Theorem isose 5961

Description: An isomorphism preserves set-like relations. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isose	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( R Se A <-> S Se B ) )

Proof of Theorem isose

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H Isom R , S ( A , B ) )
2		isof1o 5947	. . . 4 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
3		f1ofun 5585	. . . 4 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> Fun H )
4		vex 2805	. . . . 5 |- x e. _V
5	4	funimaex 5415	. . . 4 |- ( Fun H -> ( H " x ) e. _V )
6	2, 3, 5	3syl 17	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( H " x ) e. _V )
7	1, 6	isoselem 5960	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( R Se A -> S Se B ) )
8		isocnv 5951	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> `' H Isom S , R ( B , A ) )
9		isof1o 5947	. . . 4 |- ( `' H Isom S , R ( B , A ) -> `' H : B -1-1-onto-> A )
10		f1ofun 5585	. . . 4 |- ( `' H : B -1-1-onto-> A -> Fun `' H )
11	4	funimaex 5415	. . . 4 |- ( Fun `' H -> ( `' H " x ) e. _V )
12	8, 9, 10, 11	4syl 18	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( `' H " x ) e. _V )
13	8, 12	isoselem 5960	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Se B -> R Se A ) )
14	7, 13	impbid 129	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( R Se A <-> S Se B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   Se wse 4426   `'ccnv 4724   "cima 4728   Fun wfun 5320   -1-1-onto->wf1o 5325   Isom wiso 5327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-se 4430  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335

This theorem is referenced by: (None)