Theorem mhmco 12705

Description: The composition of monoid homomorphisms is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mhmco	|- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S MndHom U ) )

Proof of Theorem mhmco

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmrcl2 12687	. . 3 |- ( F e. ( T MndHom U ) -> U e. Mnd )
2		mhmrcl1 12686	. . 3 |- ( G e. ( S MndHom T ) -> S e. Mnd )
3	1, 2	anim12ci 337	. 2 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( S e. Mnd /\ U e. Mnd ) )
4		eqid 2170	. . . . 5 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
5		eqid 2170	. . . . 5 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
6	4, 5	mhmf 12688	. . . 4 |- ( F e. ( T MndHom U ) -> F : ( Base ` T ) --> ( Base ` U ) )
7		eqid 2170	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
8	7, 4	mhmf 12688	. . . 4 |- ( G e. ( S MndHom T ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
9		fco 5363	. . . 4 |- ( ( F : ( Base ` T ) --> ( Base ` U ) /\ G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) ) -> ( F o. G ) : ( Base ` S ) --> ( Base ` U ) )
10	6, 8, 9	syl2an 287	. . 3 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F o. G ) : ( Base ` S ) --> ( Base ` U ) )
11		eqid 2170	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
12		eqid 2170	. . . . . . . . . 10 |- ( +g ` T ) = ( +g ` T )
13	7, 11, 12	mhmlin 12690	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. ( S MndHom T ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
14	13	3expb 1199	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. ( S MndHom T ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
15	14	adantll 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) )
16	15	fveq2d 5500	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( F ` ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) = ( F ` ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) ) )
17		simpll 524	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> F e. ( T MndHom U ) )
18	8	ad2antlr 486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
19		simprl 526	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
20	18, 19	ffvelrnd 5632	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( G ` x ) e. ( Base ` T ) )
21		simprr 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
22	18, 21	ffvelrnd 5632	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( G ` y ) e. ( Base ` T ) )
23		eqid 2170	. . . . . . . 8 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
24	4, 12, 23	mhmlin 12690	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ ( G ` x ) e. ( Base ` T ) /\ ( G ` y ) e. ( Base ` T ) ) -> ( F ` ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
25	17, 20, 22, 24	syl3anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( F ` ( ( G ` x ) ( +g ` T ) ( G ` y ) ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
26	16, 25	eqtrd 2203	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( F ` ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
27	2	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> S e. Mnd )
28	7, 11	mndcl 12659	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. Mnd /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
29	28	3expb 1199	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
30	27, 29	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
31		fvco3 5567	. . . . . 6 |- ( ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( F ` ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) )
32	18, 30, 31	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( F ` ( G ` ( x ( +g ` S ) y ) ) ) )
33		fvco3 5567	. . . . . . 7 |- ( ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
34	18, 19, 33	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` x ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
35		fvco3 5567	. . . . . . 7 |- ( ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
36	18, 21, 35	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
37	34, 36	oveq12d 5871	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( G ` y ) ) ) )
38	26, 32, 37	3eqtr4d 2213	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) )
39	38	ralrimivva 2552	. . 3 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) )
40	8	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
41		eqid 2170	. . . . . . 7 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
42	7, 41	mndidcl 12666	. . . . . 6 |- ( S e. Mnd -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
43	27, 42	syl 14	. . . . 5 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) )
44		fvco3 5567	. . . . 5 |- ( ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) /\ ( 0g ` S ) e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( 0g ` S ) ) = ( F ` ( G ` ( 0g ` S ) ) ) )
45	40, 43, 44	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( 0g ` S ) ) = ( F ` ( G ` ( 0g ` S ) ) ) )
46		eqid 2170	. . . . . . 7 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
47	41, 46	mhm0 12691	. . . . . 6 |- ( G e. ( S MndHom T ) -> ( G ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
48	47	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( G ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
49	48	fveq2d 5500	. . . 4 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F ` ( G ` ( 0g ` S ) ) ) = ( F ` ( 0g ` T ) ) )
50		eqid 2170	. . . . . 6 |- ( 0g ` U ) = ( 0g ` U )
51	46, 50	mhm0 12691	. . . . 5 |- ( F e. ( T MndHom U ) -> ( F ` ( 0g ` T ) ) = ( 0g ` U ) )
52	51	adantr 274	. . . 4 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F ` ( 0g ` T ) ) = ( 0g ` U ) )
53	45, 49, 52	3eqtrd 2207	. . 3 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( ( F o. G ) ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` U ) )
54	10, 39, 53	3jca 1172	. 2 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( ( F o. G ) : ( Base ` S ) --> ( Base ` U ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) /\ ( ( F o. G ) ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` U ) ) )
55	7, 5, 11, 23, 41, 50	ismhm 12685	. 2 |- ( ( F o. G ) e. ( S MndHom U ) <-> ( ( S e. Mnd /\ U e. Mnd ) /\ ( ( F o. G ) : ( Base ` S ) --> ( Base ` U ) /\ A. x e. ( Base ` S ) A. y e. ( Base ` S ) ( ( F o. G ) ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( ( F o. G ) ` x ) ( +g ` U ) ( ( F o. G ) ` y ) ) /\ ( ( F o. G ) ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` U ) ) ) )
56	3, 54, 55	sylanbrc 415	1 |- ( ( F e. ( T MndHom U ) /\ G e. ( S MndHom T ) ) -> ( F o. G ) e. ( S MndHom U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   o. ccom 4615   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Basecbs 12416   +g cplusg 12480   0gc0g 12596   Mndcmnd 12652   MndHom cmhm 12681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-inn 8879  df-2 8937  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-plusg 12493  df-0g 12598  df-mgm 12610  df-sgrp 12643  df-mnd 12653  df-mhm 12683

This theorem is referenced by: (None)