Theorem exmidfodomrlemrALT 7159

Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. An alternative proof of exmidfodomrlemr 7158. In particular, this proof uses eldju 7033 instead of djur 7034 and avoids djulclb 7020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidfodomrlemrALT	|- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> EXMID )

Distinct variable group:   x, f, y, z

Proof of Theorem exmidfodomrlemrALT

Dummy variables u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1516	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( E. z z e. y /\ y ~<_ x )
2		nfe1 1484	. . . . . . . . 9 |- F/ f E. f f : x -onto-> y
3	1, 2	nfim 1560	. . . . . . . 8 |- F/ f ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
4	3	nfal 1564	. . . . . . 7 |- F/ f A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
5	4	nfal 1564	. . . . . 6 |- F/ f A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
6		nfv 1516	. . . . . 6 |- F/ f u C_ { (/) }
7	5, 6	nfan 1553	. . . . 5 |- F/ f ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } )
8		nfv 1516	. . . . 5 |- F/ fDECID (/) e. u
9		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) )
10		p0ex 4167	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. _V
11		ssdomg 6744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } e. _V -> ( u C_ { (/) } -> u ~<_ { (/) } ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( u C_ { (/) } -> u ~<_ { (/) } )
13		df1o2 6397	. . . . . . . . . . 11 |- 1o = { (/) }
14	12, 13	breqtrrdi 4024	. . . . . . . . . 10 |- ( u C_ { (/) } -> u ~<_ 1o )
15		1onn 6488	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. om
16		domrefg 6733	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1o e. om -> 1o ~<_ 1o )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 1o ~<_ 1o
18		djudom 7058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u ~<_ 1o /\ 1o ~<_ 1o ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) )
19	14, 17, 18	sylancl 410	. . . . . . . . 9 |- ( u C_ { (/) } -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) )
20		dju1p1e2 7153	. . . . . . . . 9 |- ( 1o ⊔ 1o ) ~~ 2o
21		domentr 6757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) /\ ( 1o ⊔ 1o ) ~~ 2o ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
22	19, 20, 21	sylancl 410	. . . . . . . 8 |- ( u C_ { (/) } -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
23	22	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
24		0lt1o 6408	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 1o
25		djurcl 7017	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. 1o -> (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o )
27		elex2 2742	. . . . . . . 8 |- ( (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) -> E. z z e. ( u ⊔ 1o ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- E. z z e. ( u ⊔ 1o )
29	23, 28	jctil 310	. . . . . 6 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) )
30		vex 2729	. . . . . . . 8 |- u e. _V
31		djuex 7008	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. _V /\ 1o e. om ) -> ( u ⊔ 1o ) e. _V )
32	30, 15, 31	mp2an 423	. . . . . . 7 |- ( u ⊔ 1o ) e. _V
33		2onn 6489	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
34		breq2 3986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 2o -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ 2o ) )
35	34	anbi2d 460	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 2o -> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) <-> ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) ) )
36		foeq2 5407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 2o -> ( f : x -onto-> y <-> f : 2o -onto-> y ) )
37	36	exbidv 1813	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 2o -> ( E. f f : x -onto-> y <-> E. f f : 2o -onto-> y ) )
38	35, 37	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 2o -> ( ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) <-> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
39	38	albidv 1812	. . . . . . . . 9 |- ( x = 2o -> ( A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) <-> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
40	39	spcgv 2813	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
41	33, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) )
42		eleq2 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( z e. y <-> z e. ( u ⊔ 1o ) ) )
43	42	exbidv 1813	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( E. z z e. y <-> E. z z e. ( u ⊔ 1o ) ) )
44		breq1 3985	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( y ~<_ 2o <-> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) )
45	43, 44	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) <-> ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) ) )
46		foeq3 5408	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( f : 2o -onto-> y <-> f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
47	46	exbidv 1813	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( E. f f : 2o -onto-> y <-> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
48	45, 47	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) <-> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) ) )
49	48	spcgv 2813	. . . . . . 7 |- ( ( u ⊔ 1o ) e. _V -> ( A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) -> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) ) )
50	32, 41, 49	mpsyl 65	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
51	9, 29, 50	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) )
52		simprl 521	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` (/) ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> (/) e. u )
53	52	orcd 723	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` (/) ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
54		df-dc 825	. . . . . . 7 |- (DECID (/) e. u <-> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
55	53, 54	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` (/) ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> DECID (/) e. u )
56		simprl 521	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` 1o ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> (/) e. u )
57	56	orcd 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` 1o ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
58	57, 54	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` 1o ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> DECID (/) e. u )
59		simp-4r 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) )
60		djulcl 7016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. u -> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
61	60	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
