Theorem mhmmulg 13880

Description: A homomorphism of monoids preserves group multiples. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmmulg.b	|- B = ( Base ` G )
mhmmulg.s	|- .x. = (.g ` G )
mhmmulg.t	|- .X. = (.g ` H )

Assertion

Ref	Expression
mhmmulg	|- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( F ` ( N .x. X ) ) = ( N .X. ( F ` X ) ) )

Proof of Theorem mhmmulg

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 6073	. . . . . 6 |- ( n = 0 -> ( F ` ( n .x. X ) ) = ( F ` ( 0 .x. X ) ) )
2		oveq1 6057	. . . . . 6 |- ( n = 0 -> ( n .X. ( F ` X ) ) = ( 0 .X. ( F ` X ) ) )
3	1, 2	eqeq12d 2247	. . . . 5 |- ( n = 0 -> ( ( F ` ( n .x. X ) ) = ( n .X. ( F ` X ) ) <-> ( F ` ( 0 .x. X ) ) = ( 0 .X. ( F ` X ) ) ) )
4	3	imbi2d 230	. . . 4 |- ( n = 0 -> ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( n .x. X ) ) = ( n .X. ( F ` X ) ) ) <-> ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( 0 .x. X ) ) = ( 0 .X. ( F ` X ) ) ) ) )
5		fvoveq1 6073	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( F ` ( n .x. X ) ) = ( F ` ( m .x. X ) ) )
6		oveq1 6057	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( n .X. ( F ` X ) ) = ( m .X. ( F ` X ) ) )
7	5, 6	eqeq12d 2247	. . . . 5 |- ( n = m -> ( ( F ` ( n .x. X ) ) = ( n .X. ( F ` X ) ) <-> ( F ` ( m .x. X ) ) = ( m .X. ( F ` X ) ) ) )
8	7	imbi2d 230	. . . 4 |- ( n = m -> ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( n .x. X ) ) = ( n .X. ( F ` X ) ) ) <-> ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( m .x. X ) ) = ( m .X. ( F ` X ) ) ) ) )
9		fvoveq1 6073	. . . . . 6 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( F ` ( n .x. X ) ) = ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) )
10		oveq1 6057	. . . . . 6 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n .X. ( F ` X ) ) = ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) )
11	9, 10	eqeq12d 2247	. . . . 5 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( F ` ( n .x. X ) ) = ( n .X. ( F ` X ) ) <-> ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . . 4 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( n .x. X ) ) = ( n .X. ( F ` X ) ) ) <-> ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) ) ) )
13		fvoveq1 6073	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( F ` ( n .x. X ) ) = ( F ` ( N .x. X ) ) )
14		oveq1 6057	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( n .X. ( F ` X ) ) = ( N .X. ( F ` X ) ) )
15	13, 14	eqeq12d 2247	. . . . 5 |- ( n = N -> ( ( F ` ( n .x. X ) ) = ( n .X. ( F ` X ) ) <-> ( F ` ( N .x. X ) ) = ( N .X. ( F ` X ) ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . . 4 |- ( n = N -> ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( n .x. X ) ) = ( n .X. ( F ` X ) ) ) <-> ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( N .x. X ) ) = ( N .X. ( F ` X ) ) ) ) )
17		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
18		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
19	17, 18	mhm0 13681	. . . . . 6 |- ( F e. ( G MndHom H ) -> ( F ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` H ) )
20	19	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` H ) )
21		mhmmulg.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` G )
22		mhmmulg.s	. . . . . . . 8 |- .x. = (.g ` G )
23	21, 17, 22	mulg0 13842	. . . . . . 7 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
24	23	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
25	24	fveq2d 5674	. . . . 5 |- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( 0 .x. X ) ) = ( F ` ( 0g ` G ) ) )
26		eqid 2232	. . . . . . . 8 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
27	21, 26	mhmf 13678	. . . . . . 7 |- ( F e. ( G MndHom H ) -> F : B --> ( Base ` H ) )
28	27	ffvelcdmda 5812	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. ( Base ` H ) )
29		mhmmulg.t	. . . . . . 7 |- .X. = (.g ` H )
30	26, 18, 29	mulg0 13842	. . . . . 6 |- ( ( F ` X ) e. ( Base ` H ) -> ( 0 .X. ( F ` X ) ) = ( 0g ` H ) )
31	28, 30	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( 0 .X. ( F ` X ) ) = ( 0g ` H ) )
32	20, 25, 31	3eqtr4d 2275	. . . 4 |- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( 0 .x. X ) ) = ( 0 .X. ( F ` X ) ) )
33		oveq1 6057	. . . . . . 7 |- ( ( F ` ( m .x. X ) ) = ( m .X. ( F ` X ) ) -> ( ( F ` ( m .x. X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) = ( ( m .X. ( F ` X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) )
34		mhmrcl1 13676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( G MndHom H ) -> G e. Mnd )
