ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exmidfodomrlemr Unicode version

Theorem exmidfodomrlemr 7063
Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidfodomrlemr  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  -> EXMID )
Distinct variable group:    x, f, y, z

Proof of Theorem exmidfodomrlemr
Dummy variables  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1508 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )
2 nfe1 1472 . . . . . . . . 9  |-  F/ f E. f  f : x -onto-> y
31, 2nfim 1551 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )
43nfal 1555 . . . . . . 7  |-  F/ f A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )
54nfal 1555 . . . . . 6  |-  F/ f A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )
6 nfv 1508 . . . . . 6  |-  F/ f  u  C_  { (/) }
75, 6nfan 1544 . . . . 5  |-  F/ f ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )
8 nfv 1508 . . . . 5  |-  F/ fDECID  (/)  e.  u
9 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  ->  A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y ) )
10 p0ex 4112 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  _V
11 ssdomg 6672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
(/) }  e.  _V  ->  ( u  C_  { (/) }  ->  u  ~<_  { (/) } ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
C_  { (/) }  ->  u  ~<_  { (/) } )
13 df1o2 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  =  { (/) }
1412, 13breqtrrdi 3970 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  { (/) }  ->  u  ~<_  1o )
15 1onn 6416 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  om
16 domrefg 6661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  ~<_  1o )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  1o  ~<_  1o
18 djudom 6978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  ~<_  1o  /\  1o  ~<_  1o )  ->  ( u 1o )  ~<_  ( 1o 1o ) )
1914, 17, 18sylancl 409 . . . . . . . . 9  |-  ( u 
C_  { (/) }  ->  ( u 1o )  ~<_  ( 1o 1o ) )
20 dju1p1e2 7058 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o 1o )  ~~  2o
21 domentr 6685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u 1o )  ~<_  ( 1o 1o )  /\  ( 1o 1o )  ~~  2o )  ->  ( u 1o )  ~<_  2o )
2219, 20, 21sylancl 409 . . . . . . . 8  |-  ( u 
C_  { (/) }  ->  ( u 1o )  ~<_  2o )
2322adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  ->  ( u 1o )  ~<_  2o )
24 0lt1o 6337 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  1o
25 djurcl 6937 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  1o  ->  (inr `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (inr `  (/) )  e.  ( u 1o )
27 elex2 2702 . . . . . . . 8  |-  ( (inr
`  (/) )  e.  ( u 1o )  ->  E. z 
z  e.  ( u 1o ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  E. z 
z  e.  ( u 1o )
2923, 28jctil 310 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  ->  ( E. z 
z  e.  ( u 1o )  /\  (
u 1o )  ~<_  2o ) )
30 vex 2689 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
31 djuex 6928 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  _V  /\  1o  e.  om )  -> 
( u 1o )  e.  _V )
3230, 15, 31mp2an 422 . . . . . . 7  |-  ( u 1o )  e.  _V
33 2onn 6417 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
34 breq2 3933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  2o  ->  (
y  ~<_  x  <->  y  ~<_  2o ) )
3534anbi2d 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  2o  ->  (
( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  <->  ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )
) )
36 foeq2 5342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  2o  ->  (
f : x -onto-> y  <-> 
f : 2o -onto-> y
) )
3736exbidv 1797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  2o  ->  ( E. f  f :
x -onto-> y  <->  E. f 
f : 2o -onto-> y
) )
3835, 37imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  2o  ->  (
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  <->  ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> y ) ) )
3938albidv 1796 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  2o  ->  ( A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  <->  A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> y ) ) )
4039spcgv 2773 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> y ) ) )
4133, 40ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> y ) )
42 eleq2 2203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( z  e.  y  <->  z  e.  ( u 1o ) ) )
4342exbidv 1797 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( E. z 
z  e.  y  <->  E. z 
z  e.  ( u 1o ) ) )
44 breq1 3932 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( y  ~<_  2o  <->  ( u 1o )  ~<_  2o ) )
4543, 44anbi12d 464 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  <-> 
( E. z  z  e.  ( u 1o )  /\  ( u 1o )  ~<_  2o ) ) )
46 foeq3 5343 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( f : 2o -onto-> y  <->  f : 2o -onto-> ( u 1o ) ) )
4746exbidv 1797 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( E. f 
f : 2o -onto-> y  <->  E. f  f : 2o -onto->
( u 1o )
) )
4845, 47imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f 
f : 2o -onto-> y
)  <->  ( ( E. z  z  e.  ( u 1o )  /\  (
u 1o )  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> ( u 1o ) ) ) )
4948spcgv 2773 . . . . . . 7  |-  ( ( u 1o )  e.  _V  ->  ( A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f 
f : 2o -onto-> y
)  ->  ( ( E. z  z  e.  ( u 1o )  /\  ( u 1o )  ~<_  2o )  ->  E. f 
f : 2o -onto-> (
u 1o ) ) ) )
5032, 41, 49mpsyl 65 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  ( ( E. z  z  e.  ( u 1o )  /\  ( u 1o )  ~<_  2o )  ->  E. f 
f : 2o -onto-> (
u 1o ) ) )
519, 29, 50sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  ->  E. f  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )
52 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> 
( f `  (/) )  =  (inl `  (/) ) )
53 fof 5345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : 2o -onto-> ( u 1o )  ->  f : 2o --> ( u 1o ) )
5453adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  f : 2o
--> ( u 1o )
)
55 elelsuc 4331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  1o  ->  (/)  e.  suc  1o )
5624, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  suc  1o
57 df-2o 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  suc  1o
5856, 57eleqtrri 2215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  2o
5958a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  (/)  e.  2o )
6054, 59ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  ( f `  (/) )  e.  ( u 1o ) )
6160adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> 
( f `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
