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Theorem exmidfodomrlemr 6775
Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidfodomrlemr  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  -> EXMID )
Distinct variable group:    x, f, y, z

Proof of Theorem exmidfodomrlemr
Dummy variables  u  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1464 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )
2 nfe1 1428 . . . . . . . . 9  |-  F/ f E. f  f : x -onto-> y
31, 2nfim 1507 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )
43nfal 1511 . . . . . . 7  |-  F/ f A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )
54nfal 1511 . . . . . 6  |-  F/ f A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )
6 nfv 1464 . . . . . 6  |-  F/ f  u  C_  { (/) }
75, 6nfan 1500 . . . . 5  |-  F/ f ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )
8 nfv 1464 . . . . 5  |-  F/ fDECID  (/)  e.  u
9 simpl 107 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  ->  A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y ) )
10 p0ex 3999 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  _V
11 ssdomg 6449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
(/) }  e.  _V  ->  ( u  C_  { (/) }  ->  u  ~<_  { (/) } ) )
1210, 11ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
C_  { (/) }  ->  u  ~<_  { (/) } )
13 df1o2 6150 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  =  { (/) }
1412, 13syl6breqr 3862 . . . . . . . . . 10  |-  ( u 
C_  { (/) }  ->  u  ~<_  1o )
15 1onn 6233 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  om
16 domrefg 6438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  ~<_  1o )
1715, 16ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  |-  1o  ~<_  1o
18 djudom 6734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  ~<_  1o  /\  1o  ~<_  1o )  ->  ( u 1o )  ~<_  ( 1o 1o ) )
1914, 17, 18sylancl 404 . . . . . . . . 9  |-  ( u 
C_  { (/) }  ->  ( u 1o )  ~<_  ( 1o 1o ) )
20 dju1p1e2 6770 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o 1o )  ~~  2o
21 domentr 6462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u 1o )  ~<_  ( 1o 1o )  /\  ( 1o 1o )  ~~  2o )  ->  ( u 1o )  ~<_  2o )
2219, 20, 21sylancl 404 . . . . . . . 8  |-  ( u 
C_  { (/) }  ->  ( u 1o )  ~<_  2o )
2322adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  ->  ( u 1o )  ~<_  2o )
24 0lt1o 6160 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  1o
25 djurcl 6691 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  1o  ->  (inr `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
2624, 25ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  (inr `  (/) )  e.  ( u 1o )
27 elex2 2629 . . . . . . . 8  |-  ( (inr
`  (/) )  e.  ( u 1o )  ->  E. z 
z  e.  ( u 1o ) )
2826, 27ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  E. z 
z  e.  ( u 1o )
2923, 28jctil 305 . . . . . 6  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  ->  ( E. z 
z  e.  ( u 1o )  /\  (
u 1o )  ~<_  2o ) )
30 vex 2618 . . . . . . . 8  |-  u  e. 
_V
31 djuex 6683 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  _V  /\  1o  e.  om )  -> 
( u 1o )  e.  _V )
3230, 15, 31mp2an 417 . . . . . . 7  |-  ( u 1o )  e.  _V
33 2onn 6234 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
34 breq2 3826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  2o  ->  (
y  ~<_  x  <->  y  ~<_  2o ) )
3534anbi2d 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  2o  ->  (
( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  <->  ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )
) )
36 foeq2 5195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  2o  ->  (
f : x -onto-> y  <-> 
f : 2o -onto-> y
) )
3736exbidv 1750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  2o  ->  ( E. f  f :
x -onto-> y  <->  E. f 
f : 2o -onto-> y
) )
3835, 37imbi12d 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  2o  ->  (
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  <->  ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> y ) ) )
3938albidv 1749 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  2o  ->  ( A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  <->  A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> y ) ) )
4039spcgv 2699 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> y ) ) )
4133, 40ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> y ) )
42 eleq2 2148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( z  e.  y  <->  z  e.  ( u 1o ) ) )
4342exbidv 1750 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( E. z 
z  e.  y  <->  E. z 
z  e.  ( u 1o ) ) )
44 breq1 3825 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( y  ~<_  2o  <->  ( u 1o )  ~<_  2o ) )
4543, 44anbi12d 457 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  <-> 
