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Theorem ismhm 13163
Description: Property of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismhm.b |- B = ( Base ` S )
ismhm.c |- C = ( Base ` T )
ismhm.p |- .+ = ( +g ` S )
ismhm.q |- .+^ = ( +g ` T )
ismhm.z |- .0. = ( 0g ` S )
ismhm.y |- Y = ( 0g ` T )
Assertion
Ref Expression
ismhm |- ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, B   x, S, y   x, T, y   x, F, y
Allowed substitution hints:   C( x, y)   .+ ( x, y)   .+^ ( x, y)   Y( x, y)   .0. ( x, y)
Proof of Theorem ismhm
Dummy variables f s t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mhm 13161 . . 3 |- MndHom = ( s e. Mnd , t e. Mnd |-> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } )
21elmpocl 6122 . 2 |- ( F e. ( S MndHom T ) -> ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) )
3 fnmap 6723 . . . . . . 7 |- ^m Fn ( _V X. _V )
4 ismhm.c . . . . . . . 8 |- C = ( Base ` T )
5 basfn 12761 . . . . . . . . 9 |- Base Fn _V
6 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> T e. Mnd )
76elexd 2776 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> T e. _V )
8 funfvex 5578 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Base /\ T e. dom Base ) -> ( Base ` T ) e. _V )
98funfni 5361 . . . . . . . . 9 |- ( ( Base Fn _V /\ T e. _V ) -> ( Base ` T ) e. _V )
105, 7, 9sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( Base ` T ) e. _V )
114, 10eqeltrid 2283 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> C e. _V )
12 ismhm.b . . . . . . . 8 |- B = ( Base ` S )
13 simpl 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> S e. Mnd )
1413elexd 2776 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> S e. _V )
15 funfvex 5578 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
1615funfni 5361 . . . . . . . . 9 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
175, 14, 16sylancr 414 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( Base ` S ) e. _V )
1812, 17eqeltrid 2283 . . . . . . 7 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> B e. _V )
19 fnovex 5958 . . . . . . 7 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ C e. _V /\ B e. _V ) -> ( C ^m B ) e. _V )
203, 11, 18, 19mp3an2i 1353 . . . . . 6 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( C ^m B ) e. _V )
21 rabexg 4177 . . . . . 6 |- ( ( C ^m B ) e. _V -> { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } e. _V )
2220, 21syl 14 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } e. _V )
23 fveq2 5561 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
2423, 4eqtr4di 2247 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = C )
25 fveq2 5561 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
2625, 12eqtr4di 2247 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = B )
2724, 26oveqan12rd 5945 . . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) = ( C ^m B ) )
2826adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( Base ` s ) = B )
29 fveq2 5561 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
30 ismhm.p . . . . . . . . . . . . . 14 |- .+ = ( +g ` S )
3129, 30eqtr4di 2247 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = .+ )
3231oveqd 5942 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( x ( +g ` s ) y ) = ( x .+ y ) )
3332fveq2d 5565 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( f ` ( x .+ y ) ) )
34 fveq2 5561 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
35 ismhm.q . . . . . . . . . . . . 13 |- .+^ = ( +g ` T )
3634, 35eqtr4di 2247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = .+^ )
3736oveqd 5942 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = T -> ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) )
3833, 37eqeqan12d 2212 . . . . . . . . . 10 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) ) )
3928, 38raleqbidv 2709 . . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) ) )
4028, 39raleqbidv 2709 . . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) ) )
41 fveq2 5561 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( 0g ` s ) = ( 0g ` S ) )
42 ismhm.z . . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` S )
4341, 42eqtr4di 2247 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( 0g ` s ) = .0. )
4443fveq2d 5565 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( f ` .0. ) )
45 fveq2 5561 . . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( 0g ` t ) = ( 0g ` T ) )
46 ismhm.y . . . . . . . . . 10 |- Y = ( 0g ` T )
4745, 46eqtr4di 2247 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( 0g ` t ) = Y )
4844, 47eqeqan12d 2212 . . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) <-> ( f ` .0. ) = Y ) )
4940, 48anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) ) )
5027, 49rabeqbidv 2758 . . . . . 6 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 0g ` s ) ) = ( 0g ` t ) ) } = { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } )
5150, 1ovmpoga 6056 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd /\ { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } e. _V ) -> ( S MndHom T ) = { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } )
5222, 51mpd3an3 1349 . . . 4 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( S MndHom T ) = { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } )
5352eleq2d 2266 . . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( F e. ( S MndHom T ) <-> F e. { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } ) )
5411, 18elmapd 6730 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( F e. ( C ^m B ) <-> F : B --> C ) )
5554anbi1d 465 . . . 4 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( ( F e. ( C ^m B ) /\ ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) <-> ( F : B --> C /\ ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) ) )
56 fveq1 5560 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` ( x .+ y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
57 fveq1 5560 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
58 fveq1 5560 . . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( f ` y ) = ( F ` y ) )
5957, 58oveq12d 5943 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
6056, 59eqeq12d 2211 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) <-> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
61602ralbidv 2521 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
62 fveq1 5560 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` .0. ) = ( F ` .0. ) )
6362eqeq1d 2205 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( f ` .0. ) = Y <-> ( F ` .0. ) = Y ) )
6461, 63anbi12d 473 . . . . 5 |- ( f = F -> ( ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) <-> ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
6564elrab 2920 . . . 4 |- ( F e. { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } <-> ( F e. ( C ^m B ) /\ ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
66 3anass 984 . . . 4 |- ( ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) <-> ( F : B --> C /\ ( A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
6755, 65, 663bitr4g 223 . . 3 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( F e. { f e. ( C ^m B ) | ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) /\ ( f ` .0. ) = Y ) } <-> ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
6853, 67bitrd 188 . 2 |- ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) -> ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
692, 68biadanii 613 1 |- ( F e. ( S MndHom T ) <-> ( ( S e. Mnd /\ T e. Mnd ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) /\ ( F ` .0. ) = Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   X. cxp 4662   Fn wfn 5254   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ^m cmap 6716   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   0gc0g 12958   Mndcmnd 13118   MndHom cmhm 13159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-inn 9008  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-mhm 13161
This theorem is referenced by:  mhmf  13167  mhmpropd  13168  mhmlin  13169  mhm0  13170  idmhm  13171  mhmf1o  13172  0mhm  13188  resmhm  13189  resmhm2  13190  resmhm2b  13191  mhmco  13192  mhmfmhm  13323  ghmmhm  13459  srglmhm  13625  srgrmhm  13626  dfrhm2  13786  isrhm2d  13797
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