Theorem isocnv 5664

Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isocnv	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> `' H Isom S , R ( B , A ) )

Proof of Theorem isocnv

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 5334	. . . 4 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> `' H : B -1-1-onto-> A )
2	1	adantr 272	. . 3 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> `' H : B -1-1-onto-> A )
3		f1ocnvfv2 5631	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ z e. B ) -> ( H ` ( `' H ` z ) ) = z )
4	3	adantrr 468	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( H ` ( `' H ` z ) ) = z )
5		f1ocnvfv2 5631	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ w e. B ) -> ( H ` ( `' H ` w ) ) = w )
6	5	adantrl 467	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( H ` ( `' H ` w ) ) = w )
7	4, 6	breq12d 3906	. . . . . 6 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> z S w ) )
8	7	adantlr 466	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> z S w ) )
9		f1of 5321	. . . . . . 7 |- ( `' H : B -1-1-onto-> A -> `' H : B --> A )
10	1, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> `' H : B --> A )
11		ffvelrn 5505	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' H : B --> A /\ z e. B ) -> ( `' H ` z ) e. A )
12		ffvelrn 5505	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' H : B --> A /\ w e. B ) -> ( `' H ` w ) e. A )
13	11, 12	anim12dan 572	. . . . . . . 8 |- ( ( `' H : B --> A /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( `' H ` z ) e. A /\ ( `' H ` w ) e. A ) )
14		breq1 3896	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( x R y <-> ( `' H ` z ) R y ) )
15		fveq2 5373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( H ` x ) = ( H ` ( `' H ` z ) ) )
16	15	breq1d 3903	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) ) )
17	14, 16	bibi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( ( `' H ` z ) R y <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) ) ) )
18		bicom 139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' H ` z ) R y <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) ) <-> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( `' H ` z ) R y ) )
19	17, 18	syl6bb 195	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( `' H ` z ) R y ) ) )
20		fveq2 5373	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( `' H ` w ) ) )
21	20	breq2d 3905	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) ) )
22		breq2 3897	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( ( `' H ` z ) R y <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
23	21, 22	bibi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( `' H ` z ) R y ) <-> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) ) )
24	19, 23	rspc2va 2771	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( `' H ` z ) e. A /\ ( `' H ` w ) e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
25	13, 24	sylan 279	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' H : B --> A /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
26	25	an32s 540	. . . . . 6 |- ( ( ( `' H : B --> A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
27	10, 26	sylanl1 397	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
28	8, 27	bitr3d 189	. . . 4 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
29	28	ralrimivva 2486	. . 3 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
30	2, 29	jca 302	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( `' H : B -1-1-onto-> A /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) ) )
31		df-isom 5088	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
32		df-isom 5088	. 2 |- ( `' H Isom S , R ( B , A ) <-> ( `' H : B -1-1-onto-> A /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) ) )
33	30, 31, 32	3imtr4i 200	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> `' H Isom S , R ( B , A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1312   e. wcel 1461   A.wral 2388   class class class wbr 3893   `'ccnv 4496   -->wf 5075   -1-1-onto->wf1o 5078   ` cfv 5079   Isom wiso 5080

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-v 2657  df-sbc 2877  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-isom 5088

This theorem is referenced by:  isores1  5667  isose  5674  isopo  5676  isoso  5678  isoti  6843  infrenegsupex  9284  infxrnegsupex  10917