Theorem mnd32g 13533

Description: Commutative/associative law for monoids, with an explicit commutativity hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	|- B = ( Base ` G )
mndcl.p	|- .+ = ( +g ` G )
mnd4g.1	|- ( ph -> G e. Mnd )
mnd4g.2	|- ( ph -> X e. B )
mnd4g.3	|- ( ph -> Y e. B )
mnd4g.4	|- ( ph -> Z e. B )
mnd32g.5	|- ( ph -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )

Assertion

Ref	Expression
mnd32g	|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )

Proof of Theorem mnd32g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnd32g.5	. . 3 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
2	1	oveq2d 6039	. 2 |- ( ph -> ( X .+ ( Y .+ Z ) ) = ( X .+ ( Z .+ Y ) ) )
3		mnd4g.1	. . 3 |- ( ph -> G e. Mnd )
4		mnd4g.2	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
5		mnd4g.3	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
6		mnd4g.4	. . 3 |- ( ph -> Z e. B )
7		mndcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
8		mndcl.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
9	7, 8	mndass 13530	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1275	. 2 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )
11	7, 8	mndass 13530	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ ( X e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ Z ) .+ Y ) = ( X .+ ( Z .+ Y ) ) )
12	3, 4, 6, 5, 11	syl13anc 1275	. 2 |- ( ph -> ( ( X .+ Z ) .+ Y ) = ( X .+ ( Z .+ Y ) ) )
13	2, 10, 12	3eqtr4d 2273	1 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2201   ` cfv 5328  (class class class)co 6023   Basecbs 13105   +g cplusg 13183   Mndcmnd 13522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1re 8131  ax-addrcl 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-fv 5336  df-ov 6026  df-inn 9149  df-2 9207  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-sgrp 13508  df-mnd 13523

This theorem is referenced by:  cmn32  13914