Theorem exmidfodomrlemrALT 7474

Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. An alternative proof of exmidfodomrlemr 7473. In particular, this proof uses eldju 7327 instead of djur 7328 and avoids djulclb 7314. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidfodomrlemrALT	|- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> EXMID )

Distinct variable group:   x, f, y, z

Proof of Theorem exmidfodomrlemrALT

Dummy variables u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1577	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( E. z z e. y /\ y ~<_ x )
2		nfe1 1545	. . . . . . . . 9 |- F/ f E. f f : x -onto-> y
3	1, 2	nfim 1621	. . . . . . . 8 |- F/ f ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
4	3	nfal 1625	. . . . . . 7 |- F/ f A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
5	4	nfal 1625	. . . . . 6 |- F/ f A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
6		nfv 1577	. . . . . 6 |- F/ f u C_ { (/) }
7	5, 6	nfan 1614	. . . . 5 |- F/ f ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } )
8		nfv 1577	. . . . 5 |- F/ fDECID (/) e. u
9		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) )
10		p0ex 4284	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. _V
11		ssdomg 6995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } e. _V -> ( u C_ { (/) } -> u ~<_ { (/) } ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( u C_ { (/) } -> u ~<_ { (/) } )
13		df1o2 6639	. . . . . . . . . . 11 |- 1o = { (/) }
14	12, 13	breqtrrdi 4135	. . . . . . . . . 10 |- ( u C_ { (/) } -> u ~<_ 1o )
15		1onn 6731	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. om
16		domrefg 6983	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1o e. om -> 1o ~<_ 1o )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 1o ~<_ 1o
18		djudom 7352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u ~<_ 1o /\ 1o ~<_ 1o ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) )
19	14, 17, 18	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( u C_ { (/) } -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) )
20		dju1p1e2 7468	. . . . . . . . 9 |- ( 1o ⊔ 1o ) ~~ 2o
21		domentr 7008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) /\ ( 1o ⊔ 1o ) ~~ 2o ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
22	19, 20, 21	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( u C_ { (/) } -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
23	22	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
24		0lt1o 6651	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 1o
25		djurcl 7311	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. 1o -> (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o )
27		elex2 2820	. . . . . . . 8 |- ( (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) -> E. z z e. ( u ⊔ 1o ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- E. z z e. ( u ⊔ 1o )
29	23, 28	jctil 312	. . . . . 6 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) )
30		vex 2806	. . . . . . . 8 |- u e. _V
31		djuex 7302	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. _V /\ 1o e. om ) -> ( u ⊔ 1o ) e. _V )
32	30, 15, 31	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( u ⊔ 1o ) e. _V
33		2onn 6732	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
34		breq2 4097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 2o -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ 2o ) )
35	34	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 2o -> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) <-> ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) ) )
36		foeq2 5565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 2o -> ( f : x -onto-> y <-> f : 2o -onto-> y ) )
37	36	exbidv 1873	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 2o -> ( E. f f : x -onto-> y <-> E. f f : 2o -onto-> y ) )
38	35, 37	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 2o -> ( ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) <-> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
39	38	albidv 1872	. . . . . . . . 9 |- ( x = 2o -> ( A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) <-> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
40	39	spcgv 2894	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
41	33, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) )
42		eleq2 2295	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( z e. y <-> z e. ( u ⊔ 1o ) ) )
43	42	exbidv 1873	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( E. z z e. y <-> E. z z e. ( u ⊔ 1o ) ) )
44		breq1 4096	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( y ~<_ 2o <-> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) )
45	43, 44	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) <-> ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) ) )
46		foeq3 5566	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( f : 2o -onto-> y <-> f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
47	46	exbidv 1873	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( E. f f : 2o -onto-> y <-> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
48	45, 47	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) <-> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) ) )
49	48	spcgv 2894	. . . . . . 7 |- ( ( u ⊔ 1o ) e. _V -> ( A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) -> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) ) )
50	32, 41, 49	mpsyl 65	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
51	9, 29, 50	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) )
52		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` (/) ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> (/) e. u )
53	52	orcd 741	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` (/) ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
54		df-dc 843	. . . . . . 7 |- (DECID (/) e. u <-> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
55	53, 54	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` (/) ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> DECID (/) e. u )
56		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` 1o ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> (/) e. u )
57	56	orcd 741	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` 1o ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
58	57, 54	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` 1o ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> DECID (/) e. u )
59		simp-4r 544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) )
60		djulcl 7310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. u -> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
