Theorem map0 6688

Description: Set exponentiation is empty iff the base is empty and the exponent is not empty. Theorem 97 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
map0.1	|- A e. _V
map0.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
map0	|- ( ( A ^m B ) = (/) <-> ( A = (/) /\ B =/= (/) ) )

Proof of Theorem map0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		map0.1	. 2 |- A e. _V
2		map0.2	. 2 |- B e. _V
3		map0g 6687	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( ( A ^m B ) = (/) <-> ( A = (/) /\ B =/= (/) ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- ( ( A ^m B ) = (/) <-> ( A = (/) /\ B =/= (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   _Vcvv 2737   (/)c0 3422  (class class class)co 5874   ^m cmap 6647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-map 6649

This theorem is referenced by: (None)