Theorem map0 6858

Description: Set exponentiation is empty iff the base is empty and the exponent is not empty. Theorem 97 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
map0.1	⊢ 𝐴 ∈ V
map0.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
map0	⊢ ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))

Proof of Theorem map0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		map0.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		map0.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		map0g 6857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  Vcvv 2802  ∅c0 3494  (class class class)co 6018   ↑_𝑚 cmap 6817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-map 6819

This theorem is referenced by: (None)