Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exmidfodomrlemrALT Unicode version

Theorem exmidfodomrlemrALT 7075
 Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. An alternative proof of exmidfodomrlemr 7074. In particular, this proof uses eldju 6960 instead of djur 6961 and avoids djulclb 6947. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
exmidfodomrlemrALT EXMID
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem exmidfodomrlemrALT
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1509 . . . . . . . . 9
2 nfe1 1473 . . . . . . . . 9
31, 2nfim 1552 . . . . . . . 8
43nfal 1556 . . . . . . 7
54nfal 1556 . . . . . 6
6 nfv 1509 . . . . . 6
75, 6nfan 1545 . . . . 5
8 nfv 1509 . . . . 5 DECID
9 simpl 108 . . . . . 6
10 p0ex 4119 . . . . . . . . . . . 12
11 ssdomg 6679 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
13 df1o2 6333 . . . . . . . . . . 11
1412, 13breqtrrdi 3977 . . . . . . . . . 10
15 1onn 6423 . . . . . . . . . . 11
16 domrefg 6668 . . . . . . . . . . 11
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
18 djudom 6985 . . . . . . . . . 10
1914, 17, 18sylancl 410 . . . . . . . . 9
20 dju1p1e2 7069 . . . . . . . . 9
21 domentr 6692 . . . . . . . . 9
2219, 20, 21sylancl 410 . . . . . . . 8
2322adantl 275 . . . . . . 7
24 0lt1o 6344 . . . . . . . . 9
25 djurcl 6944 . . . . . . . . 9 inr
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 inr
27 elex2 2705 . . . . . . . 8 inr
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7
2923, 28jctil 310 . . . . . 6
30 vex 2692 . . . . . . . 8
31 djuex 6935 . . . . . . . 8
3230, 15, 31mp2an 423 . . . . . . 7
33 2onn 6424 . . . . . . . 8
34 breq2 3940 . . . . . . . . . . . 12
3534anbi2d 460 . . . . . . . . . . 11
36 foeq2 5349 . . . . . . . . . . . 12
3736exbidv 1798 . . . . . . . . . . 11
3835, 37imbi12d 233 . . . . . . . . . 10
3938albidv 1797 . . . . . . . . 9
4039spcgv 2776 . . . . . . . 8
4133, 40ax-mp 5 . . . . . . 7
42 eleq2 2204 . . . . . . . . . . 11
4342exbidv 1798 . . . . . . . . . 10
44 breq1 3939 . . . . . . . . . 10
4543, 44anbi12d 465 . . . . . . . . 9
46 foeq3 5350 . . . . . . . . . 10
4746exbidv 1798 . . . . . . . . 9
4845, 47imbi12d 233 . . . . . . . 8
4948spcgv 2776 . . . . . . 7
5032, 41, 49mpsyl 65 . . . . . 6
519, 29, 50sylc 62 . . . . 5
52 simprl 521 . . . . . . . 8 inl
5352orcd 723 . . . . . . 7 inl
54 df-dc 821 . . . . . . 7 DECID
5553, 54sylibr 133 . . . . . 6 inl DECID
56 simprl 521 . . . . . . . . 9 inr inl
5756orcd 723 . . . . . . . 8 inr inl
5857, 54sylibr 133 . . . . . . 7 inr inl DECID
59 simp-4r 532 . . . . . . . . . . . 12 inr inr
60 djulcl 6943 . . . . . . . . . . . . 13 inl
6160adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 inr inr inl
62 foelrn 5661 . . . . . . . . . . . 12 inl inl
6359, 61, 62syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 inr inr inl
64 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . 15 inr inr inl inl
65 fvres 5452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 inl inl
6665eqeq1d 2149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 inl inl
6766ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 inr inr inl inl inl
6864, 67mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . 14 inr inr inl inl
6968adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 inr inr inl inl