62		foelrn 5903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) /\ (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) ) -> E. w e. 2o (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
63	59, 61, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> E. w e. 2o (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
64		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
65		fvres 5672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (/) e. u -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = (inl ` (/) ) )
66	65	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (/) e. u -> ( ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) <-> (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) )
67	66	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) <-> (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) )
68	64, 67	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) )
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) )
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> w = (/) )
71	70	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( f ` w ) = ( f ` (/) ) )
72		simp-5r 546	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
73	69, 71, 72	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
74	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) )
75		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> w = 1o )
76	75	fveq2d 5652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( f ` w ) = ( f ` 1o ) )
77		simp-4r 544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
78	74, 76, 77	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
79		elpri 3696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. { (/) , 1o } -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
80		df2o3 6640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o = { (/) , 1o }
81	79, 80	eleq2s 2326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. 2o -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
82	81	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
83	73, 78, 82	mpjaodan 806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
84	63, 83	rexlimddv 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
85		0ex 4221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
86		djune 7337	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (/) e. _V /\ (/) e. _V ) -> (inl ` (/) ) =/= (inr ` (/) ) )
87	85, 85, 86	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . 13 |- (inl ` (/) ) =/= (inr ` (/) )
88	87	neii 2405	. . . . . . . . . . . 12 |- -. (inl ` (/) ) = (inr ` (/) )
89		fvres 5672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) e. 1o -> ( (inr |` 1o ) ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
90	24, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (inr |` 1o ) ` (/) ) = (inr ` (/) )
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. u -> ( (inr |` 1o ) ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
92	65, 91	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. u -> ( ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) <-> (inl ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) )
93	88, 92	mtbiri 682	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. u -> -. ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
94	93	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> -. ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
95	84, 94	pm2.65da 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> -. (/) e. u )
96	95	olcd 742	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
97	96, 54	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> DECID (/) e. u )
98		simplr 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> u C_ { (/) } )
99	98, 13	sseqtrrdi 3277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> u C_ 1o )
100	99	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> u C_ 1o )
101		fof 5568	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
102	101	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
104		1oex 6633	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. _V
105	104	prid2 3782	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. { (/) , 1o }
106	105, 80	eleqtrri 2307	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. 2o
107	106	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> 1o e. 2o )
108	103, 107	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> ( f ` 1o ) e. ( u ⊔ 1o ) )
109	100, 108	exmidfodomrlemreseldju 7471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> ( ( (/) e. u /\ ( f ` 1o ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) \/ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) )
110	58, 97, 109	mpjaodan 806	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> DECID (/) e. u )
111		elelsuc 4512	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. 1o -> (/) e. suc 1o )
112	24, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. suc 1o
113		df-2o 6626	. . . . . . . . . 10 |- 2o = suc 1o
114	112, 113	eleqtrri 2307	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 2o
115	114	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> (/) e. 2o )
116	102, 115	ffvelcdmd 5791	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> ( f ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
117	99, 116	exmidfodomrlemreseldju 7471	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> ( ( (/) e. u /\ ( f ` (/) ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) \/ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) )
118	55, 110, 117	mpjaodan 806	. . . . 5 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> DECID (/) e. u )
119	7, 8, 51, 118	exlimdd 1920	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> DECID (/) e. u )
120	119	ex 115	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
121	120	alrimiv 1922	. 2 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. u ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
122		df-exmid 4291	. 2 |- (EXMID <-> A. u ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
123	121, 122	sylibr 134	1 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> EXMID )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   =/= wne 2403   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {csn 3673   {cpr 3674   class class class wbr 4093  EXMIDwem 4290   suc csuc 4468   omcom 4694   |` cres 4733   -->wf 5329   -onto->wfo 5331   ` cfv 5333   1oc1o 6618   2oc2o 6619   ~~ cen 6950   ~<_ cdom 6951   ⊔ cdju 7296  inlcinl 7304  inrcinr 7305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-exmid 4291  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-dju 7297  df-inl 7306  df-inr 7307  df-case 7343

This theorem is referenced by: (None)