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Theorem exmidfodomrlemr 7264
Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidfodomrlemr |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> EXMID )
Distinct variable group:   x, f, y, z
Proof of Theorem exmidfodomrlemr
Dummy variables u w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1539 . . . . . . . . 9 |- F/ f ( E. z z e. y /\ y ~<_ x )
2 nfe1 1507 . . . . . . . . 9 |- F/ f E. f f : x -onto-> y
31, 2nfim 1583 . . . . . . . 8 |- F/ f ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
43nfal 1587 . . . . . . 7 |- F/ f A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
54nfal 1587 . . . . . 6 |- F/ f A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
6 nfv 1539 . . . . . 6 |- F/ f u C_ { (/) }
75, 6nfan 1576 . . . . 5 |- F/ f ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } )
8 nfv 1539 . . . . 5 |- F/ fDECID (/) e. u
9 simpl 109 . . . . . 6 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) )
10 p0ex 4218 . . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. _V
11 ssdomg 6834 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } e. _V -> ( u C_ { (/) } -> u ~<_ { (/) } ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( u C_ { (/) } -> u ~<_ { (/) } )
13 df1o2 6484 . . . . . . . . . . 11 |- 1o = { (/) }
1412, 13breqtrrdi 4072 . . . . . . . . . 10 |- ( u C_ { (/) } -> u ~<_ 1o )
15 1onn 6575 . . . . . . . . . . 11 |- 1o e. om
16 domrefg 6823 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1o e. om -> 1o ~<_ 1o )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- 1o ~<_ 1o
18 djudom 7154 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u ~<_ 1o /\ 1o ~<_ 1o ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) )
1914, 17, 18sylancl 413 . . . . . . . . 9 |- ( u C_ { (/) } -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) )
20 dju1p1e2 7259 . . . . . . . . 9 |- ( 1o ⊔ 1o ) ~~ 2o
21 domentr 6847 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) /\ ( 1o ⊔ 1o ) ~~ 2o ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
2219, 20, 21sylancl 413 . . . . . . . 8 |- ( u C_ { (/) } -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
2322adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
24 0lt1o 6495 . . . . . . . . 9 |- (/) e. 1o
25 djurcl 7113 . . . . . . . . 9 |- ( (/) e. 1o -> (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o )
27 elex2 2776 . . . . . . . 8 |- ( (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) -> E. z z e. ( u ⊔ 1o ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 |- E. z z e. ( u ⊔ 1o )
2923, 28jctil 312 . . . . . 6 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) )
30 vex 2763 . . . . . . . 8 |- u e. _V
31 djuex 7104 . . . . . . . 8 |- ( ( u e. _V /\ 1o e. om ) -> ( u ⊔ 1o ) e. _V )
3230, 15, 31mp2an 426 . . . . . . 7 |- ( u ⊔ 1o ) e. _V
33 2onn 6576 . . . . . . . 8 |- 2o e. om
34 breq2 4034 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 2o -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ 2o ) )
3534anbi2d 464 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = 2o -> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) <-> ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) ) )
36 foeq2 5474 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 2o -> ( f : x -onto-> y <-> f : 2o -onto-> y ) )
3736exbidv 1836 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = 2o -> ( E. f f : x -onto-> y <-> E. f f : 2o -onto-> y ) )
3835, 37imbi12d 234 . . . . . . . . . 10 |- ( x = 2o -> ( ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) <-> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
3938albidv 1835 . . . . . . . . 9 |- ( x = 2o -> ( A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) <-> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
4039spcgv 2848 . . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
4133, 40ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) )
42 eleq2 2257 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( z e. y <-> z e. ( u ⊔ 1o ) ) )
4342exbidv 1836 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( E. z z e. y <-> E. z z e. ( u ⊔ 1o ) ) )
44 breq1 4033 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( y ~<_ 2o <-> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) )
4543, 44anbi12d 473 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) <-> ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) ) )
46 foeq3 5475 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( f : 2o -onto-> y <-> f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
4746exbidv 1836 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( E. f f : 2o -onto-> y <-> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
4845, 47imbi12d 234 . . . . . . . 8 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) <-> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) ) )
4948spcgv 2848 . . . . . . 7 |- ( ( u ⊔ 1o ) e. _V -> ( A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) -> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) ) )
5032, 41, 49mpsyl 65 . . . . . 6 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
519, 29, 50sylc 62 . . . . 5 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) )
52 simpr 110 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inl ` (/) ) ) -> ( f ` (/) ) = (inl ` (/) ) )
53 fof 5477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
5453adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
55 elelsuc 4441 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) e. 1o -> (/) e. suc 1o )
5624, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. suc 1o
57 df-2o 6472 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o = suc 1o
5856, 57eleqtrri 2269 . . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. 2o
5958a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> (/) e. 2o )
6054, 59ffvelcdmd 5695 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> ( f ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
6160adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inl ` (/) ) ) -> ( f ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
6252, 61eqeltrrd 2271 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inl ` (/) ) ) -> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
63 0ex 4157 . . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
64 djulclb 7116 . . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. u <-> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( (/) e. u <-> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