6252, 61eqeltrrd 2217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> 
(inl `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
63 0ex 4055 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
64 djulclb 6940 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  u  <->  (inl
`  (/) )  e.  ( u 1o ) ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  u  <->  (inl `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
6662, 65sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  ->  (/) 
e.  u )
6766orcd 722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> 
( (/)  e.  u  \/ 
-.  (/)  e.  u ) )
68 df-dc 820 . . . . . . 7  |-  (DECID  (/)  e.  u  <->  (
(/)  e.  u  \/  -.  (/)  e.  u ) )
6967, 68sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> DECID  (/)  e.  u
)
70 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  (
f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )
7154adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  -> 
f : 2o --> ( u 1o ) )
72 1oex 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  _V
7372prid2 3630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
74 df2o3 6327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
7573, 74eleqtrri 2215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  2o
7675a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  ->  1o  e.  2o )
7771, 76ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  -> 
( f `  1o )  e.  ( u 1o ) )
7877adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  (
f `  1o )  e.  ( u 1o )
)
7970, 78eqeltrrd 2217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  (inl `  (/) )  e.  (
u 1o ) )
8079, 65sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  (/)  e.  u
)
8180orcd 722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  ( (/) 
e.  u  \/  -.  (/) 
e.  u ) )
8281, 68sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  -> DECID  (/)  e.  u )
83 simp-4r 531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  f : 2o -onto->
( u 1o )
)
84 djulcl 6936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  u  ->  (inl `  (/) )  e.  ( u 1o ) )
8584adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  (inl `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
86 foelrn 5654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : 2o -onto-> (
u 1o )  /\  (inl `  (/) )  e.  (
u 1o ) )  ->  E. w  e.  2o  (inl `  (/) )  =  ( f `  w ) )
8783, 85, 86syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  E. w  e.  2o  (inl `  (/) )  =  ( f `  w ) )
88 simplrr 525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) )
89 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  w  =  (/) )
9089fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  ( f `
 w )  =  ( f `  (/) ) )
91 simp-5r 533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  ( f `
 (/) )  =  (inr
`  (/) ) )
9288, 90, 913eqtrd 2176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
93 simplrr 525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  (inl `  (/) )  =  (
f `  w )
)
94 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  w  =  1o )
9594fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  (
f `  w )  =  ( f `  1o ) )
96 simp-4r 531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  (
f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )
9793, 95, 963eqtrd 2176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
98 elpri 3550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( w  =  (/)  \/  w  =  1o ) )
9998, 74eleq2s 2234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  2o  ->  (
w  =  (/)  \/  w  =  1o ) )
10099ad2antrl 481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  ->  ( w  =  (/)  \/  w  =  1o ) )
10192, 97, 100mpjaodan 787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  ->  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
10287, 101rexlimddv 2554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
103 djune 6963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/)  e.  _V )  ->  (inl `  (/) )  =/=  (inr `  (/) ) )
10463, 63, 103mp2an 422 . . . . . . . . . . . 12  |-  (inl `  (/) )  =/=  (inr `  (/) )
105104neii 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) )
106105a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  -.  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
107102, 106pm2.65da 650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  ->  -.  (/) 
e.  u )
108107olcd 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  ->  ( (/) 
e.  u  \/  -.  (/) 
e.  u ) )
109108, 68sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  -> DECID  (/)  e.  u )
110 simplr 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  u  C_  { (/) } )
111110, 13sseqtrrdi 3146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  u  C_  1o )
112111adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  ->  u  C_  1o )
113112, 77exmidfodomrlemeldju 7060 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  -> 
( ( f `  1o )  =  (inl `  (/) )  \/  (
f `  1o )  =  (inr `  (/) ) ) )
11482, 109, 113mpjaodan 787 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  -> DECID  (/)  e.  u
)
115111, 60exmidfodomrlemeldju 7060 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  ( (
f `  (/) )  =  (inl `  (/) )  \/  ( f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) ) )
11669, 114, 115mpjaodan 787 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  -> DECID  (/)  e.  u )
1177, 8, 51, 116exlimdd 1844 . . . 4  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  -> DECID  (/) 
e.  u )
118117ex 114 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  ( u  C_ 
{ (/) }  -> DECID  (/)  e.  u ) )
119118alrimiv 1846 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  A. u
( u  C_  { (/) }  -> DECID  (/) 
e.  u ) )
120 df-exmid 4119 . 2  |-  (EXMID  <->  A. u
( u  C_  { (/) }  -> DECID  (/) 
e.  u ) )
121119, 120sylibr 133 1  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  -> EXMID )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697  DECID wdc 819   A.wal 1329    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480    =/= wne 2308   E.wrex 2417   _Vcvv 2686    C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   {cpr 3528   class class class wbr 3929  EXMIDwem 4118   suc csuc 4287   omcom 4504   -->wf 5119   -onto->wfo 5121   ` cfv 5123   1oc1o 6306   2oc2o 6307    ~~ cen 6632    ~<_ cdom 6633   ⊔ cdju 6922  inlcinl 6930  inrcinr 6931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-exmid 4119  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-case 6969
This theorem is referenced by:  exmidfodomr  7065
  Copyright terms: Public domain W3C validator