Theorem mhmrcl1 13760

Description: Reverse closure of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mhmrcl1	|- ( F e. ( S MndHom T ) -> S e. Mnd )

Proof of Theorem mhmrcl1

Dummy variables f s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mhm 13756	. 2 |- MndHom = ( s e. Mnd , t e. Mnd |-> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
2	1	elmpocl1 6258	1 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> S e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   0gc0g 13553   Mndcmnd 13713   MndHom cmhm 13754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-mhm 13756

This theorem is referenced by:  mhmf1o  13767  resmhm2  13785  resmhm2b  13786  mhmco  13787  mhmeql  13789  gsumwmhm  13795  mhmmulg  13964