Theorem isose 5994

Description: An isomorphism preserves set-like relations. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isose	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( R Se A <-> S Se B ) )

Proof of Theorem isose

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H Isom R , S ( A , B ) )
2		isof1o 5980	. . . 4 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
3		f1ofun 5616	. . . 4 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> Fun H )
4		vex 2816	. . . . 5 |- x e. _V
5	4	funimaex 5441	. . . 4 |- ( Fun H -> ( H " x ) e. _V )
6	2, 3, 5	3syl 17	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( H " x ) e. _V )
7	1, 6	isoselem 5993	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( R Se A -> S Se B ) )
8		isocnv 5984	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> `' H Isom S , R ( B , A ) )
9		isof1o 5980	. . . 4 |- ( `' H Isom S , R ( B , A ) -> `' H : B -1-1-onto-> A )
10		f1ofun 5616	. . . 4 |- ( `' H : B -1-1-onto-> A -> Fun `' H )
11	4	funimaex 5441	. . . 4 |- ( Fun `' H -> ( `' H " x ) e. _V )
12	8, 9, 10, 11	4syl 18	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( `' H " x ) e. _V )
13	8, 12	isoselem 5993	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Se B -> R Se A ) )
14	7, 13	impbid 129	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( R Se A <-> S Se B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   Se wse 4450   `'ccnv 4748   "cima 4752   Fun wfun 5346   -1-1-onto->wf1o 5351   Isom wiso 5353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-se 4454  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361

This theorem is referenced by: (None)