ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mhmf1o Unicode version
Theorem mhmf1o 12866
Description: A monoid homomorphism is bijective iff its converse is also a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mhmf1o.b |- B = ( Base ` R )
mhmf1o.c |- C = ( Base ` S )
Assertion
Ref Expression
mhmf1o |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( F : B -1-1-onto-> C <-> `' F e. ( S MndHom R ) ) )
Proof of Theorem mhmf1o
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl2 12860 . . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> S e. Mnd )
2 mhmrcl1 12859 . . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> R e. Mnd )
31, 2jca 306 . . . 4 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( S e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
43adantr 276 . . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( S e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
5 f1ocnv 5476 . . . . . 6 |- ( F : B -1-1-onto-> C -> `' F : C -1-1-onto-> B )
65adantl 277 . . . . 5 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F : C -1-1-onto-> B )
7 f1of 5463 . . . . 5 |- ( `' F : C -1-1-onto-> B -> `' F : C --> B )
86, 7syl 14 . . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F : C --> B )
9 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> F e. ( R MndHom S ) )
108adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> `' F : C --> B )
11 simprl 529 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> x e. C )
1210, 11ffvelcdmd 5654 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` x ) e. B )
13 simprr 531 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> y e. C )
1410, 13ffvelcdmd 5654 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` y ) e. B )
15 mhmf1o.b . . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` R )
16 eqid 2177 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
17 eqid 2177 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
1815, 16, 17mhmlin 12863 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ ( `' F ` x ) e. B /\ ( `' F ` y ) e. B ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
199, 12, 14, 18syl3anc 1238 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
20 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> F : B -1-1-onto-> C )
2120adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> F : B -1-1-onto-> C )
22 f1ocnvfv2 5781 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ x e. C ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
2321, 11, 22syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
24 f1ocnvfv2 5781 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ y e. C ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
2521, 13, 24syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
2623, 25oveq12d 5895 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
2719, 26eqtrd 2210 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
282adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> R e. Mnd )
2928adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> R e. Mnd )
3015, 16mndcl 12829 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ ( `' F ` x ) e. B /\ ( `' F ` y ) e. B ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B )
3129, 12, 14, 30syl3anc 1238 . . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B )
32 f1ocnvfv 5782 . . . . . . 7 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) )
3321, 31, 32syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) )
3427, 33mpd 13 . . . . 5 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) )
3534ralrimivva 2559 . . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) )
36 eqid 2177 . . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
37 eqid 2177 . . . . . . . . 9 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
3836, 37mhm0 12864 . . . . . . . 8 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
3938adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
4039eqcomd 2183 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( 0g ` S ) = ( F ` ( 0g ` R ) ) )
4140fveq2d 5521 . . . . 5 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( `' F ` ( F ` ( 0g ` R ) ) ) )
4215, 36mndidcl 12836 . . . . . . . 8 |- ( R e. Mnd -> ( 0g ` R ) e. B )
432, 42syl 14 . . . . . . 7 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( 0g ` R ) e. B )
4443adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( 0g ` R ) e. B )
45 f1ocnvfv1 5780 . . . . . 6 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ ( 0g ` R ) e. B ) -> ( `' F ` ( F ` ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
4620, 44, 45syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F ` ( F ` ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
4741, 46eqtrd 2210 . . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` R ) )
488, 35, 473jca 1177 . . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F : C --> B /\ A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) /\ ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` R ) ) )
49 mhmf1o.c . . . 4 |- C = ( Base ` S )
5049, 15, 17, 16, 37, 36ismhm 12858 . . 3 |- ( `' F e. ( S MndHom R ) <-> ( ( S e. Mnd /\ R e. Mnd ) /\ ( `' F : C --> B /\ A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) /\ ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
514, 48, 50sylanbrc 417 . 2 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F e. ( S MndHom R ) )
5215, 49mhmf 12861 . . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> F : B --> C )
5352adantr 276 . . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> F : B --> C )
5453ffnd 5368 . . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> F Fn B )
5549, 15mhmf 12861 . . . . 5 |- ( `' F e. ( S MndHom R ) -> `' F : C --> B )
5655adantl 277 . . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> `' F : C --> B )
5756ffnd 5368 . . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> `' F Fn C )
58 dff1o4 5471 . . 3 |- ( F : B -1-1-onto-> C <-> ( F Fn B /\ `' F Fn C ) )
5954, 57, 58sylanbrc 417 . 2 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> F : B -1-1-onto-> C )
6051, 59impbida 596 1 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( F : B -1-1-onto-> C <-> `' F e. ( S MndHom R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   `'ccnv 4627   Fn wfn 5213   -->wf 5214   -1-1-onto->wf1o 5217   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   0gc0g 12710   Mndcmnd 12822   MndHom cmhm 12854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-mhm 12856
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator