Theorem map0 6826

Description: Set exponentiation is empty iff the base is empty and the exponent is not empty. Theorem 97 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
map0.1	⊢ 𝐴 ∈ V
map0.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
map0	⊢ ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))

Proof of Theorem map0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		map0.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		map0.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		map0g 6825	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  Vcvv 2799  ∅c0 3491  (class class class)co 5994   ↑_𝑚 cmap 6785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-map 6787

This theorem is referenced by: (None)