Theorem isose 6030

Description: An isomorphism preserves set-like relations. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isose	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( R Se A <-> S Se B ) )

Proof of Theorem isose

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H Isom R , S ( A , B ) )
2		isof1o 6016	. . . 4 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
3		f1ofun 5644	. . . 4 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> Fun H )
4		vex 2824	. . . . 5 |- x e. _V
5	4	funimaex 5469	. . . 4 |- ( Fun H -> ( H " x ) e. _V )
6	2, 3, 5	3syl 17	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( H " x ) e. _V )
7	1, 6	isoselem 6029	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( R Se A -> S Se B ) )
8		isocnv 6020	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> `' H Isom S , R ( B , A ) )
9		isof1o 6016	. . . 4 |- ( `' H Isom S , R ( B , A ) -> `' H : B -1-1-onto-> A )
10		f1ofun 5644	. . . 4 |- ( `' H : B -1-1-onto-> A -> Fun `' H )
11	4	funimaex 5469	. . . 4 |- ( Fun `' H -> ( `' H " x ) e. _V )
12	8, 9, 10, 11	4syl 18	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( `' H " x ) e. _V )
13	8, 12	isoselem 6029	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Se B -> R Se A ) )
14	7, 13	impbid 129	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( R Se A <-> S Se B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   Se wse 4476   `'ccnv 4775   "cima 4779   Fun wfun 5374   -1-1-onto->wf1o 5379   Isom wiso 5381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-se 4480  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389

This theorem is used by: (None)