Theorem mhmmulg 13293

Description: A homomorphism of monoids preserves group multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmmulg.b	|- B = ( Base ` G )
mhmmulg.s	|- .x. = (.g ` G )
mhmmulg.t	|- .X. = (.g ` H )

Assertion

Ref	Expression
mhmmulg	|- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( F ` ( N .x. X ) ) = ( N .X. ( F ` X ) ) )

Proof of Theorem mhmmulg

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 5945	. . . . . 6 |- ( n = 0 -> ( F ` ( n .x. X ) ) = ( F ` ( 0 .x. X ) ) )
2		oveq1 5929	. . . . . 6 |- ( n = 0 -> ( n .X. ( F ` X ) ) = ( 0 .X. ( F ` X ) ) )
3	1, 2	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( n = 0 -> ( ( F ` ( n .x. X ) ) = ( n .X. ( F ` X ) ) <-> ( F ` ( 0 .x. X ) ) = ( 0 .X. ( F ` X ) ) ) )
4	3	imbi2d 230	. . . 4 |- ( n = 0 -> ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( n .x. X ) ) = ( n .X. ( F ` X ) ) ) <-> ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( 0 .x. X ) ) = ( 0 .X. ( F ` X ) ) ) ) )
5		fvoveq1 5945	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( F ` ( n .x. X ) ) = ( F ` ( m .x. X ) ) )
6		oveq1 5929	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( n .X. ( F ` X ) ) = ( m .X. ( F ` X ) ) )
7	5, 6	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( n = m -> ( ( F ` ( n .x. X ) ) = ( n .X. ( F ` X ) ) <-> ( F ` ( m .x. X ) ) = ( m .X. ( F ` X ) ) ) )
8	7	imbi2d 230	. . . 4 |- ( n = m -> ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( n .x. X ) ) = ( n .X. ( F ` X ) ) ) <-> ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( m .x. X ) ) = ( m .X. ( F ` X ) ) ) ) )
9		fvoveq1 5945	. . . . . 6 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( F ` ( n .x. X ) ) = ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
10		oveq1 5929	. . . . . 6 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n .X. ( F ` X ) ) = ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) )
11	9, 10	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( F ` ( n .x. X ) ) = ( n .X. ( F ` X ) ) <-> ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . . 4 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( n .x. X ) ) = ( n .X. ( F ` X ) ) ) <-> ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) ) ) )
13		fvoveq1 5945	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( F ` ( n .x. X ) ) = ( F ` ( N .x. X ) ) )
14		oveq1 5929	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( n .X. ( F ` X ) ) = ( N .X. ( F ` X ) ) )
15	13, 14	eqeq12d 2211	. . . . 5 |- ( n = N -> ( ( F ` ( n .x. X ) ) = ( n .X. ( F ` X ) ) <-> ( F ` ( N .x. X ) ) = ( N .X. ( F ` X ) ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( n .x. X ) ) = ( n .X. ( F ` X ) ) ) <-> ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( N .x. X ) ) = ( N .X. ( F ` X ) ) ) ) )
17		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
18		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
19	17, 18	mhm0 13100	. . . . . 6 |- ( F e. ( G MndHom H ) -> ( F ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` H ) )
20	19	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` H ) )
21		mhmmulg.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
22		mhmmulg.s	. . . . . . . 8 |- .x. = (.g ` G )
23	21, 17, 22	mulg0 13255	. . . . . . 7 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
24	23	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
25	24	fveq2d 5562	. . . . 5 |- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( 0 .x. X ) ) = ( F ` ( 0g ` G ) ) )
26		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
27	21, 26	mhmf 13097	. . . . . . 7 |- ( F e. ( G MndHom H ) -> F : B --> ( Base ` H ) )
28	27	ffvelcdmda 5697	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. ( Base ` H ) )
29		mhmmulg.t	. . . . . . 7 |- .X. = (.g ` H )
30	26, 18, 29	mulg0 13255	. . . . . 6 |- ( ( F ` X ) e. ( Base ` H ) -> ( 0 .X. ( F ` X ) ) = ( 0g ` H ) )
31	28, 30	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( 0 .X. ( F ` X ) ) = ( 0g ` H ) )
32	20, 25, 31	3eqtr4d 2239	. . . 4 |- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( 0 .x. X ) ) = ( 0 .X. ( F ` X ) ) )
33		oveq1 5929	. . . . . . 7 |- ( ( F ` ( m .x. X ) ) = ( m .X. ( F ` X ) ) -> ( ( F ` ( m .x. X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) = ( ( m .X. ( F ` X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) )
