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Theorem ismhm 13293
Description: Property of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismhm.b |- B = ( Base ` S )
ismhm.c |- C = ( Base ` T )
ismhm.p |- .+ = ( +g ` S )
ismhm.q |- .+^ = ( +g ` T )
ismhm.z |- .0. = ( 0g ` S )
ismhm.y |- Y = ( 0g ` T )
Assertion
Ref Expression
ismhm |- ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, B   x, S, y   x, T, y   x, F, y
Allowed substitution hints:   C( x, y)   .+ ( x, y)   .+^ ( x, y)   Y( x, y)   .0. ( x, y)
Proof of Theorem ismhm
Dummy variables f s t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mhm 13291 . . 3 |- MndHom = ( s e. Mnd , t e. Mnd |-> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
21elmpocl 6141 . 2 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) )
3 fnmap 6742 . . . . . . 7 |- ^m Fn ( _V X. _V )
4 ismhm.c . . . . . . . 8 |- C = ( Base ` T )
5 basfn 12890 . . . . . . . . 9 |- Base Fn _V
6 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> T e. Mnd )
76elexd 2785 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> T e. _V )
8 funfvex 5593 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Base /\ T e. dom Base ) -> ( Base ` T ) e. _V )
98funfni 5376 . . . . . . . . 9 |- ( ( Base Fn _V /\ T e. _V ) -> ( Base ` T ) e. _V )
105, 7, 9sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( Base ` T ) e. _V )
114, 10eqeltrid 2292 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> C e. _V )
12 ismhm.b . . . . . . . 8 |- B = ( Base ` S )
13 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> S e. Mnd )
1413elexd 2785 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> S e. _V )
15 funfvex 5593 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
1615funfni 5376 . . . . . . . . 9 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
175, 14, 16sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( Base ` S ) e. _V )
1812, 17eqeltrid 2292 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> B e. _V )
19 fnovex 5977 . . . . . . 7 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ C e. _V /\ B e. _V ) -> ( C ^m B ) e. _V )
203, 11, 18, 19mp3an2i 1355 . . . . . 6 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( C ^m B ) e. _V )
21 rabexg 4187 . . . . . 6 |- ( ( C ^m B ) e. _V -> { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } e. _V )
2220, 21syl 14 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } e. _V )
23 fveq2 5576 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
2423, 4eqtr4di 2256 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = C )
25 fveq2 5576 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
2625, 12eqtr4di 2256 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = B )
2724, 26oveqan12rd 5964 . . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) = ( C ^m B ) )
2826adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( Base ` s ) = B )
29 fveq2 5576 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
30 ismhm.p . . . . . . . . . . . . . 14 |- .+ = ( +g ` S )
3129, 30eqtr4di 2256 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = .+ )
3231oveqd 5961 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( x ( +g ` s ) y ) = ( x .+ y ) )
3332fveq2d 5580 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( f ` ( x .+ y ) ) )
34 fveq2 5576 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
35 ismhm.q . . . . . . . . . . . . 13 |- .+^ = ( +g ` T )
3634, 35eqtr4di 2256 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = .+^ )
3736oveqd 5961 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = T -> ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) )
3833, 37eqeqan12d 2221 . . . . . . . . . 10 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) ) )
3928, 38raleqbidv 2718 . . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) ) )
4028, 39raleqbidv 2718 . . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) ) )
41 fveq2 5576 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( 0g ` s ) = ( 0g ` S ) )
42 ismhm.z . . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` S )
4341, 42eqtr4di 2256 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( 0g ` s ) = .0. )
4443fveq2d 5580 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( f ` .0. ) )
45 fveq2 5576 . . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( 0g ` t ) = ( 0g ` T ) )
46 ismhm.y . . . . . . . . . 10 |- Y = ( 0g ` T )
4745, 46eqtr4di 2256 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( 0g ` t ) = Y )
4844, 47eqeqan12d 2221 . . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) <-> ( f ` .0. ) = Y ) )
4940, 48anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) ) )
5027, 49rabeqbidv 2767 . . . . . 6 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } = { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } )
5150, 1ovmpoga 6075 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd /\ { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } e. _V ) -> ( S MndHom T ) = { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } )
5222, 51mpd3an3 1351 . . . 4 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) = { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } )
5352eleq2d 2275 . . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( F e. ( S MndHom T ) <-> F e. { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } ) )
5411, 18elmapd 6749 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( F e. ( C ^m B ) <-> F : B --> C ) )
5554anbi1d 465 . . . 4 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( ( F e. ( C ^m B ) /\ ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) <-> ( F : B --> C /\ ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) ) )
56 fveq1 5575 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` ( x .+ y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
57 fveq1 5575 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
58 fveq1 5575 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` y ) = ( F ` y ) )
5957, 58oveq12d 5962 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
6056, 59eqeq12d 2220 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) <-> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
61602ralbidv 2530 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
62 fveq1 5575 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` .0. ) = ( F ` .0. ) )
6362eqeq1d 2214 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( f ` .0. ) = Y <-> ( F ` .0. ) = Y ) )
6461, 63anbi12d 473 . . . . 5 |- ( f = F -> ( ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
6564elrab 2929 . . . 4 |- ( F e. { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } <-> ( F e. ( C ^m B ) /\ ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
66 3anass 985 . . . 4 |- ( ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) <-> ( F : B --> C /\ ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
6755, 65, 663bitr4g 223 . . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( F e. { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } <-> ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
6853, 67bitrd 188 . 2 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
692, 68biadanii 613 1 |- ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   {crab 2488   _Vcvv 2772   X. cxp 4673   Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   ^m cmap 6735   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   0gc0g 13088   Mndcmnd 13248   MndHom cmhm 13289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-map 6737  df-inn 9037  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-mhm 13291
This theorem is referenced by:  mhmf  13297  mhmpropd  13298  mhmlin  13299  mhm0  13300  idmhm  13301  mhmf1o  13302  0mhm  13318  resmhm  13319  resmhm2  13320  resmhm2b  13321  mhmco  13322  mhmfmhm  13453  ghmmhm  13589  srglmhm  13755  srgrmhm  13756  dfrhm2  13916  isrhm2d  13927
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