Theorem isopn3i 12293

Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isopn3i	|- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S )

Proof of Theorem isopn3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> S e. J )
2		elssuni 3759	. . 3 |- ( S e. J -> S C_ U. J )
3		eqid 2137	. . . 4 |- U. J = U. J
4	3	isopn3 12283	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
5	2, 4	sylan2 284	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
6	1, 5	mpbid 146	1 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   C_ wss 3066   U.cuni 3731   ` cfv 5118   Topctop 12153   intcnt 12251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-top 12154  df-ntr 12254

This theorem is referenced by:  cnntr  12383  dvrecap  12835