34		mhmrcl1 13095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( G MndHom H ) -> G e. Mnd )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> G e. Mnd )
36		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
37		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> X e. B )
38		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
39	21, 22, 38	mulgnn0p1 13263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Mnd /\ m e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( m + 1 ) .x. X ) = ( ( m .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
40	35, 36, 37, 39	syl3anc 1249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( m + 1 ) .x. X ) = ( ( m .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
41	40	fveq2d 5562	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( F ` ( ( m .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) )
42		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> F e. ( G MndHom H ) )
43	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ m e. NN0 ) /\ X e. B ) -> G e. Mnd )
44		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ m e. NN0 ) /\ X e. B ) -> m e. NN0 )
45		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ m e. NN0 ) /\ X e. B ) -> X e. B )
46	21, 22	mulgnn0cl 13268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ m e. NN0 /\ X e. B ) -> ( m .x. X ) e. B )
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ m e. NN0 ) /\ X e. B ) -> ( m .x. X ) e. B )
48	47	an32s 568	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( m .x. X ) e. B )
49		eqid 2196	. . . . . . . . . . 11 |- ( +g ` H ) = ( +g ` H )
50	21, 38, 49	mhmlin 13099	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ ( m .x. X ) e. B /\ X e. B ) -> ( F ` ( ( m .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) = ( ( F ` ( m .x. X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) )
51	42, 48, 37, 50	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( F ` ( ( m .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) = ( ( F ` ( m .x. X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) )
52	41, 51	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( F ` ( m .x. X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) )
53		mhmrcl2 13096	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( G MndHom H ) -> H e. Mnd )
54	53	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> H e. Mnd )
55	28	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( F ` X ) e. ( Base ` H ) )
56	26, 29, 49	mulgnn0p1 13263	. . . . . . . . 9 |- ( ( H e. Mnd /\ m e. NN0 /\ ( F ` X ) e. ( Base ` H ) ) -> ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) = ( ( m .X. ( F ` X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) )
57	54, 36, 55, 56	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) = ( ( m .X. ( F ` X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) )
58	52, 57	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) <-> ( ( F ` ( m .x. X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) = ( ( m .X. ( F ` X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) ) )
59	33, 58	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( F ` ( m .x. X ) ) = ( m .X. ( F ` X ) ) -> ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) ) )
60	59	expcom 116	. . . . 5 |- ( m e. NN0 -> ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( ( F ` ( m .x. X ) ) = ( m .X. ( F ` X ) ) -> ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) ) ) )
61	60	a2d 26	. . . 4 |- ( m e. NN0 -> ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( m .x. X ) ) = ( m .X. ( F ` X ) ) ) -> ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) ) ) )
62	4, 8, 12, 16, 32, 61	nn0ind 9440	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( N .x. X ) ) = ( N .X. ( F ` X ) ) ) )
63	62	3impib 1203	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( N .x. X ) ) = ( N .X. ( F ` X ) ) )
64	63	3com12 1209	1 |- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( F ` ( N .x. X ) ) = ( N .X. ( F ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   NN0cn0 9249   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   0gc0g 12927   Mndcmnd 13057   MndHom cmhm 13089  ._gcmg 13249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-map 6709  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-mhm 13091  df-minusg 13136  df-mulg 13250

This theorem is referenced by:  ghmmulg  13386  lgseisenlem4  15314