Theorem mhmrcl1 13545

Description: Reverse closure of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mhmrcl1	|- ( F e. ( S MndHom T ) -> S e. Mnd )

Proof of Theorem mhmrcl1

Dummy variables f s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mhm 13541	. 2 |- MndHom = ( s e. Mnd , t e. Mnd |-> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
2	1	elmpocl1 6217	1 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> S e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   ^m cmap 6816   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   0gc0g 13338   Mndcmnd 13498   MndHom cmhm 13539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-mhm 13541

This theorem is referenced by:  mhmf1o  13552  resmhm2  13570  resmhm2b  13571  mhmco  13572  mhmeql  13574  gsumwmhm  13580  mhmmulg  13749