Theorem mndass 13654

Description: A monoid operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	|- B = ( Base ` G )
mndcl.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndass	|- ( ( G e. Mnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )

Proof of Theorem mndass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndsgrp 13651	. 2 |- ( G e. Mnd -> G e. Smgrp )
2		mndcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		mndcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	sgrpass 13638	. 2 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )
5	1, 4	sylan 283	1 |- ( ( G e. Mnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( X .+ ( Y .+ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   Basecbs 13229   +g cplusg 13307  Smgrpcsgrp 13631   Mndcmnd 13646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-ov 6055  df-inn 9240  df-2 9298  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-sgrp 13632  df-mnd 13647

This theorem is referenced by:  mnd32g  13657  mnd12g  13658  mnd4g  13659  issubmnd  13672  mndinvmod  13675  prdsmndd  13678  imasmnd  13683  grpass  13739  mhmmnd  13850  gsumfzreidx  14071  gsumfzmptfidmadd  14073  srgass  14132  ringass  14177  gfsumval  16879