Theorem isopolem 5801

Description: Lemma for isopo 5802. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
isopolem	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Po B -> R Po A ) )

Proof of Theorem isopolem

Dummy variables a b c d e f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isof1o 5786	. . . . . . . . . . 11 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> H : A -1-1-onto-> B )
2		f1of 5442	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> H : A --> B )
3		ffvelrn 5629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ d e. A ) -> ( H ` d ) e. B )
4	3	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( d e. A -> ( H ` d ) e. B ) )
5		ffvelrn 5629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ e e. A ) -> ( H ` e ) e. B )
6	5	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( e e. A -> ( H ` e ) e. B ) )
7		ffvelrn 5629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( H : A --> B /\ f e. A ) -> ( H ` f ) e. B )
8	7	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H : A --> B -> ( f e. A -> ( H ` f ) e. B ) )
9	4, 6, 8	3anim123d 1314	. . . . . . . . . . 11 |- ( H : A --> B -> ( ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) -> ( ( H ` d ) e. B /\ ( H ` e ) e. B /\ ( H ` f ) e. B ) ) )
10	1, 2, 9	3syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) -> ( ( H ` d ) e. B /\ ( H ` e ) e. B /\ ( H ` f ) e. B ) ) )
11	10	imp 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( ( H ` d ) e. B /\ ( H ` e ) e. B /\ ( H ` f ) e. B ) )
12		breq12 3994	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = ( H ` d ) /\ a = ( H ` d ) ) -> ( a S a <-> ( H ` d ) S ( H ` d ) ) )
13	12	anidms 395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( H ` d ) -> ( a S a <-> ( H ` d ) S ( H ` d ) ) )
14	13	notbid 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( H ` d ) -> ( -. a S a <-> -. ( H ` d ) S ( H ` d ) ) )
15		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( H ` d ) -> ( a S b <-> ( H ` d ) S b ) )
16	15	anbi1d 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( H ` d ) -> ( ( a S b /\ b S c ) <-> ( ( H ` d ) S b /\ b S c ) ) )
17		breq1 3992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( H ` d ) -> ( a S c <-> ( H ` d ) S c ) )
18	16, 17	imbi12d 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( H ` d ) -> ( ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) <-> ( ( ( H ` d ) S b /\ b S c ) -> ( H ` d ) S c ) ) )
19	14, 18	anbi12d 470	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( H ` d ) -> ( ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) <-> ( -. ( H ` d ) S ( H ` d ) /\ ( ( ( H ` d ) S b /\ b S c ) -> ( H ` d ) S c ) ) ) )
20		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( H ` e ) -> ( ( H ` d ) S b <-> ( H ` d ) S ( H ` e ) ) )
21		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( H ` e ) -> ( b S c <-> ( H ` e ) S c ) )
22	20, 21	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( H ` e ) -> ( ( ( H ` d ) S b /\ b S c ) <-> ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S c ) ) )
23	22	imbi1d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( H ` e ) -> ( ( ( ( H ` d ) S b /\ b S c ) -> ( H ` d ) S c ) <-> ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S c ) -> ( H ` d ) S c ) ) )
24	23	anbi2d 461	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( H ` e ) -> ( ( -. ( H ` d ) S ( H ` d ) /\ ( ( ( H ` d ) S b /\ b S c ) -> ( H ` d ) S c ) ) <-> ( -. ( H ` d ) S ( H ` d ) /\ ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S c ) -> ( H ` d ) S c ) ) ) )
25		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = ( H ` f ) -> ( ( H ` e ) S c <-> ( H ` e ) S ( H ` f ) ) )
26	25	anbi2d 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( H ` f ) -> ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S c ) <-> ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S ( H ` f ) ) ) )
27		breq2 3993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( H ` f ) -> ( ( H ` d ) S c <-> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) )
28	26, 27	imbi12d 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( H ` f ) -> ( ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S c ) -> ( H ` d ) S c ) <-> ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S ( H ` f ) ) -> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) ) )
29	28	anbi2d 461	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( H ` f ) -> ( ( -. ( H ` d ) S ( H ` d ) /\ ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S c ) -> ( H ` d ) S c ) ) <-> ( -. ( H ` d ) S ( H ` d ) /\ ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S ( H ` f ) ) -> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) ) ) )
