Theorem map0 6745

Description: Set exponentiation is empty iff the base is empty and the exponent is not empty. Theorem 97 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
map0.1	|- A e. _V
map0.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
map0	|- ( ( A ^m B ) = (/) <-> ( A = (/) /\ B =/= (/) ) )

Proof of Theorem map0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		map0.1	. 2 |- A e. _V
2		map0.2	. 2 |- B e. _V
3		map0g 6744	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( ( A ^m B ) = (/) <-> ( A = (/) /\ B =/= (/) ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- ( ( A ^m B ) = (/) <-> ( A = (/) /\ B =/= (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   _Vcvv 2760   (/)c0 3447  (class class class)co 5919   ^m cmap 6704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-map 6706

This theorem is referenced by: (None)