Theorem mhmrcl1 13038

Description: Reverse closure of a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mhmrcl1	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Mnd)

Proof of Theorem mhmrcl1

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mhm 13034	. 2 ⊢ MndHom = (𝑠 ∈ Mnd, 𝑡 ∈ Mnd ↦ {𝑓 ∈ ((Base‘𝑡) ↑𝑚 (Base‘𝑠)) ∣ (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑠)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑠)(𝑓‘(𝑥(+g‘𝑠)𝑦)) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝑡)(𝑓‘𝑦)) ∧ (𝑓‘(0g‘𝑠)) = (0g‘𝑡))})
2	1	elmpocl1 6116	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) → 𝑆 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  {crab 2476  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919   ↑_𝑚 cmap 6704  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  0_gc0g 12870  Mndcmnd 13000   MndHom cmhm 13032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-mhm 13034

This theorem is referenced by:  mhmf1o  13045  resmhm2  13063  resmhm2b  13064  mhmco  13065  mhmeql  13067  gsumwmhm  13073  mhmmulg  13236