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
18		vex 2802	. . . . 5 |- x e. _V
19		omex 4686	. . . . 5 |- om e. _V
20		isacnm 7401	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ om e. _V ) -> ( x e. AC om <-> A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
21	18, 19, 20	mp2an 426	. . . 4 |- ( x e. AC om <-> A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m om ) E. g A. y e. om ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
22	17, 21	sylibr 134	. . 3 |- (CCHOICE -> x e. AC om )
23	18	a1i 9	. . 3 |- (CCHOICE -> x e. _V )
24	22, 23	2thd 175	. 2 |- (CCHOICE -> ( x e. AC om <-> x e. _V ) )
25	24	eqrdv 2227	1 |- (CCHOICE -> AC om = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   ~Pcpw 3649   omcom 4683   Fn wfn 5316   -->wf 5317   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   ^m cmap 6808  AC wacn 7366  CCHOICEwacc 7464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-2nd 6296  df-er 6693  df-map 6810  df-en 6901  df-acnm 7368  df-cc 7465

This theorem is referenced by: (None)