ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exmidfodomrlemr Unicode version

Theorem exmidfodomrlemr 7168
Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidfodomrlemr  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  -> EXMID )
Distinct variable group:    x, f, y, z

Proof of Theorem exmidfodomrlemr
Dummy variables  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1521 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )
2 nfe1 1489 . . . . . . . . 9  |-  F/ f E. f  f : x -onto-> y
31, 2nfim 1565 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )
43nfal 1569 . . . . . . 7  |-  F/ f A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )
54nfal 1569 . . . . . 6  |-  F/ f A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )
6 nfv 1521 . . . . . 6  |-  F/ f  u  C_  { (/) }
75, 6nfan 1558 . . . . 5  |-  F/ f ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )
8 nfv 1521 . . . . 5  |-  F/ fDECID  (/)  e.  u
9 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  ->  A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y ) )
10 p0ex 4172 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  _V
11 ssdomg 6753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
(/) }  e.  _V  ->  ( u  C_  { (/) }  ->  u  ~<_  { (/) } ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
C_  { (/) }  ->  u  ~<_  { (/) } )
13 df1o2 6406 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  =  { (/) }
1412, 13breqtrrdi 4029 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  { (/) }  ->  u  ~<_  1o )
15 1onn 6497 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  om
16 domrefg 6742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  ~<_  1o )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  1o  ~<_  1o
18 djudom 7067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  ~<_  1o  /\  1o  ~<_  1o )  ->  ( u 1o )  ~<_  ( 1o 1o ) )
1914, 17, 18sylancl 411 . . . . . . . . 9  |-  ( u 
C_  { (/) }  ->  ( u 1o )  ~<_  ( 1o 1o ) )
20 dju1p1e2 7163 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o 1o )  ~~  2o
21 domentr 6766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u 1o )  ~<_  ( 1o 1o )  /\  ( 1o 1o )  ~~  2o )  ->  ( u 1o )  ~<_  2o )
2219, 20, 21sylancl 411 . . . . . . . 8  |-  ( u 
C_  { (/) }  ->  ( u 1o )  ~<_  2o )
2322adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  ->  ( u 1o )  ~<_  2o )
24 0lt1o 6417 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  1o
25 djurcl 7026 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  1o  ->  (inr `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (inr `  (/) )  e.  ( u 1o )
27 elex2 2746 . . . . . . . 8  |-  ( (inr
`  (/) )  e.  ( u 1o )  ->  E. z 
z  e.  ( u 1o ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  E. z 
z  e.  ( u 1o )
2923, 28jctil 310 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  ->  ( E. z 
z  e.  ( u 1o )  /\  (
u 1o )  ~<_  2o ) )
30 vex 2733 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
31 djuex 7017 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  _V  /\  1o  e.  om )  -> 
( u 1o )  e.  _V )
3230, 15, 31mp2an 424 . . . . . . 7  |-  ( u 1o )  e.  _V
33 2onn 6498 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
34 breq2 3991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  2o  ->  (
y  ~<_  x  <->  y  ~<_  2o ) )
3534anbi2d 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  2o  ->  (
( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  <->  ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )
) )
36 foeq2 5415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  2o  ->  (
f : x -onto-> y  <-> 
f : 2o -onto-> y
) )
3736exbidv 1818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  2o  ->  ( E. f  f :
x -onto-> y  <->  E. f 
f : 2o -onto-> y
) )
3835, 37imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  2o  ->  (
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  <->  ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> y ) ) )
3938albidv 1817 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  2o  ->  ( A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  <->  A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> y ) ) )
4039spcgv 2817 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> y ) ) )
4133, 40ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> y ) )
42 eleq2 2234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( z  e.  y  <->  z  e.  ( u 1o ) ) )
4342exbidv 1818 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( E. z 
z  e.  y  <->  E. z 
z  e.  ( u 1o ) ) )
44 breq1 3990 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( y  ~<_  2o  <->  ( u 1o )  ~<_  2o ) )
4543, 44anbi12d 470 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  <-> 
( E. z  z  e.  ( u 1o )  /\  ( u 1o )  ~<_  2o ) ) )
46 foeq3 5416 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( f : 2o -onto-> y  <->  f : 2o -onto-> ( u 1o ) ) )
4746exbidv 1818 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( E. f 
f : 2o -onto-> y  <->  E. f  f : 2o -onto->
( u 1o )
) )
4845, 47imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f 
f : 2o -onto-> y
)  <->  ( ( E. z  z  e.  ( u 1o )  /\  (
u 1o )  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> ( u 1o ) ) ) )
4948spcgv 2817 . . . . . . 7  |-  ( ( u 1o )  e.  _V  ->  ( A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f 
f : 2o -onto-> y
)  ->  ( ( E. z  z  e.  ( u 1o )  /\  ( u 1o )  ~<_  2o )  ->  E. f 
f : 2o -onto-> (
u 1o ) ) ) )
5032, 41, 49mpsyl 65 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  ( ( E. z  z  e.  ( u 1o )  /\  ( u 1o )  ~<_  2o )  ->  E. f 
f : 2o -onto-> (
u 1o ) ) )
519, 29, 50sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  ->  E. f  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )
52 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> 
( f `  (/) )  =  (inl `  (/) ) )
53 fof 5418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : 2o -onto-> ( u 1o )  ->  f : 2o --> ( u 1o ) )
5453adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  f : 2o
--> ( u 1o )
)
55 elelsuc 4392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  1o  ->  (/)  e.  suc  1o )
5624, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  suc  1o
57 df-2o 6394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  suc  1o
5856, 57eleqtrri 2246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  2o
5958a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  (/)  e.  2o )
6054, 59ffvelrnd 5630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  ( f `  (/) )  e.  ( u 1o ) )
6160adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> 
( f `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
6252, 61eqeltrrd 2248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> 
