Theorem isocnv 5806

Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isocnv	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> `' H Isom S , R ( B , A ) )

Proof of Theorem isocnv

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 5470	. . . 4 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> `' H : B -1-1-onto-> A )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> `' H : B -1-1-onto-> A )
3		f1ocnvfv2 5773	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ z e. B ) -> ( H ` ( `' H ` z ) ) = z )
4	3	adantrr 479	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( H ` ( `' H ` z ) ) = z )
5		f1ocnvfv2 5773	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ w e. B ) -> ( H ` ( `' H ` w ) ) = w )
6	5	adantrl 478	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( H ` ( `' H ` w ) ) = w )
7	4, 6	breq12d 4013	. . . . . 6 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> z S w ) )
8	7	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> z S w ) )
9		f1of 5457	. . . . . . 7 |- ( `' H : B -1-1-onto-> A -> `' H : B --> A )
10	1, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> `' H : B --> A )
11		ffvelcdm 5645	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' H : B --> A /\ z e. B ) -> ( `' H ` z ) e. A )
12		ffvelcdm 5645	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' H : B --> A /\ w e. B ) -> ( `' H ` w ) e. A )
13	11, 12	anim12dan 600	. . . . . . . 8 |- ( ( `' H : B --> A /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( `' H ` z ) e. A /\ ( `' H ` w ) e. A ) )
14		breq1 4003	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( x R y <-> ( `' H ` z ) R y ) )
15		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( H ` x ) = ( H ` ( `' H ` z ) ) )
16	15	breq1d 4010	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) ) )
17	14, 16	bibi12d 235	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( ( `' H ` z ) R y <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) ) ) )
18		bicom 140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' H ` z ) R y <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) ) <-> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( `' H ` z ) R y ) )
19	17, 18	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( `' H ` z ) R y ) ) )
20		fveq2 5511	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( `' H ` w ) ) )
21	20	breq2d 4012	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) ) )
22		breq2 4004	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( ( `' H ` z ) R y <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
23	21, 22	bibi12d 235	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( `' H ` z ) R y ) <-> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) ) )
24	19, 23	rspc2va 2855	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( `' H ` z ) e. A /\ ( `' H ` w ) e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
25	13, 24	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' H : B --> A /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
26	25	an32s 568	. . . . . 6 |- ( ( ( `' H : B --> A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
27	10, 26	sylanl1 402	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
28	8, 27	bitr3d 190	. . . 4 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
29	28	ralrimivva 2559	. . 3 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
30	2, 29	jca 306	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( `' H : B -1-1-onto-> A /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) ) )
31		df-isom 5221	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
32		df-isom 5221	. 2 |- ( `' H Isom S , R ( B , A ) <-> ( `' H : B -1-1-onto-> A /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) ) )
33	30, 31, 32	3imtr4i 201	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> `' H Isom S , R ( B , A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   class class class wbr 4000   `'ccnv 4622   -->wf 5208   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212   Isom wiso 5213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221

This theorem is referenced by:  isores1  5809  isose  5816  isopo  5818  isoso  5820  isoti  7000  infrenegsupex  9583  infxrnegsupex  11255  relogiso  13961