70 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 inr inr inl
7170fveq2d 5432 . . . . . . . . . . . . 13 inr inr inl
72 simp-5r 534 . . . . . . . . . . . . 13 inr inr inl inr
7369, 71, 723eqtrd 2177 . . . . . . . . . . . 12 inr inr inl inl inr
7468adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 inr inr inl inl
75 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 inr inr inl
7675fveq2d 5432 . . . . . . . . . . . . 13 inr inr inl
77 simp-4r 532 . . . . . . . . . . . . 13 inr inr inl inr
7874, 76, 773eqtrd 2177 . . . . . . . . . . . 12 inr inr inl inl inr
79 elpri 3554 . . . . . . . . . . . . . 14
80 df2o3 6334 . . . . . . . . . . . . . 14
8179, 80eleq2s 2235 . . . . . . . . . . . . 13
8281ad2antrl 482 . . . . . . . . . . . 12 inr inr inl
8373, 78, 82mpjaodan 788 . . . . . . . . . . 11 inr inr inl inl inr
8463, 83rexlimddv 2557 . . . . . . . . . 10 inr inr inl inr
85 0ex 4062 . . . . . . . . . . . . . 14
86 djune 6970 . . . . . . . . . . . . . 14 inl inr
8785, 85, 86mp2an 423 . . . . . . . . . . . . 13 inl inr
8887neii 2311 . . . . . . . . . . . 12 inl inr
89 fvres 5452 . . . . . . . . . . . . . . 15 inr inr
9024, 89ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 inr inr
9190a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 inr inr
9265, 91eqeq12d 2155 . . . . . . . . . . . 12 inl inr inl inr
9388, 92mtbiri 665 . . . . . . . . . . 11 inl inr
9493adantl 275 . . . . . . . . . 10 inr inr inl inr
9584, 94pm2.65da 651 . . . . . . . . 9 inr inr
9695olcd 724 . . . . . . . 8 inr inr
9796, 54sylibr 133 . . . . . . 7 inr inr DECID
98 simplr 520 . . . . . . . . . 10
9998, 13sseqtrrdi 3150 . . . . . . . . 9
10099adantr 274 . . . . . . . 8 inr
101 fof 5352 . . . . . . . . . . 11
102101adantl 275 . . . . . . . . . 10
103102adantr 274 . . . . . . . . 9 inr
104 1oex 6328 . . . . . . . . . . . 12
105104prid2 3637 . . . . . . . . . . 11
106105, 80eleqtrri 2216 . . . . . . . . . 10
107106a1i 9 . . . . . . . . 9 inr
108103, 107ffvelrnd 5563 . . . . . . . 8 inr
109100, 108exmidfodomrlemreseldju 7072 . . . . . . 7 inr inl inr
11058, 97, 109mpjaodan 788 . . . . . 6 inr DECID
111 elelsuc 4338 . . . . . . . . . . 11
11224, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
113 df-2o 6321 . . . . . . . . . 10
114112, 113eleqtrri 2216 . . . . . . . . 9
115114a1i 9 . . . . . . . 8
116102, 115ffvelrnd 5563 . . . . . . 7
11799, 116exmidfodomrlemreseldju 7072 . . . . . 6 inl inr
11855, 110, 117mpjaodan 788 . . . . 5 DECID
1197, 8, 51, 118exlimdd 1845 . . . 4 DECID
120119ex 114 . . 3 DECID
121120alrimiv 1847 . 2 DECID
122 df-exmid 4126 . 2 EXMID DECID
123121, 122sylibr 133 1 EXMID
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 698  DECID wdc 820  wal 1330   wceq 1332  wex 1469   wcel 1481   wne 2309  wrex 2418  cvv 2689   wss 3075  c0 3367  csn 3531  cpr 3532   class class class wbr 3936  EXMIDwem 4125   csuc 4294  com 4511   cres 4548  wf 5126  wfo 5128  cfv 5130  c1o 6313  c2o 6314   cen 6639   cdom 6640   ⊔ cdju 6929  inlcinl 6937  inrcinr 6938 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-exmid 4126  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-1o 6320  df-2o 6321  df-er 6436  df-en 6642  df-dom 6643  df-dju 6930  df-inl 6939  df-inr 6940  df-case 6976 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator