Theorem exmidfodomrlemrALT 7506

Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. An alternative proof of exmidfodomrlemr 7505. In particular, this proof uses eldju 7359 instead of djur 7360 and avoids djulclb 7346. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidfodomrlemrALT	|- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> EXMID )

Distinct variable group:   x, f, y, z

Proof of Theorem exmidfodomrlemrALT

Dummy variables u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1577	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( E. z z e. y /\ y ~<_ x )
2		nfe1 1545	. . . . . . . . 9 |- F/ f E. f f : x -onto-> y
3	1, 2	nfim 1621	. . . . . . . 8 |- F/ f ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
4	3	nfal 1625	. . . . . . 7 |- F/ f A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
5	4	nfal 1625	. . . . . 6 |- F/ f A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
6		nfv 1577	. . . . . 6 |- F/ f u C_ { (/) }
7	5, 6	nfan 1614	. . . . 5 |- F/ f ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } )
8		nfv 1577	. . . . 5 |- F/ fDECID (/) e. u
9		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) )
10		p0ex 4301	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. _V
11		ssdomg 7018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } e. _V -> ( u C_ { (/) } -> u ~<_ { (/) } ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( u C_ { (/) } -> u ~<_ { (/) } )
13		df1o2 6661	. . . . . . . . . . 11 |- 1o = { (/) }
14	12, 13	breqtrrdi 4151	. . . . . . . . . 10 |- ( u C_ { (/) } -> u ~<_ 1o )
15		1onn 6753	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. om
16		domrefg 7006	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1o e. om -> 1o ~<_ 1o )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 1o ~<_ 1o
18		djudom 7384	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u ~<_ 1o /\ 1o ~<_ 1o ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) )
19	14, 17, 18	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( u C_ { (/) } -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) )
20		dju1p1e2 7500	. . . . . . . . 9 |- ( 1o ⊔ 1o ) ~~ 2o
21		domentr 7031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) /\ ( 1o ⊔ 1o ) ~~ 2o ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
22	19, 20, 21	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( u C_ { (/) } -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
23	22	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
24		0lt1o 6673	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 1o
25		djurcl 7343	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. 1o -> (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o )
27		elex2 2830	. . . . . . . 8 |- ( (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) -> E. z z e. ( u ⊔ 1o ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- E. z z e. ( u ⊔ 1o )
29	23, 28	jctil 312	. . . . . 6 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) )
30		vex 2816	. . . . . . . 8 |- u e. _V
31		djuex 7334	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. _V /\ 1o e. om ) -> ( u ⊔ 1o ) e. _V )
32	30, 15, 31	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( u ⊔ 1o ) e. _V
33		2onn 6754	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
34		breq2 4113	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 2o -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ 2o ) )
35	34	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 2o -> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) <-> ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) ) )
36		foeq2 5587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 2o -> ( f : x -onto-> y <-> f : 2o -onto-> y ) )
37	36	exbidv 1874	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 2o -> ( E. f f : x -onto-> y <-> E. f f : 2o -onto-> y ) )
38	35, 37	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 2o -> ( ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) <-> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
39	38	albidv 1873	. . . . . . . . 9 |- ( x = 2o -> ( A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) <-> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
40	39	spcgv 2904	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
41	33, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) )
42		eleq2 2296	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( z e. y <-> z e. ( u ⊔ 1o ) ) )
43	42	exbidv 1874	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( E. z z e. y <-> E. z z e. ( u ⊔ 1o ) ) )
44		breq1 4112	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( y ~<_ 2o <-> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) )
45	43, 44	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) <-> ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) ) )
46		foeq3 5588	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( f : 2o -onto-> y <-> f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
47	46	exbidv 1874	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( E. f f : 2o -onto-> y <-> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
48	45, 47	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) <-> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) ) )
49	48	spcgv 2904	. . . . . . 7 |- ( ( u ⊔ 1o ) e. _V -> ( A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) -> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) ) )
50	32, 41, 49	mpsyl 65	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
51	9, 29, 50	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) )
52		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` (/) ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> (/) e. u )
53	52	orcd 741	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` (/) ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
54		df-dc 843	. . . . . . 7 |- (DECID (/) e. u <-> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
55	53, 54	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` (/) ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> DECID (/) e. u )
56		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` 1o ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> (/) e. u )
57	56	orcd 741	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` 1o ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
58	57, 54	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` 1o ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> DECID (/) e. u )
59		simp-4r 544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) )
60		djulcl 7342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. u -> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
