Theorem isopn3i 15000

Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isopn3i	|- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S )

Proof of Theorem isopn3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> S e. J )
2		elssuni 3942	. . 3 |- ( S e. J -> S C_ U. J )
3		eqid 2232	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	isopn3 14990	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
5	2, 4	sylan2 286	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
6	1, 5	mpbid 147	1 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   C_ wss 3211   U.cuni 3914   ` cfv 5352   Topctop 14862   intcnt 14958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-top 14863  df-ntr 14961

This theorem is referenced by:  cnntr  15090  dvidsslem  15558  dvrecap  15578