ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isopn3i GIF version

Theorem isopn3i 12231
Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isopn3i ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem isopn3i
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆𝐽)
2 elssuni 3734 . . 3 (𝑆𝐽𝑆 𝐽)
3 eqid 2117 . . . 4 𝐽 = 𝐽
43isopn3 12221 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → (𝑆𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
52, 4sylan2 284 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑆𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
61, 5mpbid 146 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  wss 3041   cuni 3706  cfv 5093  Topctop 12091  intcnt 12189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-top 12092  df-ntr 12192
This theorem is referenced by:  cnntr  12321  dvrecap  12773
  Copyright terms: Public domain W3C validator