( E. z  z  e.  ( u 1o )  /\  ( u 1o )  ~<_  2o ) ) )
46 foeq3 5196 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( f : 2o -onto-> y  <->  f : 2o -onto-> ( u 1o ) ) )
4746exbidv 1750 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( E. f 
f : 2o -onto-> y  <->  E. f  f : 2o -onto->
( u 1o )
) )
4845, 47imbi12d 232 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( u 1o )  ->  ( ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f 
f : 2o -onto-> y
)  <->  ( ( E. z  z  e.  ( u 1o )  /\  (
u 1o )  ~<_  2o )  ->  E. f  f : 2o -onto-> ( u 1o ) ) ) )
4948spcgv 2699 . . . . . . 7  |-  ( ( u 1o )  e.  _V  ->  ( A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  2o )  ->  E. f 
f : 2o -onto-> y
)  ->  ( ( E. z  z  e.  ( u 1o )  /\  ( u 1o )  ~<_  2o )  ->  E. f 
f : 2o -onto-> (
u 1o ) ) ) )
5032, 41, 49mpsyl 64 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  ( ( E. z  z  e.  ( u 1o )  /\  ( u 1o )  ~<_  2o )  ->  E. f 
f : 2o -onto-> (
u 1o ) ) )
519, 29, 50sylc 61 . . . . 5  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  ->  E. f  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )
52 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> 
( f `  (/) )  =  (inl `  (/) ) )
53 fof 5198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : 2o -onto-> ( u 1o )  ->  f : 2o --> ( u 1o ) )
5453adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  f : 2o
--> ( u 1o )
)
55 elelsuc 4212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  e.  1o  ->  (/)  e.  suc  1o )
5624, 55ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  suc  1o
57 df-2o 6138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  suc  1o
5856, 57eleqtrri 2160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  e.  2o
5958a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  (/)  e.  2o )
6054, 59ffvelrnd 5400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  ( f `  (/) )  e.  ( u 1o ) )
6160adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> 
( f `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
6252, 61eqeltrrd 2162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> 
(inl `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
63 0ex 3943 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
64 djulclb 6694 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  u  <->  (inl
`  (/) )  e.  ( u 1o ) ) )
6563, 64ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  u  <->  (inl `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
6662, 65sylibr 132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  ->  (/) 
e.  u )
6766orcd 685 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> 
( (/)  e.  u  \/ 
-.  (/)  e.  u ) )
68 df-dc 779 . . . . . . 7  |-  (DECID  (/)  e.  u  <->  (
(/)  e.  u  \/  -.  (/)  e.  u ) )
6967, 68sylibr 132 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inl
`  (/) ) )  -> DECID  (/)  e.  u
)
70 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  (
f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )
7154adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  -> 
f : 2o --> ( u 1o ) )
72 1oex 6145 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  _V
7372prid2 3534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  {
(/) ,  1o }
74 df2o3 6151 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
7573, 74eleqtrri 2160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  2o
7675a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  ->  1o  e.  2o )
7771, 76ffvelrnd 5400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  -> 
( f `  1o )  e.  ( u 1o ) )
7877adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  (
f `  1o )  e.  ( u 1o )
)
7970, 78eqeltrrd 2162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  (inl `  (/) )  e.  (
u 1o ) )
8079, 65sylibr 132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  (/)  e.  u
)
8180orcd 685 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  ->  ( (/) 
e.  u  \/  -.  (/) 
e.  u ) )
8281, 68sylibr 132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inl `  (/) ) )  -> DECID  (/)  e.  u )
83 simp-4r 509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  f : 2o -onto->
( u 1o )
)
84 djulcl 6690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  e.  u  ->  (inl `  (/) )  e.  ( u 1o ) )
8584adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  (inl `  (/) )  e.  ( u 1o )
)
86 foelrn 5494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : 2o -onto-> (
u 1o )  /\  (inl `  (/) )  e.  (
u 1o ) )  ->  E. w  e.  2o  (inl `  (/) )  =  ( f `  w ) )
8783, 85, 86syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  E. w  e.  2o  (inl `  (/) )  =  ( f `  w ) )
88 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) )