30	19, 24, 29	rspc3v 2850	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( H ` d ) e. B /\ ( H ` e ) e. B /\ ( H ` f ) e. B ) -> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) -> ( -. ( H ` d ) S ( H ` d ) /\ ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S ( H ` f ) ) -> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) ) ) )
31	11, 30	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) -> ( -. ( H ` d ) S ( H ` d ) /\ ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S ( H ` f ) ) -> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) ) ) )
32		simpl 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> H Isom R , S ( A , B ) )
33		simpr1 998	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> d e. A )
34		isorel 5787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ d e. A ) ) -> ( d R d <-> ( H ` d ) S ( H ` d ) ) )
35	32, 33, 33, 34	syl12anc 1231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( d R d <-> ( H ` d ) S ( H ` d ) ) )
36	35	notbid 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( -. d R d <-> -. ( H ` d ) S ( H ` d ) ) )
37		simpr2 999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> e e. A )
38		isorel 5787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A ) ) -> ( d R e <-> ( H ` d ) S ( H ` e ) ) )
39	32, 33, 37, 38	syl12anc 1231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( d R e <-> ( H ` d ) S ( H ` e ) ) )
40		simpr3 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> f e. A )
41		isorel 5787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( e e. A /\ f e. A ) ) -> ( e R f <-> ( H ` e ) S ( H ` f ) ) )
42	32, 37, 40, 41	syl12anc 1231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( e R f <-> ( H ` e ) S ( H ` f ) ) )
43	39, 42	anbi12d 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( ( d R e /\ e R f ) <-> ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S ( H ` f ) ) ) )
44		isorel 5787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ f e. A ) ) -> ( d R f <-> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) )
45	32, 33, 40, 44	syl12anc 1231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( d R f <-> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) )
46	43, 45	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) <-> ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S ( H ` f ) ) -> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) ) )
47	36, 46	anbi12d 470	. . . . . . . 8 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( ( -. d R d /\ ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) ) <-> ( -. ( H ` d ) S ( H ` d ) /\ ( ( ( H ` d ) S ( H ` e ) /\ ( H ` e ) S ( H ` f ) ) -> ( H ` d ) S ( H ` f ) ) ) ) )
48	31, 47	sylibrd 168	. . . . . . 7 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) -> ( -. d R d /\ ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) ) ) )
49	48	ex 114	. . . . . 6 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) -> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) -> ( -. d R d /\ ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) ) ) ) )
50	49	com23 78	. . . . 5 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) -> ( ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) -> ( -. d R d /\ ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) ) ) ) )
51	50	imp31 254	. . . 4 |- ( ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) ) /\ ( d e. A /\ e e. A /\ f e. A ) ) -> ( -. d R d /\ ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) ) )
52	51	ralrimivvva 2553	. . 3 |- ( ( H Isom R , S ( A , B ) /\ A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) ) -> A. d e. A A. e e. A A. f e. A ( -. d R d /\ ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) ) )
53	52	ex 114	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) -> A. d e. A A. e e. A A. f e. A ( -. d R d /\ ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) ) ) )
54		df-po 4281	. 2 |- ( S Po B <-> A. a e. B A. b e. B A. c e. B ( -. a S a /\ ( ( a S b /\ b S c ) -> a S c ) ) )
55		df-po 4281	. 2 |- ( R Po A <-> A. d e. A A. e e. A A. f e. A ( -. d R d /\ ( ( d R e /\ e R f ) -> d R f ) ) )
56	53, 54, 55	3imtr4g 204	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> ( S Po B -> R Po A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   class class class wbr 3989   Po wpo 4279   -->wf 5194   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198   Isom wiso 5199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207

This theorem is referenced by:  isopo  5802  isosolem  5803