ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mndass Unicode version

Theorem mndass 12779
Description: A monoid operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mndcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mndcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mndass  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem mndass
StepHypRef Expression
1 mndsgrp 12776 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  ->  G  e. Smgrp )
2 mndcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 mndcl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
42, 3sgrpass 12768 . 2  |-  ( ( G  e. Smgrp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  Y )  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) ) )
51, 4sylan 283 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Basecbs 12456   +g cplusg 12530  Smgrpcsgrp 12761   Mndcmnd 12771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-ov 5877  df-inn 8918  df-2 8976  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-sgrp 12762  df-mnd 12772
This theorem is referenced by:  mnd32g  12782  mnd12g  12783  mnd4g  12784  issubmnd  12797  mndinvmod  12800  grpass  12840  mhmmnd  12934  srgass  13107  ringass  13152
  Copyright terms: Public domain W3C validator