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Theorem exmidfodomrlemr 7231
Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidfodomrlemr  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  -> EXMID )
Distinct variable group:    x, f, y, z

Proof of Theorem exmidfodomrlemr
Dummy variables  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1539 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )
2 nfe1 1507 . . . . . . . . 9  |-  F/ f E. f  f : x -onto-> y
31, 2nfim 1583 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )
43nfal 1587 . . . . . . 7  |-  F/ f A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )
54nfal 1587 . . . . . 6  |-  F/ f A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )
6 nfv 1539 . . . . . 6  |-  F/ f  u  C_  { (/) }
75, 6nfan 1576 . . . . 5  |-  F/ f ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )
8 nfv 1539 . . . . 5  |-  F/ fDECID  (/)  e.  u
9 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  ->  A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y ) )
10 p0ex 4206 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  _V
11 ssdomg 6804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
(/) }  e.  _V  ->  ( u  C_  { (/) }  ->  u  ~<_  { (/) } ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
C_  { (/) }  ->  u  ~<_  { (/) } )
13 df1o2 6454 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  =  { (/) }
1412, 13breqtrrdi 4060 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  { (/) }  ->  u  ~<_  1o )
15 1onn 6545 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  om
16 domrefg 6793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  ~<_  1o )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  1o  ~<_  1o
18 djudom 7122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  ~<_  1o  /\  1o  ~<_  1o )  ->  ( u 1o )  ~<_  ( 1o 1o ) )
1914, 17, 18sylancl 413 . . . . . . . . 9  |-  ( u 
C_  { (/) }  ->  ( u 1o )  ~<_  ( 1o 1o ) )
20 dju1p1e2 7226 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o 1o )  ~~  2o
21 domentr 6817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u 1o )  ~<_  ( 1o 1o )  /\  ( 1o 1o )  ~~  2o )  ->  ( u 1o )  ~<_  2o )
2219, 20, 21sylancl 413 . . . . . . . 8  |-  ( u 
C_  { (/) }  ->  ( u 1o )  ~<_  2o )
2322adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  ->  ( u 1o )  ~<_  2o )
24 0lt1o 6465 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  1o
25 djurcl 7081 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  1o  ->  (inr `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (inr `  (/) )  e.  ( u 1o )
27 elex2 2768 . . . . . . . 8  |-  ( (inr
`  (/) )  e.  ( u 1o )  ->  E. z 
z  e.  ( u 1o ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  E. z 
z  e.  ( u 1o )
2923, 28jctil 312 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  ->  ( E. z 
z  e.  ( u 1o )  /\  (
u 1o )  ~<_  2o ) )
30 vex 2755 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
31 djuex 7072 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  _V  /\  1o  e.  om )  -> 
( u 1o )  e.  _V )
3230, 15, 31mp2an 426 . . . . . . 7  |-  ( u 1o )  e.  _V
33 2onn 6546 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
34 breq2 4022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  2o  ->  (
y  ~<_  x  <->  y  ~<_  2o ) )
3534anbi2d 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  2o  ->  (
( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  <->  ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )
) )
36 foeq2 5454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  2o  ->  (
f : x -onto-> y  <-> 
f : 2o -onto-> y
) )
3736exbidv 1836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  2o  ->  ( E. f  f :
x -onto-> y  <->  E. f 
f : 2o -onto-> y
) )
3835, 37imbi12d 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  2o  ->  (
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  <->  ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> y ) ) )
3938albidv 1835 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  2o  ->  ( A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  <->  A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> y ) ) )
4039spcgv 2839 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> y ) ) )
4133, 40ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> y ) )
42 eleq2 2253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( z  e.  y  <->  z  e.  ( u 1o ) ) )
4342exbidv 1836 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( E. z 
z  e.  y  <->  E. z 
z  e.  ( u 1o ) ) )
44 breq1 4021 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( y  ~<_  2o  <->  ( u 1o )  ~<_  2o ) )
4543, 44anbi12d 473 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  <-> 
( E. z  z  e.  ( u 1o )  /\  ( u 1o )  ~<_  2o ) ) )
46 foeq3 5455 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( f : 2o -onto-> y  <->  f : 2o -onto-> ( u 1o ) ) )
4746exbidv 1836 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( E. f 
f : 2o -onto-> y  <->  E. f  f : 2o -onto->
( u 1o )
) )
4845, 47imbi12d 234 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f 
f : 2o -onto-> y
)  <->  ( ( E. z  z  e.  ( u 1o )  /\  (
u 1o )  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> ( u 1o ) ) ) )
4948spcgv 2839 . . . . . . 7  |-  ( ( u 1o )  e.  _V  ->  ( A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f 
f : 2o -onto-> y
)  ->  ( ( E. z  z  e.  ( u 1o )  /\  ( u 1o )  ~<_  2o )  ->  E. f 
f : 2o -onto-> (
u 1o ) ) ) )
5032, 41, 49mpsyl 65 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  ( ( E. z  z  e.  ( u 1o )  /\  ( u 1o )  ~<_  2o )  ->  E. f 
f : 2o -onto-> (
u 1o ) ) )
519, 29, 50sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  ->  E. f  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )
52 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> 
( f `  (/) )  =  (inl `  (/) ) )
53 fof 5457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : 2o -onto-> ( u 1o )  ->  f : 2o --> ( u 1o ) )
5453adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  f : 2o
--> ( u 1o )
)
55 elelsuc 4427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  1o  ->  (/)  e.  suc  1o )
5624, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  suc  1o
57 df-2o 6442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  suc  1o
5856, 57eleqtrri 2265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  2o
5958a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  (/)  e.  2o )
6054, 59ffvelcdmd 5673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  ( f `  (/) )  e.  ( u 1o ) )
6160adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> 
( f `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
6252, 61eqeltrrd 2267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> 
