Theorem mhmrcl2 13748

Description: Reverse closure of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mhmrcl2	|- ( F e. ( S MndHom T ) -> T e. Mnd )

Proof of Theorem mhmrcl2

Dummy variables f s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mhm 13743	. 2 |- MndHom = ( s e. Mnd , t e. Mnd |-> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
2	1	elmpocl2 6276	1 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> T e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ^m cmap 6912   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   0gc0g 13587   Mndcmnd 13706   MndHom cmhm 13741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-mhm 13743

This theorem is referenced by:  mhmf1o  13754  resmhm  13771  mhmco  13774  mhmima  13775  gzsumwmhm  13780  mhmmulg  13943