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Theorem mhmf1o 12722
Description: A monoid homomorphism is bijective iff its converse is also a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmf1o.b |- B = ( Base ` R )
mhmf1o.c |- C = ( Base ` S )
Assertion
Ref Expression
mhmf1o |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( F : B -1-1-onto-> C <-> `' F e. ( S MndHom R ) ) )
Proof of Theorem mhmf1o
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl2 12716 . . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> S e. Mnd )
2 mhmrcl1 12715 . . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> R e. Mnd )
31, 2jca 306 . . . 4 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( S e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
43adantr 276 . . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( S e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
5 f1ocnv 5466 . . . . . 6 |- ( F : B -1-1-onto-> C -> `' F : C -1-1-onto-> B )
65adantl 277 . . . . 5 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F : C -1-1-onto-> B )
7 f1of 5453 . . . . 5 |- ( `' F : C -1-1-onto-> B -> `' F : C --> B )
86, 7syl 14 . . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F : C --> B )
9 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> F e. ( R MndHom S ) )
108adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> `' F : C --> B )
11 simprl 529 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> x e. C )
1210, 11ffvelcdmd 5644 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` x ) e. B )
13 simprr 531 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> y e. C )
1410, 13ffvelcdmd 5644 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` y ) e. B )
15 mhmf1o.b . . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` R )
16 eqid 2175 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
17 eqid 2175 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
1815, 16, 17mhmlin 12719 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ ( `' F ` x ) e. B /\ ( `' F ` y ) e. B ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
199, 12, 14, 18syl3anc 1238 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
20 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> F : B -1-1-onto-> C )
2120adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> F : B -1-1-onto-> C )
22 f1ocnvfv2 5769 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ x e. C ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
2321, 11, 22syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
24 f1ocnvfv2 5769 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ y e. C ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
2521, 13, 24syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
2623, 25oveq12d 5883 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
2719, 26eqtrd 2208 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
282adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> R e. Mnd )
2928adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> R e. Mnd )
3015, 16mndcl 12688 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ ( `' F ` x ) e. B /\ ( `' F ` y ) e. B ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B )
3129, 12, 14, 30syl3anc 1238 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B )
32 f1ocnvfv 5770 . . . . . . 7 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) )
3321, 31, 32syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) )
3427, 33mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) )
3534ralrimivva 2557 . . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) )
36 eqid 2175 . . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
37 eqid 2175 . . . . . . . . 9 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
3836, 37mhm0 12720 . . . . . . . 8 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
3938adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
4039eqcomd 2181 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( 0g ` S ) = ( F ` ( 0g ` R ) ) )
4140fveq2d 5511 . . . . 5 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( `' F ` ( F ` ( 0g ` R ) ) ) )
4215, 36mndidcl 12695 . . . . . . . 8 |- ( R e. Mnd -> ( 0g ` R ) e. B )
432, 42syl 14 . . . . . . 7 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( 0g ` R ) e. B )
4443adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( 0g ` R ) e. B )
45 f1ocnvfv1 5768 . . . . . 6 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ ( 0g ` R ) e. B ) -> ( `' F ` ( F ` ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
4620, 44, 45syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F ` ( F ` ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
4741, 46eqtrd 2208 . . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` R ) )
488, 35, 473jca 1177 . . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F : C --> B /\ A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) /\ ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` R ) ) )
49 mhmf1o.c . . . 4 |- C = ( Base ` S )
5049, 15, 17, 16, 37, 36ismhm 12714 . . 3 |- ( `' F e. ( S MndHom R ) <-> ( ( S e. Mnd /\ R e. Mnd ) /\ ( `' F : C --> B /\ A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) /\ ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
514, 48, 50sylanbrc 417 . 2 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F e. ( S MndHom R ) )
5215, 49mhmf 12717 . . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> F : B --> C )
5352adantr 276 . . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> F : B --> C )
5453ffnd 5358 . . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> F Fn B )
5549, 15mhmf 12717 . . . . 5 |- ( `' F e. ( S MndHom R ) -> `' F : C --> B )
5655adantl 277 . . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> `' F : C --> B )
5756ffnd 5358 . . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> `' F Fn C )
58 dff1o4 5461 . . 3 |- ( F : B -1-1-onto-> C <-> ( F Fn B /\ `' F Fn C ) )
5954, 57, 58sylanbrc 417 . 2 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> F : B -1-1-onto-> C )
6051, 59impbida 596 1 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( F : B -1-1-onto-> C <-> `' F e. ( S MndHom R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   `'ccnv 4619   Fn wfn 5203   -->wf 5204   -1-1-onto->wf1o 5207   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Basecbs 12427   +g cplusg 12491   0gc0g 12625   Mndcmnd 12681   MndHom cmhm 12710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-map 6640  df-inn 8891  df-2 8949  df-ndx 12430  df-slot 12431  df-base 12433  df-plusg 12504  df-0g 12627  df-mgm 12639  df-sgrp 12672  df-mnd 12682  df-mhm 12712
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