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Theorem ismhm 13768
Description: Property of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismhm.b |- B = ( Base ` S )
ismhm.c |- C = ( Base ` T )
ismhm.p |- .+ = ( +g ` S )
ismhm.q |- .+^ = ( +g ` T )
ismhm.z |- .0. = ( 0g ` S )
ismhm.y |- Y = ( 0g ` T )
Assertion
Ref Expression
ismhm |- ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, B   x, S, y   x, T, y   x, F, y
Allowed substitution hints:   C( x, y)   .+ ( x, y)   .+^ ( x, y)   Y( x, y)   .0. ( x, y)
Proof of Theorem ismhm
Dummy variables f s t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mhm 13766 . . 3 |- MndHom = ( s e. Mnd , t e. Mnd |-> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
21elmpocl 6284 . 2 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) )
3 fnmap 6929 . . . . . . 7 |- ^m Fn ( _V X. _V )
4 ismhm.c . . . . . . . 8 |- C = ( Base ` T )
5 basfn 13411 . . . . . . . . 9 |- Base Fn _V
6 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> T e. Mnd )
76elexd 2835 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> T e. _V )
8 funfvex 5712 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Base /\ T e. dom Base ) -> ( Base ` T ) e. _V )
98funfni 5483 . . . . . . . . 9 |- ( ( Base Fn _V /\ T e. _V ) -> ( Base ` T ) e. _V )
105, 7, 9sylancr 418 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( Base ` T ) e. _V )
114, 10eqeltrid 2325 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> C e. _V )
12 ismhm.b . . . . . . . 8 |- B = ( Base ` S )
13 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> S e. Mnd )
1413elexd 2835 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> S e. _V )
15 funfvex 5712 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
1615funfni 5483 . . . . . . . . 9 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
175, 14, 16sylancr 418 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( Base ` S ) e. _V )
1812, 17eqeltrid 2325 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> B e. _V )
19 fnovex 6118 . . . . . . 7 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ C e. _V /\ B e. _V ) -> ( C ^m B ) e. _V )
203, 11, 18, 19mp3an2i 1383 . . . . . 6 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( C ^m B ) e. _V )
21 rabexg 4279 . . . . . 6 |- ( ( C ^m B ) e. _V -> { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } e. _V )
2220, 21syl 14 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } e. _V )
23 fveq2 5695 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
2423, 4eqtr4di 2289 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = C )
25 fveq2 5695 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
2625, 12eqtr4di 2289 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = B )
2724, 26oveqan12rd 6105 . . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) = ( C ^m B ) )
2826adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( Base ` s ) = B )
29 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
30 ismhm.p . . . . . . . . . . . . . 14 |- .+ = ( +g ` S )
3129, 30eqtr4di 2289 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = .+ )
3231oveqd 6102 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( x ( +g ` s ) y ) = ( x .+ y ) )
3332fveq2d 5699 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( f ` ( x .+ y ) ) )
34 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
35 ismhm.q . . . . . . . . . . . . 13 |- .+^ = ( +g ` T )
3634, 35eqtr4di 2289 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = .+^ )
3736oveqd 6102 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = T -> ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) )
3833, 37eqeqan12d 2254 . . . . . . . . . 10 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) ) )
3928, 38raleqbidv 2765 . . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) ) )
4028, 39raleqbidv 2765 . . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) ) )
41 fveq2 5695 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( 0g ` s ) = ( 0g ` S ) )
42 ismhm.z . . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` S )
4341, 42eqtr4di 2289 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( 0g ` s ) = .0. )
4443fveq2d 5699 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( f ` .0. ) )
45 fveq2 5695 . . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( 0g ` t ) = ( 0g ` T ) )
46 ismhm.y . . . . . . . . . 10 |- Y = ( 0g ` T )
4745, 46eqtr4di 2289 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( 0g ` t ) = Y )
4844, 47eqeqan12d 2254 . . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) <-> ( f ` .0. ) = Y ) )
4940, 48anbi12d 477 . . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) ) )
5027, 49rabeqbidv 2816 . . . . . 6 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } = { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } )
5150, 1ovmpoga 6218 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd /\ { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } e. _V ) -> ( S MndHom T ) = { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } )
5222, 51mpd3an3 1379 . . . 4 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) = { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } )
5352eleq2d 2308 . . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( F e. ( S MndHom T ) <-> F e. { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } ) )
5411, 18elmapd 6936 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( F e. ( C ^m B ) <-> F : B --> C ) )
5554anbi1d 469 . . . 4 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( ( F e. ( C ^m B ) /\ ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) <-> ( F : B --> C /\ ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) ) )
56 fveq1 5694 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` ( x .+ y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
57 fveq1 5694 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
58 fveq1 5694 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` y ) = ( F ` y ) )
5957, 58oveq12d 6103 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
6056, 59eqeq12d 2253 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) <-> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
61602ralbidv 2574 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
62 fveq1 5694 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` .0. ) = ( F ` .0. ) )
6362eqeq1d 2247 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( f ` .0. ) = Y <-> ( F ` .0. ) = Y ) )
6461, 63anbi12d 477 . . . . 5 |- ( f = F -> ( ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
6564elrab 2982 . . . 4 |- ( F e. { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } <-> ( F e. ( C ^m B ) /\ ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
66 3anass 1013 . . . 4 |- ( ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) <-> ( F : B --> C /\ ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
6755, 65, 663bitr4g 223 . . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( F e. { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } <-> ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
6853, 67bitrd 188 . 2 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
692, 68biadanii 621 1 |- ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   X. cxp 4772   Fn wfn 5372   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ^m cmap 6922   Basecbs 13352   +g cplusg 13431   0gc0g 13610   Mndcmnd 13729   MndHom cmhm 13764
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-map 6924  df-inn 9305  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-mhm 13766
This theorem is used by:  mhmf  13772  mhmpropd  13773  mhmlin  13774  mhm0  13775  idmhm  13776  mhmf1o  13777  0mhm  13793  resmhm  13794  resmhm2  13795  resmhm2b  13796  mhmco  13797  mhmfmhm  13920  ghmmhm  14056  srglmhm  14297  srgrmhm  14298  dfrhm2  14461  isrhm2d  14472
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