(inl `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
63 0ex 4114 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
64 djulclb 7029 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  u  <->  (inl
`  (/) )  e.  ( u 1o ) ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  u  <->  (inl `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
6662, 65sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  ->  (/) 
e.  u )
6766orcd 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> 
( (/)  e.  u  \/ 
-.  (/)  e.  u ) )
68 df-dc 830 . . . . . . 7  |-  (DECID  (/)  e.  u  <->  (
(/)  e.  u  \/  -.  (/)  e.  u ) )
6967, 68sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> DECID  (/)  e.  u
)
70 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  (
f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )
7154adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  -> 
f : 2o --> ( u 1o ) )
72 1oex 6401 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  _V
7372prid2 3688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
74 df2o3 6407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
7573, 74eleqtrri 2246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  2o
7675a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  ->  1o  e.  2o )
7771, 76ffvelrnd 5630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  -> 
( f `  1o )  e.  ( u 1o ) )
7877adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  (
f `  1o )  e.  ( u 1o )
)
7970, 78eqeltrrd 2248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  (inl `  (/) )  e.  (
u 1o ) )
8079, 65sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  (/)  e.  u
)
8180orcd 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  ( (/) 
e.  u  \/  -.  (/) 
e.  u ) )
8281, 68sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  -> DECID  (/)  e.  u )
83 simp-4r 537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  f : 2o -onto->
( u 1o )
)
84 djulcl 7025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  u  ->  (inl `  (/) )  e.  ( u 1o ) )
8584adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  (inl `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
86 foelrn 5730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : 2o -onto-> (
u 1o )  /\  (inl `  (/) )  e.  (
u 1o ) )  ->  E. w  e.  2o  (inl `  (/) )  =  ( f `  w ) )
8783, 85, 86syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  E. w  e.  2o  (inl `  (/) )  =  ( f `  w ) )
88 simplrr 531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) )
89 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  w  =  (/) )
9089fveq2d 5498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  ( f `
 w )  =  ( f `  (/) ) )
91 simp-5r 539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  ( f `
 (/) )  =  (inr
`  (/) ) )
9288, 90, 913eqtrd 2207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
93 simplrr 531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  (inl `  (/) )  =  (
f `  w )
)
94 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  w  =  1o )
9594fveq2d 5498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  (
f `  w )  =  ( f `  1o ) )
96 simp-4r 537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  (
f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )
9793, 95, 963eqtrd 2207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
98 elpri 3604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( w  =  (/)  \/  w  =  1o ) )
9998, 74eleq2s 2265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  2o  ->  (
w  =  (/)  \/  w  =  1o ) )
10099ad2antrl 487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  ->  ( w  =  (/)  \/  w  =  1o ) )
10192, 97, 100mpjaodan 793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  ->  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
10287, 101rexlimddv 2592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
103 djune 7052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/)  e.  _V )  ->  (inl `  (/) )  =/=  (inr `  (/) ) )
10463, 63, 103mp2an 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  (inl `  (/) )  =/=  (inr `  (/) )
105104neii 2342 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) )
106105a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  -.  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
107102, 106pm2.65da 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  ->  -.  (/) 
e.  u )
108107olcd 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  ->  ( (/) 
e.  u  \/  -.  (/) 
e.  u ) )
109108, 68sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  -> DECID  (/)  e.  u )
110 simplr 525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  u  C_  { (/) } )
111110, 13sseqtrrdi 3196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  u  C_  1o )
112111adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  ->  u  C_  1o )
113112, 77exmidfodomrlemeldju 7165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  -> 
( ( f `  1o )  =  (inl `  (/) )  \/  (
f `  1o )  =  (inr `  (/) ) ) )
11482, 109, 113mpjaodan 793 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  -> DECID  (/)  e.  u
)
115111, 60exmidfodomrlemeldju 7165 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  ( (
f `  (/) )  =  (inl `  (/) )  \/  ( f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) ) )
11669, 114, 115mpjaodan 793 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  -> DECID  (/)  e.  u )
1177, 8, 51, 116exlimdd 1865 . . . 4  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  -> DECID  (/) 
e.  u )
118117ex 114 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  ( u  C_ 
{ (/) }  -> DECID  (/)  e.  u ) )
119118alrimiv 1867 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  A. u
( u  C_  { (/) }  -> DECID  (/) 
e.  u ) )
120 df-exmid 4179 . 2  |-  (EXMID  <->  A. u
( u  C_  { (/) }  -> DECID  (/) 
e.  u ) )
121119, 120sylibr 133 1  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  -> EXMID )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703  DECID wdc 829   A.wal 1346    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141    =/= wne 2340   E.wrex 2449   _Vcvv 2730    C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3581   {cpr 3582   class class class wbr 3987  EXMIDwem 4178   suc csuc 4348   omcom 4572   -->wf 5192   -onto->wfo 5194   ` cfv 5196   1oc1o 6386   2oc2o 6387    ~~ cen 6713    ~<_ cdom 6714   ⊔ cdju 7011  inlcinl 7019  inrcinr 7020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-exmid 4179  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-1o 6393  df-2o 6394  df-er 6510  df-en 6716  df-dom 6717  df-dju 7012  df-inl 7021  df-inr 7022  df-case 7058
This theorem is referenced by:  exmidfodomr  7170
  Copyright terms: Public domain W3C validator