35	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> G e. Mnd )
36		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
37		simplr 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> X e. B )
38		eqid 2232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
39	21, 22, 38	mulgnn0p1 13850	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Mnd /\ m e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( m + 1 ) .x. X ) = ( ( m .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
40	35, 36, 37, 39	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( m + 1 ) .x. X ) = ( ( m .x. X ) ( +g ` G ) X ) )
41	40	fveq2d 5674	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( F ` ( ( m .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) )
42		simpll 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> F e. ( G MndHom H ) )
43	34	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ m e. NN0 ) /\ X e. B ) -> G e. Mnd )
44		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ m e. NN0 ) /\ X e. B ) -> m e. NN0 )
45		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ m e. NN0 ) /\ X e. B ) -> X e. B )
46	21, 22	mulgnn0cl 13855	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ m e. NN0 /\ X e. B ) -> ( m .x. X ) e. B )
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ m e. NN0 ) /\ X e. B ) -> ( m .x. X ) e. B )
48	47	an32s 570	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( m .x. X ) e. B )
49		eqid 2232	. . . . . . . . . . 11 |- ( +g ` H ) = ( +g ` H )
50	21, 38, 49	mhmlin 13680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ ( m .x. X ) e. B /\ X e. B ) -> ( F ` ( ( m .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) = ( ( F ` ( m .x. X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) )
51	42, 48, 37, 50	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( F ` ( ( m .x. X ) ( +g ` G ) X ) ) = ( ( F ` ( m .x. X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) )
52	41, 51	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( F ` ( m .x. X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) )
53		mhmrcl2 13677	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( G MndHom H ) -> H e. Mnd )
54	53	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> H e. Mnd )
55	28	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( F ` X ) e. ( Base ` H ) )
56	26, 29, 49	mulgnn0p1 13850	. . . . . . . . 9 |- ( ( H e. Mnd /\ m e. NN0 /\ ( F ` X ) e. ( Base ` H ) ) -> ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) = ( ( m .X. ( F ` X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) )
57	54, 36, 55, 56	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) = ( ( m .X. ( F ` X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) )
58	52, 57	eqeq12d 2247	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) <-> ( ( F ` ( m .x. X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) = ( ( m .X. ( F ` X ) ) ( +g ` H ) ( F ` X ) ) ) )
59	33, 58	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( F ` ( m .x. X ) ) = ( m .X. ( F ` X ) ) -> ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) ) )
60	59	expcom 116	. . . . 5 |- ( m e. NN0 -> ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( ( F ` ( m .x. X ) ) = ( m .X. ( F ` X ) ) -> ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) ) ) )
61	60	a2d 26	. . . 4 |- ( m e. NN0 -> ( ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( m .x. X ) ) = ( m .X. ( F ` X ) ) ) -> ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( ( m + 1 ) .x. X ) ) = ( ( m + 1 ) .X. ( F ` X ) ) ) ) )
62	4, 8, 12, 16, 32, 61	nn0ind 9692	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( N .x. X ) ) = ( N .X. ( F ` X ) ) ) )
63	62	3impib 1228	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ F e. ( G MndHom H ) /\ X e. B ) -> ( F ` ( N .x. X ) ) = ( N .X. ( F ` X ) ) )
64	63	3com12 1234	1 |- ( ( F e. ( G MndHom H ) /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( F ` ( N .x. X ) ) = ( N .X. ( F ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   NN0cn0 9496   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   0gc0g 13469   Mndcmnd 13629   MndHom cmhm 13670  ._gcmg 13836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-map 6884  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-seqfrec 10810  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-mhm 13672  df-minusg 13717  df-mulg 13837

This theorem is referenced by:  ghmmulg  13973  lgseisenlem4  15946