Theorem isoid 5857

Description: Identity law for isomorphism. Proposition 6.30(1) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isoid	|- ( _I |` A ) Isom R , R ( A , A )

Proof of Theorem isoid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 5542	. 2 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
2		fvresi 5755	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( ( _I |` A ) ` x ) = x )
3		fvresi 5755	. . . . 5 |- ( y e. A -> ( ( _I |` A ) ` y ) = y )
4	2, 3	breqan12d 4049	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( ( ( _I |` A ) ` x ) R ( ( _I |` A ) ` y ) <-> x R y ) )
5	4	bicomd 141	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> ( x R y <-> ( ( _I |` A ) ` x ) R ( ( _I |` A ) ` y ) ) )
6	5	rgen2a 2551	. 2 |- A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( _I |` A ) ` x ) R ( ( _I |` A ) ` y ) )
7		df-isom 5267	. 2 |- ( ( _I |` A ) Isom R , R ( A , A ) <-> ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( ( _I |` A ) ` x ) R ( ( _I |` A ) ` y ) ) ) )
8	1, 6, 7	mpbir2an 944	1 |- ( _I |` A ) Isom R , R ( A , A )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   A.wral 2475   class class class wbr 4033   _I cid 4323   |` cres 4665   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258   Isom wiso 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267

This theorem is referenced by:  ordiso  7102