Theorem mhmco 13745

Description: The composition of monoid homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mhmco	|- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S MndHom U ) )

Proof of Theorem mhmco

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmrcl2 13719	. . 3 |- ( F e. ( T MndHom U ) -> U e. Mnd )
2		mhmrcl1 13718	. . 3 |- ( G e. ( S MndHom T ) -> S e. Mnd )
3	1, 2	anim12ci 339	. 2 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( S e. Mnd /\ U e. Mnd ) )
4		eqid 2234	. . . . 5 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
5		eqid 2234	. . . . 5 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
6	4, 5	mhmf 13720	. . . 4 |- ( F e. ( T MndHom U ) -> F : ( Base ` T ) --> ( Base ` U ) )
7		eqid 2234	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
8	7, 4	mhmf 13720	. . . 4 |- ( G e. ( S MndHom T ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
9		fco 5532	. . . 4 |- ( ( F : ( Base ` T ) --> ( Base ` U ) /\ G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) ) -> ( F o. G ) : ( Base ` S ) --> ( Base ` U ) )
10	6, 8, 9	syl2an 289	. . 3 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F o. G ) : ( Base ` S ) --> ( Base ` U ) )
11		eqid 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
12		eqid 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
13	7, 11, 12	mhmlin 13722	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. ( S MndHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
14	13	3expb 1231	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. ( S MndHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
15	14	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
16	15	fveq2d 5679	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( F ` ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) = ( F ` ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) ) )
17		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> F e. ( T MndHom U ) )
18	8	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
19		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
20	18, 19	ffvelcdmd 5818	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` T ) )
21		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
22	18, 21	ffvelcdmd 5818	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( Base ` T ) )
23		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
24	4, 12, 23	mhmlin 13722	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ ( G ` x ) e. ( Base ` T ) /\ ( G ` y ) e. ( Base ` T ) ) -> ( F ` ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
25	17, 20, 22, 24	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( F ` ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
26	16, 25	eqtrd 2267	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( F ` ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
27	2	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> S e. Mnd )
28	7, 11	mndcl 13684	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Mnd /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
29	28	3expb 1231	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
30	27, 29	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
31		fvco3 5753	. . . . . 6 |- ( ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( F ` ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) )
32	18, 30, 31	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( F ` ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) )
33		fvco3 5753	. . . . . . 7 |- ( ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
34	18, 19, 33	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
35		fvco3 5753	. . . . . . 7 |- ( ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
36	18, 21, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
37	34, 36	oveq12d 6076	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
38	26, 32, 37	3eqtr4d 2277	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) )
39	38	ralrimivva 2626	. . 3 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) )
40	8	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
41		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
42	7, 41	mndidcl 13691	. . . . . 6 |- ( S e. Mnd -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
43	27, 42	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
44		fvco3 5753	. . . . 5 |- ( ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( 0g ` S ) ) = ( F ` ( G ` ( 0g ` S ) ) ) )
45	40, 43, 44	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( 0g ` S ) ) = ( F ` ( G ` ( 0g ` S ) ) ) )
46		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
47	41, 46	mhm0 13723	. . . . . 6 |- ( G e. ( S MndHom T ) -> ( G ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
48	47	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( G ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
49	48	fveq2d 5679	. . . 4 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F ` ( G ` ( 0g ` S ) ) ) = ( F ` ( 0g ` T ) ) )
50		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( 0g ` U ) = ( 0g ` U )
51	46, 50	mhm0 13723	. . . . 5 |- ( F e. ( T MndHom U ) -> ( F ` ( 0g ` T ) ) = ( 0g ` U ) )
52	51	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F ` ( 0g ` T ) ) = ( 0g ` U ) )
53	45, 49, 52	3eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` U ) )
54	10, 39, 53	3jca 1204	. 2 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( ( F o. G ) : ( Base ` S ) --> ( Base ` U ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) /\ ( ( F o. G ) ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` U ) ) )
55	7, 5, 11, 23, 41, 50	ismhm 13716	. 2 |- ( ( F o. G ) e. ( S MndHom U ) <-> ( ( S e. Mnd /\ U e. Mnd ) /\ ( ( F o. G ) : ( Base ` S ) --> ( Base ` U ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) /\ ( ( F o. G ) ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` U ) ) ) )
56	3, 54, 55	sylanbrc 417	1 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S MndHom U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   o. ccom 4758   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   0gc0g 13553   Mndcmnd 13677   MndHom cmhm 13712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-mhm 13714

This theorem is referenced by:  ghmco  14017  rhmco  14419  lgseisenlem4  16072