Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exmidfodomrlemr Unicode version

Theorem exmidfodomrlemr 7063
 Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidfodomrlemr EXMID
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem exmidfodomrlemr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1508 . . . . . . . . 9
2 nfe1 1472 . . . . . . . . 9
31, 2nfim 1551 . . . . . . . 8
43nfal 1555 . . . . . . 7
54nfal 1555 . . . . . 6
6 nfv 1508 . . . . . 6
75, 6nfan 1544 . . . . 5
8 nfv 1508 . . . . 5 DECID
9 simpl 108 . . . . . 6
10 p0ex 4112 . . . . . . . . . . . 12
11 ssdomg 6672 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
13 df1o2 6326 . . . . . . . . . . 11
1412, 13breqtrrdi 3970 . . . . . . . . . 10
15 1onn 6416 . . . . . . . . . . 11
16 domrefg 6661 . . . . . . . . . . 11
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
18 djudom 6978 . . . . . . . . . 10
1914, 17, 18sylancl 409 . . . . . . . . 9
20 dju1p1e2 7058 . . . . . . . . 9
21 domentr 6685 . . . . . . . . 9
2219, 20, 21sylancl 409 . . . . . . . 8
2322adantl 275 . . . . . . 7
24 0lt1o 6337 . . . . . . . . 9
25 djurcl 6937 . . . . . . . . 9 inr
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 inr
27 elex2 2702 . . . . . . . 8 inr
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7
2923, 28jctil 310 . . . . . 6
30 vex 2689 . . . . . . . 8
31 djuex 6928 . . . . . . . 8
3230, 15, 31mp2an 422 . . . . . . 7
33 2onn 6417 . . . . . . . 8
34 breq2 3933 . . . . . . . . . . . 12
3534anbi2d 459 . . . . . . . . . . 11
36 foeq2 5342 . . . . . . . . . . . 12
3736exbidv 1797 . . . . . . . . . . 11
3835, 37imbi12d 233 . . . . . . . . . 10
3938albidv 1796 . . . . . . . . 9
4039spcgv 2773 . . . . . . . 8
4133, 40ax-mp 5 . . . . . . 7
42 eleq2 2203 . . . . . . . . . . 11
4342exbidv 1797 . . . . . . . . . 10
44 breq1 3932 . . . . . . . . . 10
4543, 44anbi12d 464 . . . . . . . . 9
46 foeq3 5343 . . . . . . . . . 10
4746exbidv 1797 . . . . . . . . 9
4845, 47imbi12d 233 . . . . . . . 8
4948spcgv 2773 . . . . . . 7
5032, 41, 49mpsyl 65 . . . . . 6
519, 29, 50sylc 62 . . . . 5
52 simpr 109 . . . . . . . . . 10 inl inl
53 fof 5345 . . . . . . . . . . . . 13
5453adantl 275 . . . . . . . . . . . 12
55 elelsuc 4331 . . . . . . . . . . . . . . 15
5624, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
57 df-2o 6314 . . . . . . . . . . . . . 14
5856, 57eleqtrri 2215 . . . . . . . . . . . . 13
5958a1i 9 . . . . . . . . . . . 12
6054, 59ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . . 11
6160adantr 274 . . . . . . . . . 10 inl
6252, 61eqeltrrd 2217 . . . . . . . . 9 inl inl
63 0ex 4055 . . . . . . . . . 10
64 djulclb 6940 . . . . . . . . . 10 inl
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9 inl
6662, 65sylibr 133 . . . . . . . 8 inl
6766orcd 722 . . . . . . 7 inl
68 df-dc 820 . . . . . . 7 DECID
6967, 68sylibr 133 . . . . . 6 inl DECID
70 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 inr inl inl
7154adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 inr
72 1oex 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7372prid2 3630 . . . . . . . . . . . . . . 15
74 df2o3 6327 . . . . . . . . . . . . . . 15
7573, 74eleqtrri 2215 . . . . . . . . . . . . . 14
7675a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 inr
7771, 76ffvelrnd 5556 . . . . . . . . . . . 12 inr
7877adantr 274 . . . . . . . . . . 11 inr inl
7970, 78eqeltrrd 2217 . . . . . . . . . 10 inr inl inl
8079, 65sylibr 133 . . . . . . . . 9 inr inl
8180orcd 722 . . . . . . . 8 inr inl
8281, 68sylibr 133 . . . . . . 7 inr inl DECID
83 simp-4r 531 . . . . . . . . . . . 12 inr inr
84 djulcl 6936 . . . . . . . . . . . . 13 inl
8584adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 inr inr inl
86 foelrn 5654 . . . . . . . . . . . 12 inl inl
8783, 85, 86syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11 inr inr inl
88 simplrr 525 . . . . . . . . . . . . 13 inr inr inl inl
89 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 inr inr inl
9089fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . 13 inr inr inl
91 simp-5r 533 . . . . . . . . . . . . 13 inr inr inl inr
9288, 90, 913eqtrd 2176 . . . . . . . . . . . 12 inr inr inl inl inr
93 simplrr 525 . . . . . . . . . . . . 13 inr inr inl inl
94 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 inr inr inl
9594fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . 13 inr inr inl
96 simp-4r 531 . . . . . . . . . . . . 13 inr inr inl inr
9793, 95, 963eqtrd 2176 . . . . . . . . . . . 12 inr inr inl inl inr
98 elpri 3550 . . . . . . . . . . . . . 14
9998, 74eleq2s 2234 . . . . . . . . . . . . 13
10099ad2antrl 481 . . . . . . . . . . . 12 inr inr inl
10192, 97, 100mpjaodan 787 . . . . . . . . . . 11 inr inr inl inl inr
10287, 101rexlimddv 2554 . . . . . . . . . 10 inr inr inl inr
103 djune 6963 . . . . . . . . . . . . 13 inl inr
10463, 63, 103mp2an 422 . . . . . . . . . . . 12 inl inr
105104neii 2310 . . . . . . . . . . 11 inl inr
106105a1i 9 . . . . . . . . . 10 inr inr inl inr
107102, 106pm2.65da 650 . . . . . . . . 9 inr inr
108107olcd 723 . . . . . . . 8 inr inr
109108, 68sylibr 133 . . . . . . 7 inr inr DECID
110 simplr 519 . . . . . . . . . 10
111110, 13sseqtrrdi 3146 . . . . . . . . 9
112111adantr 274 . . . . . . . 8 inr
113112, 77exmidfodomrlemeldju 7060 . . . . . . 7 inr inl inr
11482, 109, 113mpjaodan 787 . . . . . 6 inr DECID
115111, 60exmidfodomrlemeldju 7060 . . . . . 6 inl inr
11669, 114, 115mpjaodan 787 . . . . 5 DECID
1177, 8, 51, 116exlimdd 1844 . . . 4 DECID
118117ex 114 . . 3 DECID
119118alrimiv 1846 . 2 DECID
120 df-exmid 4119 . 2 EXMID DECID
121119, 120sylibr 133 1 EXMID
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 697  DECID wdc 819  wal 1329   wceq 1331  wex 1468   wcel 1480   wne 2308  wrex 2417  cvv 2686   wss 3071  c0 3363  csn 3527  cpr 3528   class class class wbr 3929  EXMIDwem 4118   csuc 4287  com 4504  wf 5119  wfo 5121  cfv 5123  c1o 6306  c2o 6307   cen 6632   cdom 6633   ⊔ cdju 6922  inlcinl 6930  inrcinr 6931 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-exmid 4119  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-case 6969 This theorem is referenced by:  exmidfodomr  7065
 Copyright terms: Public domain W3C validator