Theorem isbasis2g 13928

Description: Express the predicate "the set 𝐵 is a basis for a topology". (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
isbasis2g	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem isbasis2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasisg 13927	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦))))
2		dfss3 3159	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)𝑧 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)))
3		elin 3332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)))
4		velpw 3596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))
5	4	anbi2i 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
6	3, 5	bitri 184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
7	6	anbi2i 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦))) ↔ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
8		an12 561	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))) ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
9	7, 8	bitri 184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦))) ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
10	9	exbii 1615	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑤(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦))) ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
11		eluni 3826	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑤(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦))))
12		df-rex 2473	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
13	10, 11, 12	3bitr4i 212	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
14	13	ralbii 2495	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)𝑧 ∈ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
15	2, 14	bitri 184	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
16	15	2ralbii 2497	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∩ 𝑦) ⊆ ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
17	1, 16	bitrdi 196	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∃wex 1502   ∈ wcel 2159  ∀wral 2467  ∃wrex 2468   ∩ cin 3142   ⊆ wss 3143  𝒫 cpw 3589  ∪ cuni 3823  TopBasesctb 13925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2170

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ral 2472  df-rex 2473  df-v 2753  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-uni 3824  df-bases 13926

This theorem is referenced by:  isbasis3g  13929  basis2  13931  fiinbas  13932  tgclb  13948  topbas  13950  restbasg  14051  txbas  14141  blbas  14316