6662, 65sylibr 134 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inl ` (/) ) ) -> (/) e. u )
6766orcd 734 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inl ` (/) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
68 df-dc 836 . . . . . . 7 |- (DECID (/) e. u <-> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
6967, 68sylibr 134 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inl ` (/) ) ) -> DECID (/) e. u )
70 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inl ` (/) ) ) -> ( f ` 1o ) = (inl ` (/) ) )
7154adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
72 1oex 6479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o e. _V
7372prid2 3726 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o e. { (/) , 1o }
74 df2o3 6485 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2o = { (/) , 1o }
7573, 74eleqtrri 2269 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. 2o
7675a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) -> 1o e. 2o )
7771, 76ffvelcdmd 5695 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) -> ( f ` 1o ) e. ( u ⊔ 1o ) )
7877adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inl ` (/) ) ) -> ( f ` 1o ) e. ( u ⊔ 1o ) )
7970, 78eqeltrrd 2271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inl ` (/) ) ) -> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
8079, 65sylibr 134 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inl ` (/) ) ) -> (/) e. u )
8180orcd 734 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inl ` (/) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
8281, 68sylibr 134 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inl ` (/) ) ) -> DECID (/) e. u )
83 simp-4r 542 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) )
84 djulcl 7112 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. u -> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
8584adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
86 foelrn 5796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) /\ (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) ) -> E. w e. 2o (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
8783, 85, 86syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> E. w e. 2o (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
88 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
89 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> w = (/) )
9089fveq2d 5559 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( f ` w ) = ( f ` (/) ) )
91 simp-5r 544 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
9288, 90, 913eqtrd 2230 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> (inl ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
93 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
94 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> w = 1o )
9594fveq2d 5559 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( f ` w ) = ( f ` 1o ) )
96 simp-4r 542 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) )
9793, 95, 963eqtrd 2230 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> (inl ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
98 elpri 3642 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. { (/) , 1o } -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
9998, 74eleq2s 2288 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. 2o -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
10099ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
10192, 97, 100mpjaodan 799 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> (inl ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
10287, 101rexlimddv 2616 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> (inl ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
103 djune 7139 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (/) e. _V /\ (/) e. _V ) -> (inl ` (/) ) =/= (inr ` (/) ) )
10463, 63, 103mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 |- (inl ` (/) ) =/= (inr ` (/) )
105104neii 2366 . . . . . . . . . . 11 |- -. (inl ` (/) ) = (inr ` (/) )
106105a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> -. (inl ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
107102, 106pm2.65da 662 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) -> -. (/) e. u )
108107olcd 735 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
109108, 68sylibr 134 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) -> DECID (/) e. u )
110 simplr 528 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> u C_ { (/) } )
111110, 13sseqtrrdi 3229 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> u C_ 1o )
112111adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) -> u C_ 1o )
113112, 77exmidfodomrlemeldju 7261 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) -> ( ( f ` 1o ) = (inl ` (/) ) \/ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) )
11482, 109, 113mpjaodan 799 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) -> DECID (/) e. u )
115111, 60exmidfodomrlemeldju 7261 . . . . . 6 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> ( ( f ` (/) ) = (inl ` (/) ) \/ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) )
11669, 114, 115mpjaodan 799 . . . . 5 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> DECID (/) e. u )
1177, 8, 51, 116exlimdd 1883 . . . 4 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> DECID (/) e. u )
118117ex 115 . . 3 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
119118alrimiv 1885 . 2 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. u ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
120 df-exmid 4225 . 2 |- (EXMID <-> A. u ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
121119, 120sylibr 134 1 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> EXMID )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   =/= wne 2364   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   C_ wss 3154   (/)c0 3447   {csn 3619   {cpr 3620   class class class wbr 4030  EXMIDwem 4224   suc csuc 4397   omcom 4623   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255   1oc1o 6464   2oc2o 6465   ~~ cen 6794   ~<_ cdom 6795   ⊔ cdju 7098  inlcinl 7106  inrcinr 7107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-exmid 4225  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-1o 6471  df-2o 6472  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-dju 7099  df-inl 7108  df-inr 7109  df-case 7145
This theorem is referenced by:  exmidfodomr  7266
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