Theorem isopn3i 15126

Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isopn3i	|- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S )

Proof of Theorem isopn3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> S e. J )
2		elssuni 3947	. . 3 |- ( S e. J -> S C_ U. J )
3		eqid 2234	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	isopn3 15116	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
5	2, 4	sylan2 286	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
6	1, 5	mpbid 147	1 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3214   U.cuni 3919   ` cfv 5357   Topctop 14988   intcnt 15084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-top 14989  df-ntr 15087

This theorem is referenced by:  cnntr  15216  dvidsslem  15684  dvrecap  15704