62		foelrn 5925	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) /\ (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) ) -> E. w e. 2o (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
63	59, 61, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> E. w e. 2o (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
64		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
65		fvres 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (/) e. u -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = (inl ` (/) ) )
66	65	eqeq1d 2241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (/) e. u -> ( ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) <-> (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) )
67	66	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) <-> (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) )
68	64, 67	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) )
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) )
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> w = (/) )
71	70	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( f ` w ) = ( f ` (/) ) )
72		simp-5r 546	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
73	69, 71, 72	3eqtrd 2269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
74	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) )
75		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> w = 1o )
76	75	fveq2d 5674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( f ` w ) = ( f ` 1o ) )
77		simp-4r 544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
78	74, 76, 77	3eqtrd 2269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
79		elpri 3712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. { (/) , 1o } -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
80		df2o3 6662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o = { (/) , 1o }
81	79, 80	eleq2s 2327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. 2o -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
82	81	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
83	73, 78, 82	mpjaodan 806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
84	63, 83	rexlimddv 2665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
85		0ex 4237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
86		djune 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (/) e. _V /\ (/) e. _V ) -> (inl ` (/) ) =/= (inr ` (/) ) )
87	85, 85, 86	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . 13 |- (inl ` (/) ) =/= (inr ` (/) )
88	87	neii 2414	. . . . . . . . . . . 12 |- -. (inl ` (/) ) = (inr ` (/) )
89		fvres 5694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) e. 1o -> ( (inr |` 1o ) ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
90	24, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (inr |` 1o ) ` (/) ) = (inr ` (/) )
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. u -> ( (inr |` 1o ) ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
92	65, 91	eqeq12d 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. u -> ( ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) <-> (inl ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) )
93	88, 92	mtbiri 682	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. u -> -. ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
94	93	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> -. ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
95	84, 94	pm2.65da 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> -. (/) e. u )
96	95	olcd 742	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
97	96, 54	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> DECID (/) e. u )
98		simplr 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> u C_ { (/) } )
99	98, 13	sseqtrrdi 3287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> u C_ 1o )
100	99	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> u C_ 1o )
101		fof 5590	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
102	101	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
104		1oex 6655	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. _V
105	104	prid2 3798	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. { (/) , 1o }
106	105, 80	eleqtrri 2308	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. 2o
107	106	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> 1o e. 2o )
108	103, 107	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> ( f ` 1o ) e. ( u ⊔ 1o ) )
109	100, 108	exmidfodomrlemreseldju 7503	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> ( ( (/) e. u /\ ( f ` 1o ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) \/ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) )
110	58, 97, 109	mpjaodan 806	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> DECID (/) e. u )
111		elelsuc 4530	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. 1o -> (/) e. suc 1o )
112	24, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. suc 1o
113		df-2o 6648	. . . . . . . . . 10 |- 2o = suc 1o
114	112, 113	eleqtrri 2308	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 2o
115	114	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> (/) e. 2o )
116	102, 115	ffvelcdmd 5813	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> ( f ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
117	99, 116	exmidfodomrlemreseldju 7503	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> ( ( (/) e. u /\ ( f ` (/) ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) \/ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) )
118	55, 110, 117	mpjaodan 806	. . . . 5 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> DECID (/) e. u )
119	7, 8, 51, 118	exlimdd 1921	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> DECID (/) e. u )
120	119	ex 115	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
121	120	alrimiv 1923	. 2 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. u ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
122		df-exmid 4308	. 2 |- (EXMID <-> A. u ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
123	121, 122	sylibr 134	1 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> EXMID )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   =/= wne 2412   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   C_ wss 3211   (/)c0 3508   {csn 3689   {cpr 3690   class class class wbr 4109  EXMIDwem 4307   suc csuc 4486   omcom 4712   |` cres 4751   -->wf 5348   -onto->wfo 5350   ` cfv 5352   1oc1o 6640   2oc2o 6641   ~~ cen 6973   ~<_ cdom 6974   ⊔ cdju 7328  inlcinl 7336  inrcinr 7337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-exmid 4308  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-dju 7329  df-inl 7338  df-inr 7339  df-case 7375

This theorem is referenced by: (None)