Theorem isose 5800

Description: An isomorphism preserves set-like relations. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isose	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( R Se A <-> S Se B ) )

Proof of Theorem isose

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H Isom R , S ( A , B ) )
2		isof1o 5786	. . . 4 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
3		f1ofun 5444	. . . 4 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> Fun H )
4		vex 2733	. . . . 5 |- x e. _V
5	4	funimaex 5283	. . . 4 |- ( Fun H -> ( H " x ) e. _V )
6	2, 3, 5	3syl 17	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( H " x ) e. _V )
7	1, 6	isoselem 5799	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( R Se A -> S Se B ) )
8		isocnv 5790	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> `' H Isom S , R ( B , A ) )
9		isof1o 5786	. . . 4 |- ( `' H Isom S , R ( B , A ) -> `' H : B -1-1-onto-> A )
10		f1ofun 5444	. . . 4 |- ( `' H : B -1-1-onto-> A -> Fun `' H )
11	4	funimaex 5283	. . . 4 |- ( Fun `' H -> ( `' H " x ) e. _V )
12	8, 9, 10, 11	4syl 18	. . 3 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( `' H " x ) e. _V )
13	8, 12	isoselem 5799	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Se B -> R Se A ) )
14	7, 13	impbid 128	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( R Se A <-> S Se B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   Se wse 4314   `'ccnv 4610   "cima 4614   Fun wfun 5192   -1-1-onto->wf1o 5197   Isom wiso 5199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-se 4318  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207

This theorem is referenced by: (None)