Theorem mhmf1o 13552

Description: A monoid homomorphism is bijective iff its converse is also a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmf1o.b	|- B = ( Base ` R )
mhmf1o.c	|- C = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
mhmf1o	|- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( F : B -1-1-onto-> C <-> `' F e. ( S MndHom R ) ) )

Proof of Theorem mhmf1o

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmrcl2 13546	. . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> S e. Mnd )
2		mhmrcl1 13545	. . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> R e. Mnd )
3	1, 2	jca 306	. . . 4 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( S e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( S e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
5		f1ocnv 5596	. . . . . 6 |- ( F : B -1-1-onto-> C -> `' F : C -1-1-onto-> B )
6	5	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F : C -1-1-onto-> B )
7		f1of 5583	. . . . 5 |- ( `' F : C -1-1-onto-> B -> `' F : C --> B )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F : C --> B )
9		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> F e. ( R MndHom S ) )
10	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> `' F : C --> B )
11		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> x e. C )
12	10, 11	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` x ) e. B )
13		simprr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> y e. C )
14	10, 13	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` y ) e. B )
15		mhmf1o.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` R )
16		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
17		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
18	15, 16, 17	mhmlin 13549	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ ( `' F ` x ) e. B /\ ( `' F ` y ) e. B ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
19	9, 12, 14, 18	syl3anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
20		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> F : B -1-1-onto-> C )
21	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> F : B -1-1-onto-> C )
22		f1ocnvfv2 5918	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ x e. C ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
23	21, 11, 22	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
24		f1ocnvfv2 5918	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ y e. C ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
25	21, 13, 24	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
26	23, 25	oveq12d 6035	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
27	19, 26	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
28	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> R e. Mnd )
29	28	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> R e. Mnd )
30	15, 16	mndcl 13505	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ ( `' F ` x ) e. B /\ ( `' F ` y ) e. B ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B )
31	29, 12, 14, 30	syl3anc 1273	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B )
32		f1ocnvfv 5919	. . . . . . 7 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) )
33	21, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) )
34	27, 33	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) )
35	34	ralrimivva 2614	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) )
36		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
37		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
38	36, 37	mhm0 13550	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
39	38	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
40	39	eqcomd 2237	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( 0g ` S ) = ( F ` ( 0g ` R ) ) )
41	40	fveq2d 5643	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( `' F ` ( F ` ( 0g ` R ) ) ) )
42	15, 36	mndidcl 13512	. . . . . . . 8 |- ( R e. Mnd -> ( 0g ` R ) e. B )
43	2, 42	syl 14	. . . . . . 7 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( 0g ` R ) e. B )
44	43	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( 0g ` R ) e. B )
45		f1ocnvfv1 5917	. . . . . 6 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ ( 0g ` R ) e. B ) -> ( `' F ` ( F ` ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
46	20, 44, 45	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F ` ( F ` ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
47	41, 46	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` R ) )
48	8, 35, 47	3jca 1203	. . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F : C --> B /\ A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) /\ ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` R ) ) )
49		mhmf1o.c	. . . 4 |- C = ( Base ` S )
50	49, 15, 17, 16, 37, 36	ismhm 13543	. . 3 |- ( `' F e. ( S MndHom R ) <-> ( ( S e. Mnd /\ R e. Mnd ) /\ ( `' F : C --> B /\ A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) /\ ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
51	4, 48, 50	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F e. ( S MndHom R ) )
52	15, 49	mhmf 13547	. . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> F : B --> C )
53	52	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> F : B --> C )
54	53	ffnd 5483	. . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> F Fn B )
55	49, 15	mhmf 13547	. . . . 5 |- ( `' F e. ( S MndHom R ) -> `' F : C --> B )
56	55	adantl 277	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> `' F : C --> B )
57	56	ffnd 5483	. . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> `' F Fn C )
58		dff1o4 5591	. . 3 |- ( F : B -1-1-onto-> C <-> ( F Fn B /\ `' F Fn C ) )
59	54, 57, 58	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> F : B -1-1-onto-> C )
60	51, 59	impbida 600	1 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( F : B -1-1-onto-> C <-> `' F e. ( S MndHom R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   `'ccnv 4724   Fn wfn 5321   -->wf 5322   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   0gc0g 13338   Mndcmnd 13498   MndHom cmhm 13539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-map 6818  df-inn 9143  df-2 9201  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-mhm 13541

This theorem is referenced by:  rhmf1o  14181