Theorem mhmco 13122

Description: The composition of monoid homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mhmco	|- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S MndHom U ) )

Proof of Theorem mhmco

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmrcl2 13096	. . 3 |- ( F e. ( T MndHom U ) -> U e. Mnd )
2		mhmrcl1 13095	. . 3 |- ( G e. ( S MndHom T ) -> S e. Mnd )
3	1, 2	anim12ci 339	. 2 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( S e. Mnd /\ U e. Mnd ) )
4		eqid 2196	. . . . 5 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
5		eqid 2196	. . . . 5 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
6	4, 5	mhmf 13097	. . . 4 |- ( F e. ( T MndHom U ) -> F : ( Base ` T ) --> ( Base ` U ) )
7		eqid 2196	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
8	7, 4	mhmf 13097	. . . 4 |- ( G e. ( S MndHom T ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
9		fco 5423	. . . 4 |- ( ( F : ( Base ` T ) --> ( Base ` U ) /\ G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) ) -> ( F o. G ) : ( Base ` S ) --> ( Base ` U ) )
10	6, 8, 9	syl2an 289	. . 3 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F o. G ) : ( Base ` S ) --> ( Base ` U ) )
11		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
12		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
13	7, 11, 12	mhmlin 13099	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. ( S MndHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
14	13	3expb 1206	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. ( S MndHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
15	14	adantll 476	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
16	15	fveq2d 5562	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( F ` ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) = ( F ` ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) ) )
17		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> F e. ( T MndHom U ) )
18	8	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
19		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
20	18, 19	ffvelcdmd 5698	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` T ) )
21		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
22	18, 21	ffvelcdmd 5698	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( Base ` T ) )
23		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
24	4, 12, 23	mhmlin 13099	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ ( G ` x ) e. ( Base ` T ) /\ ( G ` y ) e. ( Base ` T ) ) -> ( F ` ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
25	17, 20, 22, 24	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( F ` ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
26	16, 25	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( F ` ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
27	2	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> S e. Mnd )
28	7, 11	mndcl 13064	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Mnd /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
29	28	3expb 1206	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
30	27, 29	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
31		fvco3 5632	. . . . . 6 |- ( ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( F ` ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) )
32	18, 30, 31	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( F ` ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) )
33		fvco3 5632	. . . . . . 7 |- ( ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
34	18, 19, 33	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
35		fvco3 5632	. . . . . . 7 |- ( ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
36	18, 21, 35	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
37	34, 36	oveq12d 5940	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
38	26, 32, 37	3eqtr4d 2239	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) )
39	38	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) )
40	8	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
41		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
42	7, 41	mndidcl 13071	. . . . . 6 |- ( S e. Mnd -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
43	27, 42	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
44		fvco3 5632	. . . . 5 |- ( ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( 0g ` S ) ) = ( F ` ( G ` ( 0g ` S ) ) ) )
45	40, 43, 44	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( 0g ` S ) ) = ( F ` ( G ` ( 0g ` S ) ) ) )
46		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
47	41, 46	mhm0 13100	. . . . . 6 |- ( G e. ( S MndHom T ) -> ( G ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
48	47	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( G ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
49	48	fveq2d 5562	. . . 4 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F ` ( G ` ( 0g ` S ) ) ) = ( F ` ( 0g ` T ) ) )
50		eqid 2196	. . . . . 6 |- ( 0g ` U ) = ( 0g ` U )
51	46, 50	mhm0 13100	. . . . 5 |- ( F e. ( T MndHom U ) -> ( F ` ( 0g ` T ) ) = ( 0g ` U ) )
52	51	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F ` ( 0g ` T ) ) = ( 0g ` U ) )
53	45, 49, 52	3eqtrd 2233	. . 3 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` U ) )
54	10, 39, 53	3jca 1179	. 2 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( ( F o. G ) : ( Base ` S ) --> ( Base ` U ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) /\ ( ( F o. G ) ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` U ) ) )
55	7, 5, 11, 23, 41, 50	ismhm 13093	. 2 |- ( ( F o. G ) e. ( S MndHom U ) <-> ( ( S e. Mnd /\ U e. Mnd ) /\ ( ( F o. G ) : ( Base ` S ) --> ( Base ` U ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) /\ ( ( F o. G ) ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` U ) ) ) )
56	3, 54, 55	sylanbrc 417	1 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S MndHom U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   o. ccom 4667   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   0gc0g 12927   Mndcmnd 13057   MndHom cmhm 13089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-inn 8991  df-2 9049  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-mhm 13091

This theorem is referenced by:  ghmco  13394  rhmco  13730  lgseisenlem4  15314