Theorem mnd12g 12664

Description: Commutative/associative law for monoids, with an explicit commutativity hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	|- B = ( Base ` G )
mndcl.p	|- .+ = ( +g ` G )
mnd4g.1	|- ( ph -> G e. Mnd )
mnd4g.2	|- ( ph -> X e. B )
mnd4g.3	|- ( ph -> Y e. B )
mnd4g.4	|- ( ph -> Z e. B )
mnd12g.5	|- ( ph -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Assertion

Ref	Expression
mnd12g	|- ( ph -> ( X .+ ( Y .+ Z ) ) = ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )

Proof of Theorem mnd12g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnd12g.5	. . 3 |- ( ph -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
2	1	oveq1d 5868	. 2 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( Y .+ X ) .+ Z ) )
3		mnd4g.1	. . 3 |- ( ph -> G e. Mnd )
4		mnd4g.2	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
5		mnd4g.3	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
6		mnd4g.4	. . 3 |- ( ph -> Z e. B )
7		mndcl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
8		mndcl.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
9	7, 8	mndass 12660	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1235	. 2 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )
11	7, 8	mndass 12660	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ ( Y e. B /\ X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Y .+ X ) .+ Z ) = ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )
12	3, 5, 4, 6, 11	syl13anc 1235	. 2 |- ( ph -> ( ( Y .+ X ) .+ Z ) = ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )
13	2, 10, 12	3eqtr3d 2211	1 |- ( ph -> ( X .+ ( Y .+ Z ) ) = ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Basecbs 12416   +g cplusg 12480   Mndcmnd 12652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1re 7868  ax-addrcl 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206  df-ov 5856  df-inn 8879  df-2 8937  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-plusg 12493  df-sgrp 12643  df-mnd 12653

This theorem is referenced by:  mnd4g  12665