Theorem map0 6651

Description: Set exponentiation is empty iff the base is empty and the exponent is not empty. Theorem 97 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
map0.1	|- A e. _V
map0.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
map0	|- ( ( A ^m B ) = (/) <-> ( A = (/) /\ B =/= (/) ) )

Proof of Theorem map0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		map0.1	. 2 |- A e. _V
2		map0.2	. 2 |- B e. _V
3		map0g 6650	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( ( A ^m B ) = (/) <-> ( A = (/) /\ B =/= (/) ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 423	1 |- ( ( A ^m B ) = (/) <-> ( A = (/) /\ B =/= (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2335   _Vcvv 2725   (/)c0 3408  (class class class)co 5841   ^m cmap 6610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-ral 2448  df-rex 2449  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-map 6612

This theorem is referenced by: (None)