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Theorem exmidfodomrlemr 7179
Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidfodomrlemr |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> EXMID )
Distinct variable group:   x, f, y, z
Proof of Theorem exmidfodomrlemr
Dummy variables u w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1521 . . . . . . . . 9 |- F/ f ( E. z z e. y /\ y ~<_ x )
2 nfe1 1489 . . . . . . . . 9 |- F/ f E. f f : x -onto-> y
31, 2nfim 1565 . . . . . . . 8 |- F/ f ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
43nfal 1569 . . . . . . 7 |- F/ f A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
54nfal 1569 . . . . . 6 |- F/ f A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
6 nfv 1521 . . . . . 6 |- F/ f u C_ { (/) }
75, 6nfan 1558 . . . . 5 |- F/ f ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } )
8 nfv 1521 . . . . 5 |- F/ fDECID (/) e. u
9 simpl 108 . . . . . 6 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) )
10 p0ex 4174 . . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. _V
11 ssdomg 6756 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } e. _V -> ( u C_ { (/) } -> u ~<_ { (/) } ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( u C_ { (/) } -> u ~<_ { (/) } )
13 df1o2 6408 . . . . . . . . . . 11 |- 1o = { (/) }
1412, 13breqtrrdi 4031 . . . . . . . . . 10 |- ( u C_ { (/) } -> u ~<_ 1o )
15 1onn 6499 . . . . . . . . . . 11 |- 1o e. om
16 domrefg 6745 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1o e. om -> 1o ~<_ 1o )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 |- 1o ~<_ 1o
18 djudom 7070 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u ~<_ 1o /\ 1o ~<_ 1o ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) )
1914, 17, 18sylancl 411 . . . . . . . . 9 |- ( u C_ { (/) } -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) )
20 dju1p1e2 7174 . . . . . . . . 9 |- ( 1o ⊔ 1o ) ~~ 2o
21 domentr 6769 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) /\ ( 1o ⊔ 1o ) ~~ 2o ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
2219, 20, 21sylancl 411 . . . . . . . 8 |- ( u C_ { (/) } -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
2322adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
24 0lt1o 6419 . . . . . . . . 9 |- (/) e. 1o
25 djurcl 7029 . . . . . . . . 9 |- ( (/) e. 1o -> (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o )
27 elex2 2746 . . . . . . . 8 |- ( (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) -> E. z z e. ( u ⊔ 1o ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 |- E. z z e. ( u ⊔ 1o )
2923, 28jctil 310 . . . . . 6 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) )
30 vex 2733 . . . . . . . 8 |- u e. _V
31 djuex 7020 . . . . . . . 8 |- ( ( u e. _V /\ 1o e. om ) -> ( u ⊔ 1o ) e. _V )
3230, 15, 31mp2an 424 . . . . . . 7 |- ( u ⊔ 1o ) e. _V
33 2onn 6500 . . . . . . . 8 |- 2o e. om
34 breq2 3993 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 2o -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ 2o ) )
3534anbi2d 461 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = 2o -> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) <-> ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) ) )
36 foeq2 5417 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 2o -> ( f : x -onto-> y <-> f : 2o -onto-> y ) )
3736exbidv 1818 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = 2o -> ( E. f f : x -onto-> y <-> E. f f : 2o -onto-> y ) )
3835, 37imbi12d 233 . . . . . . . . . 10 |- ( x = 2o -> ( ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) <-> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
3938albidv 1817 . . . . . . . . 9 |- ( x = 2o -> ( A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) <-> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
4039spcgv 2817 . . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
4133, 40ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) )
42 eleq2 2234 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( z e. y <-> z e. ( u ⊔ 1o ) ) )
4342exbidv 1818 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( E. z z e. y <-> E. z z e. ( u ⊔ 1o ) ) )
44 breq1 3992 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( y ~<_ 2o <-> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) )
4543, 44anbi12d 470 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) <-> ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) ) )
46 foeq3 5418 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( f : 2o -onto-> y <-> f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
4746exbidv 1818 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( E. f f : 2o -onto-> y <-> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
4845, 47imbi12d 233 . . . . . . . 8 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) <-> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) ) )
4948spcgv 2817 . . . . . . 7 |- ( ( u ⊔ 1o ) e. _V -> ( A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) -> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) ) )
5032, 41, 49mpsyl 65 . . . . . 6 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
519, 29, 50sylc 62 . . . . 5 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) )
52 simpr 109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inl ` (/) ) ) -> ( f ` (/) ) = (inl ` (/) ) )
53 fof 5420 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
5453adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
55 elelsuc 4394 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) e. 1o -> (/) e. suc 1o )
5624, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. suc 1o
57 df-2o 6396 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o = suc 1o
5856, 57eleqtrri 2246 . . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. 2o
5958a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> (/) e. 2o )
6054, 59ffvelrnd 5632 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> ( f ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
6160adantr 274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inl ` (/) ) ) -> ( f ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
6252, 61eqeltrrd 2248 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inl ` (/) ) ) -> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
63 0ex 4116 . . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
64 djulclb 7032 . . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. u <-> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) ) )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( (/) e. u <-> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