62		foelrn 5721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) /\ (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) ) -> E. w e. 2o (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
63	59, 61, 62	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> E. w e. 2o (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
64		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
65		fvres 5510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (/) e. u -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = (inl ` (/) ) )
66	65	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (/) e. u -> ( ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) <-> (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) )
67	66	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) <-> (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) )
68	64, 67	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) )
69	68	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) )
70		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> w = (/) )
71	70	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( f ` w ) = ( f ` (/) ) )
72		simp-5r 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
73	69, 71, 72	3eqtrd 2202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
74	68	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) )
75		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> w = 1o )
76	75	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( f ` w ) = ( f ` 1o ) )
77		simp-4r 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
78	74, 76, 77	3eqtrd 2202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
79		elpri 3599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. { (/) , 1o } -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
80		df2o3 6398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o = { (/) , 1o }
81	79, 80	eleq2s 2261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. 2o -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
82	81	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
83	73, 78, 82	mpjaodan 788	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
84	63, 83	rexlimddv 2588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
85		0ex 4109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
86		djune 7043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (/) e. _V /\ (/) e. _V ) -> (inl ` (/) ) =/= (inr ` (/) ) )
87	85, 85, 86	mp2an 423	. . . . . . . . . . . . 13 |- (inl ` (/) ) =/= (inr ` (/) )
88	87	neii 2338	. . . . . . . . . . . 12 |- -. (inl ` (/) ) = (inr ` (/) )
89		fvres 5510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) e. 1o -> ( (inr |` 1o ) ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
90	24, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (inr |` 1o ) ` (/) ) = (inr ` (/) )
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. u -> ( (inr |` 1o ) ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
92	65, 91	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. u -> ( ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) <-> (inl ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) )
93	88, 92	mtbiri 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. u -> -. ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
94	93	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> -. ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
95	84, 94	pm2.65da 651	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> -. (/) e. u )
96	95	olcd 724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
97	96, 54	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> DECID (/) e. u )
98		simplr 520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> u C_ { (/) } )
99	98, 13	sseqtrrdi 3191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> u C_ 1o )
100	99	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> u C_ 1o )
101		fof 5410	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
102	101	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
103	102	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
104		1oex 6392	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. _V
105	104	prid2 3683	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. { (/) , 1o }
106	105, 80	eleqtrri 2242	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. 2o
107	106	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> 1o e. 2o )
108	103, 107	ffvelrnd 5621	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> ( f ` 1o ) e. ( u ⊔ 1o ) )
109	100, 108	exmidfodomrlemreseldju 7156	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> ( ( (/) e. u /\ ( f ` 1o ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) \/ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) )
110	58, 97, 109	mpjaodan 788	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> DECID (/) e. u )
111		elelsuc 4387	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. 1o -> (/) e. suc 1o )
112	24, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. suc 1o
113		df-2o 6385	. . . . . . . . . 10 |- 2o = suc 1o
114	112, 113	eleqtrri 2242	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 2o
115	114	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> (/) e. 2o )
116	102, 115	ffvelrnd 5621	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> ( f ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
117	99, 116	exmidfodomrlemreseldju 7156	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> ( ( (/) e. u /\ ( f ` (/) ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) \/ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) )
118	55, 110, 117	mpjaodan 788	. . . . 5 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> DECID (/) e. u )
119	7, 8, 51, 118	exlimdd 1860	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> DECID (/) e. u )
120	119	ex 114	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
121	120	alrimiv 1862	. 2 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. u ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
122		df-exmid 4174	. 2 |- (EXMID <-> A. u ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
123	121, 122	sylibr 133	1 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> EXMID )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   A.wal 1341   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   =/= wne 2336   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   {cpr 3577   class class class wbr 3982  EXMIDwem 4173   suc csuc 4343   omcom 4567   |` cres 4606   -->wf 5184   -onto->wfo 5186   ` cfv 5188   1oc1o 6377   2oc2o 6378   ~~ cen 6704   ~<_ cdom 6705   ⊔ cdju 7002  inlcinl 7010  inrcinr 7011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-exmid 4174  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013  df-case 7049

This theorem is referenced by: (None)