Theorem mhmf1o 13725

Description: A monoid homomorphism is bijective iff its converse is also a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmf1o.b	|- B = ( Base ` R )
mhmf1o.c	|- C = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
mhmf1o	|- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( F : B -1-1-onto-> C <-> `' F e. ( S MndHom R ) ) )

Proof of Theorem mhmf1o

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmrcl2 13719	. . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> S e. Mnd )
2		mhmrcl1 13718	. . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> R e. Mnd )
3	1, 2	jca 306	. . . 4 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( S e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( S e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
5		f1ocnv 5632	. . . . . 6 |- ( F : B -1-1-onto-> C -> `' F : C -1-1-onto-> B )
6	5	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F : C -1-1-onto-> B )
7		f1of 5619	. . . . 5 |- ( `' F : C -1-1-onto-> B -> `' F : C --> B )
8	6, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F : C --> B )
9		simpll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> F e. ( R MndHom S ) )
10	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> `' F : C --> B )
11		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> x e. C )
12	10, 11	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` x ) e. B )
13		simprr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> y e. C )
14	10, 13	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` y ) e. B )
15		mhmf1o.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` R )
16		eqid 2234	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
17		eqid 2234	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
18	15, 16, 17	mhmlin 13722	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ ( `' F ` x ) e. B /\ ( `' F ` y ) e. B ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
19	9, 12, 14, 18	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
20		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> F : B -1-1-onto-> C )
21	20	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> F : B -1-1-onto-> C )
22		f1ocnvfv2 5957	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ x e. C ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
23	21, 11, 22	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
24		f1ocnvfv2 5957	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ y e. C ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
25	21, 13, 24	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
26	23, 25	oveq12d 6076	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
27	19, 26	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
28	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> R e. Mnd )
29	28	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> R e. Mnd )
30	15, 16	mndcl 13684	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ ( `' F ` x ) e. B /\ ( `' F ` y ) e. B ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B )
31	29, 12, 14, 30	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B )
32		f1ocnvfv 5958	. . . . . . 7 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) )
33	21, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) )
34	27, 33	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) )
35	34	ralrimivva 2626	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) )
36		eqid 2234	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
37		eqid 2234	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
38	36, 37	mhm0 13723	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
39	38	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
40	39	eqcomd 2240	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( 0g ` S ) = ( F ` ( 0g ` R ) ) )
41	40	fveq2d 5679	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( `' F ` ( F ` ( 0g ` R ) ) ) )
42	15, 36	mndidcl 13691	. . . . . . . 8 |- ( R e. Mnd -> ( 0g ` R ) e. B )
43	2, 42	syl 14	. . . . . . 7 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( 0g ` R ) e. B )
44	43	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( 0g ` R ) e. B )
45		f1ocnvfv1 5956	. . . . . 6 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ ( 0g ` R ) e. B ) -> ( `' F ` ( F ` ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
46	20, 44, 45	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F ` ( F ` ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
47	41, 46	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` R ) )
48	8, 35, 47	3jca 1204	. . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F : C --> B /\ A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) /\ ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` R ) ) )
49		mhmf1o.c	. . . 4 |- C = ( Base ` S )
50	49, 15, 17, 16, 37, 36	ismhm 13716	. . 3 |- ( `' F e. ( S MndHom R ) <-> ( ( S e. Mnd /\ R e. Mnd ) /\ ( `' F : C --> B /\ A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) /\ ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
51	4, 48, 50	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F e. ( S MndHom R ) )
52	15, 49	mhmf 13720	. . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> F : B --> C )
53	52	adantr 276	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> F : B --> C )
54	53	ffnd 5514	. . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> F Fn B )
55	49, 15	mhmf 13720	. . . . 5 |- ( `' F e. ( S MndHom R ) -> `' F : C --> B )
56	55	adantl 277	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> `' F : C --> B )
57	56	ffnd 5514	. . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> `' F Fn C )
58		dff1o4 5627	. . 3 |- ( F : B -1-1-onto-> C <-> ( F Fn B /\ `' F Fn C ) )
59	54, 57, 58	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> F : B -1-1-onto-> C )
60	51, 59	impbida 600	1 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( F : B -1-1-onto-> C <-> `' F e. ( S MndHom R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   `'ccnv 4753   Fn wfn 5352   -->wf 5353   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   0gc0g 13553   Mndcmnd 13677   MndHom cmhm 13712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-mhm 13714

This theorem is referenced by:  rhmf1o  14413