6662, 65sylibr 133 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inl ` (/) ) ) -> (/) e. u )
6766orcd 728 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inl ` (/) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
68 df-dc 830 . . . . . . 7 |- (DECID (/) e. u <-> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
6967, 68sylibr 133 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inl ` (/) ) ) -> DECID (/) e. u )
70 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inl ` (/) ) ) -> ( f ` 1o ) = (inl ` (/) ) )
7154adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
72 1oex 6403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o e. _V
7372prid2 3690 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o e. { (/) , 1o }
74 df2o3 6409 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2o = { (/) , 1o }
7573, 74eleqtrri 2246 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. 2o
7675a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) -> 1o e. 2o )
7771, 76ffvelrnd 5632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) -> ( f ` 1o ) e. ( u ⊔ 1o ) )
7877adantr 274 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inl ` (/) ) ) -> ( f ` 1o ) e. ( u ⊔ 1o ) )
7970, 78eqeltrrd 2248 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inl ` (/) ) ) -> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
8079, 65sylibr 133 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inl ` (/) ) ) -> (/) e. u )
8180orcd 728 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inl ` (/) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
8281, 68sylibr 133 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inl ` (/) ) ) -> DECID (/) e. u )
83 simp-4r 537 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) )
84 djulcl 7028 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. u -> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
8584adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
86 foelrn 5732 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) /\ (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) ) -> E. w e. 2o (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
8783, 85, 86syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> E. w e. 2o (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
88 simplrr 531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
89 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> w = (/) )
9089fveq2d 5500 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( f ` w ) = ( f ` (/) ) )
91 simp-5r 539 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
9288, 90, 913eqtrd 2207 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> (inl ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
93 simplrr 531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
94 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> w = 1o )
9594fveq2d 5500 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( f ` w ) = ( f ` 1o ) )
96 simp-4r 537 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) )
9793, 95, 963eqtrd 2207 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> (inl ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
98 elpri 3606 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. { (/) , 1o } -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
9998, 74eleq2s 2265 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. 2o -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
10099ad2antrl 487 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
10192, 97, 100mpjaodan 793 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> (inl ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
10287, 101rexlimddv 2592 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> (inl ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
103 djune 7055 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (/) e. _V /\ (/) e. _V ) -> (inl ` (/) ) =/= (inr ` (/) ) )
10463, 63, 103mp2an 424 . . . . . . . . . . . 12 |- (inl ` (/) ) =/= (inr ` (/) )
105104neii 2342 . . . . . . . . . . 11 |- -. (inl ` (/) ) = (inr ` (/) )
106105a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> -. (inl ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
107102, 106pm2.65da 656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) -> -. (/) e. u )
108107olcd 729 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
109108, 68sylibr 133 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) -> DECID (/) e. u )
110 simplr 525 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> u C_ { (/) } )
111110, 13sseqtrrdi 3196 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> u C_ 1o )
112111adantr 274 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) -> u C_ 1o )
113112, 77exmidfodomrlemeldju 7176 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) -> ( ( f ` 1o ) = (inl ` (/) ) \/ ( f ` 1o ) = (inr ` (/) ) ) )
11482, 109, 113mpjaodan 793 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) -> DECID (/) e. u )
115111, 60exmidfodomrlemeldju 7176 . . . . . 6 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> ( ( f ` (/) ) = (inl ` (/) ) \/ ( f ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) )
11669, 114, 115mpjaodan 793 . . . . 5 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> DECID (/) e. u )
1177, 8, 51, 116exlimdd 1865 . . . 4 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> DECID (/) e. u )
118117ex 114 . . 3 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
119118alrimiv 1867 . 2 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. u ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
120 df-exmid 4181 . 2 |- (EXMID <-> A. u ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
121119, 120sylibr 133 1 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> EXMID )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   =/= wne 2340   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   {cpr 3584   class class class wbr 3989  EXMIDwem 4180   suc csuc 4350   omcom 4574   -->wf 5194   -onto->wfo 5196   ` cfv 5198   1oc1o 6388   2oc2o 6389   ~~ cen 6716   ~<_ cdom 6717   ⊔ cdju 7014  inlcinl 7022  inrcinr 7023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-exmid 4181  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025  df-case 7061
This theorem is referenced by:  exmidfodomr  7181
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