89 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  w  =  (/) )
9089fveq2d 5274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  ( f `
 w )  =  ( f `  (/) ) )
91 simp-5r 511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  ( f `
 (/) )  =  (inr
`  (/) ) )
9288, 90, 913eqtrd 2121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  (/) )  ->  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
93 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  (inl `  (/) )  =  (
f `  w )
)
94 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  w  =  1o )
9594fveq2d 5274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  (
f `  w )  =  ( f `  1o ) )
96 simp-4r 509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  (
f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )
9793, 95, 963eqtrd 2121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  /\  w  =  1o )  ->  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
98 elpri 3454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  { (/) ,  1o }  ->  ( w  =  (/)  \/  w  =  1o ) )
9998, 74eleq2s 2179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  2o  ->  (
w  =  (/)  \/  w  =  1o ) )
10099ad2antrl 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  ->  ( w  =  (/)  \/  w  =  1o ) )
10192, 97, 100mpjaodan 745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  /\  ( w  e.  2o  /\  (inl `  (/) )  =  ( f `
 w ) ) )  ->  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
10287, 101rexlimddv 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
103 djune 6716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (/)  e.  _V )  ->  (inl `  (/) )  =/=  (inr `  (/) ) )
10463, 63, 103mp2an 417 . . . . . . . . . . . 12  |-  (inl `  (/) )  =/=  (inr `  (/) )
105104neii 2253 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) )
106105a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  /\  (/)  e.  u )  ->  -.  (inl `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )
107102, 106pm2.65da 620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  ->  -.  (/) 
e.  u )
108107olcd 686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  ->  ( (/) 
e.  u  \/  -.  (/) 
e.  u ) )
109108, 68sylibr 132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  /\  u  C_  {
(/) } )  /\  f : 2o -onto-> ( u 1o ) )  /\  (
f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) )  /\  ( f `  1o )  =  (inr `  (/) ) )  -> DECID  (/)  e.  u )
110 simplr 497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  u  C_  { (/) } )
111110, 13syl6sseqr 3062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  u  C_  1o )
112111adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  ->  u  C_  1o )
113112, 77exmidfodomrlemeldju 6772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  -> 
( ( f `  1o )  =  (inl `  (/) )  \/  (
f `  1o )  =  (inr `  (/) ) ) )
11482, 109, 113mpjaodan 745 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  /\  ( f `  (/) )  =  (inr
`  (/) ) )  -> DECID  (/)  e.  u
)
115111, 60exmidfodomrlemeldju 6772 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  ->  ( (
f `  (/) )  =  (inl `  (/) )  \/  ( f `  (/) )  =  (inr `  (/) ) ) )
11669, 114, 115mpjaodan 745 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f : x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  /\  f : 2o -onto->
( u 1o )
)  -> DECID  (/)  e.  u )
1177, 8, 51, 116exlimdd 1797 . . . 4  |-  ( ( A. x A. y
( ( E. z 
z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f  f :
x -onto-> y )  /\  u  C_  { (/) } )  -> DECID  (/) 
e.  u )
118117ex 113 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  ( u  C_ 
{ (/) }  -> DECID  (/)  e.  u ) )
119118alrimiv 1799 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  ->  A. u
( u  C_  { (/) }  -> DECID  (/) 
e.  u ) )
120 df-exmid 4006 . 2  |-  (EXMID  <->  A. u
( u  C_  { (/) }  -> DECID  (/) 
e.  u ) )
121119, 120sylibr 132 1  |-  ( A. x A. y ( ( E. z  z  e.  y  /\  y  ~<_  x )  ->  E. f 
f : x -onto-> y )  -> EXMID )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662  DECID wdc 778   A.wal 1285    = wceq 1287   E.wex 1424    e. wcel 1436    =/= wne 2251   E.wrex 2356   _Vcvv 2615    C_ wss 2988   (/)c0 3275   {csn 3431   {cpr 3432   class class class wbr 3822  EXMIDwem 4005   suc csuc 4168   omcom 4380   -->wf 4979   -onto->wfo 4981   ` cfv 4983   1oc1o 6130   2oc2o 6131    ~~ cen 6409    ~<_ cdom 6410   ⊔ cdju 6677  inlcinl 6684  inrcinr 6685
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-exmid 4006  df-id 4096  df-iord 4169  df-on 4171  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-1o 6137  df-2o 6138  df-er 6246  df-en 6412  df-dom 6413  df-dju 6678  df-inl 6686  df-inr 6687  df-case 6722
This theorem is referenced by:  exmidfodomr  6777
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