Theorem mhmrcl2 12860

Description: Reverse closure of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mhmrcl2	|- ( F e. ( S MndHom T ) -> T e. Mnd )

Proof of Theorem mhmrcl2

Dummy variables f s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mhm 12856	. 2 |- MndHom = ( s e. Mnd , t e. Mnd |-> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
2	1	elmpocl2 6073	1 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> T e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   ^m cmap 6650   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   0gc0g 12710   Mndcmnd 12822   MndHom cmhm 12854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-mhm 12856

This theorem is referenced by:  mhmf1o  12866  mhmco  12879  mhmima  12880  mhmmulg  13029