(inl `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
63 0ex 4145 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
64 djulclb 7084 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  u  <->  (inl
`  (/) )  e.  ( u 1o ) ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  u  <->  (inl `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
6662, 65sylibr 134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  ->  (/) 
e.  u )
6766orcd 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> 
( (/)  e.  u  \/ 
-.  (/)  e.  u ) )
68 df-dc 836 . . . . . . 7  |-  (DECID  (/)  e.  u  <->  (
(/)  e.  u  \/  -.  (/)  e.  u ) )
6967, 68sylibr 134 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> DECID  (/)  e.  u
)
70 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  (
f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )
7154adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  -> 
f : 2o --> ( u 1o ) )
72 1oex 6449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  _V
7372prid2 3714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
74 df2o3 6455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
7573, 74eleqtrri 2265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  2o
7675a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  ->  1o  e.  2o )
7771, 76ffvelcdmd 5673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  -> 
( f `  1o )  e.  ( u 1o ) )
7877adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  (
f `  1o )  e.  ( u 1o )
)
7970, 78eqeltrrd 2267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  (inl `  (/) )  e.  (
u 1o ) )
8079, 65sylibr 134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  (/)  e.  u
)
8180orcd 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  ( (/) 
e.  u  \/  -.  (/) 
e.  u ) )
8281, 68sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  -> DECID  (/)  e.  u )
83 simp-4r 542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  f : 2o -onto->
( u 1o )
)
84 djulcl 7080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  u  ->  (inl `  (/) )  e.  ( u 1o ) )
8584adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  (inl `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
86 foelrn 5774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : 2o -onto-> (
u 1o )  /\  (inl `  (/) )  e.  (
u 1o ) )  ->  E. w  e.  2o  (inl `  (/) )  =  ( f `  w ) )
8783, 85, 86syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  E. w  e.  2o  (inl `  (/) )  =  ( f `  w ) )
88 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) )
89 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  w  =  (/) )
9089fveq2d 5538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  ( f `
 w )  =  ( f `  (/) ) )
91 simp-5r 544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  ( f `
 (/) )  =  (inr
`  (/) ) )
9288, 90, 913eqtrd 2226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
93 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  (inl `  (/) )  =  (
f `  w )
)
94 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  w  =  1o )
9594fveq2d 5538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  (
f `  w )  =  ( f `  1o ) )
96 simp-4r 542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  (
f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )
9793, 95, 963eqtrd 2226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
98 elpri 3630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( w  =  (/)  \/  w  =  1o ) )
9998, 74eleq2s 2284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  2o  ->  (
w  =  (/)  \/  w  =  1o ) )
10099ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  ->  ( w  =  (/)  \/  w  =  1o ) )
10192, 97, 100mpjaodan 799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  ->  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
10287, 101rexlimddv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
103 djune 7107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/)  e.  _V )  ->  (inl `  (/) )  =/=  (inr `  (/) ) )
10463, 63, 103mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12  |-  (inl `  (/) )  =/=  (inr `  (/) )
105104neii 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) )
106105a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  -.  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
107102, 106pm2.65da 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  ->  -.  (/) 
e.  u )
108107olcd 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  ->  ( (/) 
e.  u  \/  -.  (/) 
e.  u ) )
109108, 68sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  -> DECID  (/)  e.  u )
110 simplr 528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  u  C_  { (/) } )
111110, 13sseqtrrdi 3219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  u  C_  1o )
112111adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  ->  u  C_  1o )
113112, 77exmidfodomrlemeldju 7228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  -> 
( ( f `  1o )  =  (inl `  (/) )  \/  (
f `  1o )  =  (inr `  (/) ) ) )
11482, 109, 113mpjaodan 799 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  -> DECID  (/)  e.  u
)
115111, 60exmidfodomrlemeldju 7228 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  ( (
f `  (/) )  =  (inl `  (/) )  \/  ( f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) ) )
11669, 114, 115mpjaodan 799 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  -> DECID  (/)  e.  u )
1177, 8, 51, 116exlimdd 1883 . . . 4  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  -> DECID  (/) 
e.  u )
118117ex 115 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  ( u  C_ 
{ (/) }  -> DECID  (/)  e.  u ) )
119118alrimiv 1885 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  A. u
( u  C_  { (/) }  -> DECID  (/) 
e.  u ) )
120 df-exmid 4213 . 2  |-  (EXMID  <->  A. u
( u  C_  { (/) }  -> DECID  (/) 
e.  u ) )
121119, 120sylibr 134 1  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  -> EXMID )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835   A.wal 1362    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160    =/= wne 2360   E.wrex 2469   _Vcvv 2752    C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3607   {cpr 3608   class class class wbr 4018  EXMIDwem 4212   suc csuc 4383   omcom 4607   -->wf 5231   -onto->wfo 5233   ` cfv 5235   1oc1o 6434   2oc2o 6435    ~~ cen 6764    ~<_ cdom 6765   ⊔ cdju 7066  inlcinl 7074  inrcinr 7075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-exmid 4213  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-1o 6441  df-2o 6442  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-dju 7067  df-inl 7076  df-inr 7077  df-case 7113
This theorem is referenced by:  exmidfodomr  7233
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