Theorem isocnv 5935

Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isocnv	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> `' H Isom S , R ( B , A ) )

Proof of Theorem isocnv

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 5585	. . . 4 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> `' H : B -1-1-onto-> A )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> `' H : B -1-1-onto-> A )
3		f1ocnvfv2 5902	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ z e. B ) -> ( H ` ( `' H ` z ) ) = z )
4	3	adantrr 479	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( H ` ( `' H ` z ) ) = z )
5		f1ocnvfv2 5902	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ w e. B ) -> ( H ` ( `' H ` w ) ) = w )
6	5	adantrl 478	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( H ` ( `' H ` w ) ) = w )
7	4, 6	breq12d 4096	. . . . . 6 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> z S w ) )
8	7	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> z S w ) )
9		f1of 5572	. . . . . . 7 |- ( `' H : B -1-1-onto-> A -> `' H : B --> A )
10	1, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> `' H : B --> A )
11		ffvelcdm 5768	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' H : B --> A /\ z e. B ) -> ( `' H ` z ) e. A )
12		ffvelcdm 5768	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' H : B --> A /\ w e. B ) -> ( `' H ` w ) e. A )
13	11, 12	anim12dan 602	. . . . . . . 8 |- ( ( `' H : B --> A /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( `' H ` z ) e. A /\ ( `' H ` w ) e. A ) )
14		breq1 4086	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( x R y <-> ( `' H ` z ) R y ) )
15		fveq2 5627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( H ` x ) = ( H ` ( `' H ` z ) ) )
16	15	breq1d 4093	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) ) )
17	14, 16	bibi12d 235	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( ( `' H ` z ) R y <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) ) ) )
18		bicom 140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' H ` z ) R y <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) ) <-> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( `' H ` z ) R y ) )
19	17, 18	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( `' H ` z ) R y ) ) )
20		fveq2 5627	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( `' H ` w ) ) )
21	20	breq2d 4095	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) ) )
22		breq2 4087	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( ( `' H ` z ) R y <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
23	21, 22	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( `' H ` z ) R y ) <-> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) ) )
24	19, 23	rspc2va 2921	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( `' H ` z ) e. A /\ ( `' H ` w ) e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
25	13, 24	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' H : B --> A /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
26	25	an32s 568	. . . . . 6 |- ( ( ( `' H : B --> A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
27	10, 26	sylanl1 402	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
28	8, 27	bitr3d 190	. . . 4 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
29	28	ralrimivva 2612	. . 3 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
30	2, 29	jca 306	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( `' H : B -1-1-onto-> A /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) ) )
31		df-isom 5327	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
32		df-isom 5327	. 2 |- ( `' H Isom S , R ( B , A ) <-> ( `' H : B -1-1-onto-> A /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) ) )
33	30, 31, 32	3imtr4i 201	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> `' H Isom S , R ( B , A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   class class class wbr 4083   `'ccnv 4718   -->wf 5314   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318   Isom wiso 5319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327

This theorem is referenced by:  isores1  5938  isose  5945  isopo  5947  isoso  5949  isoti  7174  infrenegsupex  9789  infxrnegsupex  11774  relogiso  15547