Theorem exmidfodomrlemrALT 7413

Description: The existence of a mapping from any set onto any inhabited set that it dominates implies excluded middle. Proposition 1.2 of [PradicBrown2022], p. 2. An alternative proof of exmidfodomrlemr 7412. In particular, this proof uses eldju 7266 instead of djur 7267 and avoids djulclb 7253. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
exmidfodomrlemrALT	|- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> EXMID )

Distinct variable group:   x, f, y, z

Proof of Theorem exmidfodomrlemrALT

Dummy variables u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1576	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( E. z z e. y /\ y ~<_ x )
2		nfe1 1544	. . . . . . . . 9 |- F/ f E. f f : x -onto-> y
3	1, 2	nfim 1620	. . . . . . . 8 |- F/ f ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
4	3	nfal 1624	. . . . . . 7 |- F/ f A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
5	4	nfal 1624	. . . . . 6 |- F/ f A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y )
6		nfv 1576	. . . . . 6 |- F/ f u C_ { (/) }
7	5, 6	nfan 1613	. . . . 5 |- F/ f ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } )
8		nfv 1576	. . . . 5 |- F/ fDECID (/) e. u
9		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) )
10		p0ex 4278	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. _V
11		ssdomg 6951	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { (/) } e. _V -> ( u C_ { (/) } -> u ~<_ { (/) } ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( u C_ { (/) } -> u ~<_ { (/) } )
13		df1o2 6595	. . . . . . . . . . 11 |- 1o = { (/) }
14	12, 13	breqtrrdi 4130	. . . . . . . . . 10 |- ( u C_ { (/) } -> u ~<_ 1o )
15		1onn 6687	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. om
16		domrefg 6939	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1o e. om -> 1o ~<_ 1o )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 1o ~<_ 1o
18		djudom 7291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u ~<_ 1o /\ 1o ~<_ 1o ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) )
19	14, 17, 18	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( u C_ { (/) } -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) )
20		dju1p1e2 7407	. . . . . . . . 9 |- ( 1o ⊔ 1o ) ~~ 2o
21		domentr 6964	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u ⊔ 1o ) ~<_ ( 1o ⊔ 1o ) /\ ( 1o ⊔ 1o ) ~~ 2o ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
22	19, 20, 21	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( u C_ { (/) } -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
23	22	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o )
24		0lt1o 6607	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 1o
25		djurcl 7250	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. 1o -> (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o )
27		elex2 2819	. . . . . . . 8 |- ( (inr ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) -> E. z z e. ( u ⊔ 1o ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- E. z z e. ( u ⊔ 1o )
29	23, 28	jctil 312	. . . . . 6 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) )
30		vex 2805	. . . . . . . 8 |- u e. _V
31		djuex 7241	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. _V /\ 1o e. om ) -> ( u ⊔ 1o ) e. _V )
32	30, 15, 31	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( u ⊔ 1o ) e. _V
33		2onn 6688	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
34		breq2 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 2o -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ 2o ) )
35	34	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 2o -> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) <-> ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) ) )
36		foeq2 5556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 2o -> ( f : x -onto-> y <-> f : 2o -onto-> y ) )
37	36	exbidv 1873	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 2o -> ( E. f f : x -onto-> y <-> E. f f : 2o -onto-> y ) )
38	35, 37	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 2o -> ( ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) <-> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
39	38	albidv 1872	. . . . . . . . 9 |- ( x = 2o -> ( A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) <-> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
40	39	spcgv 2893	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) ) )
41	33, 40	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) )
42		eleq2 2295	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( z e. y <-> z e. ( u ⊔ 1o ) ) )
43	42	exbidv 1873	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( E. z z e. y <-> E. z z e. ( u ⊔ 1o ) ) )
44		breq1 4091	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( y ~<_ 2o <-> ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) )
45	43, 44	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) <-> ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) ) )
46		foeq3 5557	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( f : 2o -onto-> y <-> f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
47	46	exbidv 1873	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( E. f f : 2o -onto-> y <-> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
48	45, 47	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( y = ( u ⊔ 1o ) -> ( ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) <-> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) ) )
49	48	spcgv 2893	. . . . . . 7 |- ( ( u ⊔ 1o ) e. _V -> ( A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> y ) -> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) ) )
50	32, 41, 49	mpsyl 65	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> ( ( E. z z e. ( u ⊔ 1o ) /\ ( u ⊔ 1o ) ~<_ 2o ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) )
51	9, 29, 50	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> E. f f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) )
52		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` (/) ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> (/) e. u )
53	52	orcd 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` (/) ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
54		df-dc 842	. . . . . . 7 |- (DECID (/) e. u <-> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
55	53, 54	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` (/) ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> DECID (/) e. u )
56		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` 1o ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> (/) e. u )
57	56	orcd 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` 1o ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
58	57, 54	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( (/) e. u /\ ( f ` 1o ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) ) -> DECID (/) e. u )
59		simp-4r 544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) )
60		djulcl 7249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. u -> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
62		foelrn 5892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) /\ (inl ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) ) -> E. w e. 2o (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
63	59, 61, 62	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> E. w e. 2o (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
64		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> (inl ` (/) ) = ( f ` w ) )
65		fvres 5663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (/) e. u -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = (inl ` (/) ) )
66	65	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (/) e. u -> ( ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) <-> (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) )
67	66	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) <-> (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) )
68	64, 67	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) )
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) )
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> w = (/) )
71	70	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( f ` w ) = ( f ` (/) ) )
72		simp-5r 546	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
73	69, 71, 72	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = (/) ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
74	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( f ` w ) )
75		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> w = 1o )
76	75	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( f ` w ) = ( f ` 1o ) )
77		simp-4r 544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
78	74, 76, 77	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) /\ w = 1o ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
79		elpri 3692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. { (/) , 1o } -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
80		df2o3 6596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2o = { (/) , 1o }
81	79, 80	eleq2s 2326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. 2o -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
82	81	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( w = (/) \/ w = 1o ) )
83	73, 78, 82	mpjaodan 805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) /\ ( w e. 2o /\ (inl ` (/) ) = ( f ` w ) ) ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
84	63, 83	rexlimddv 2655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
85		0ex 4216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
86		djune 7276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( (/) e. _V /\ (/) e. _V ) -> (inl ` (/) ) =/= (inr ` (/) ) )
87	85, 85, 86	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . 13 |- (inl ` (/) ) =/= (inr ` (/) )
88	87	neii 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- -. (inl ` (/) ) = (inr ` (/) )
89		fvres 5663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) e. 1o -> ( (inr |` 1o ) ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
90	24, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (inr |` 1o ) ` (/) ) = (inr ` (/) )
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. u -> ( (inr |` 1o ) ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
92	65, 91	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. u -> ( ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) <-> (inl ` (/) ) = (inr ` (/) ) ) )
93	88, 92	mtbiri 681	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. u -> -. ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
94	93	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ (/) e. u ) -> -. ( (inl |` u ) ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) )
95	84, 94	pm2.65da 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> -. (/) e. u )
96	95	olcd 741	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> ( (/) e. u \/ -. (/) e. u ) )
97	96, 54	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) /\ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> DECID (/) e. u )
98		simplr 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> u C_ { (/) } )
99	98, 13	sseqtrrdi 3276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> u C_ 1o )
100	99	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> u C_ 1o )
101		fof 5559	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
102	101	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
103	102	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> f : 2o --> ( u ⊔ 1o ) )
104		1oex 6589	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. _V
105	104	prid2 3778	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. { (/) , 1o }
106	105, 80	eleqtrri 2307	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. 2o
107	106	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> 1o e. 2o )
108	103, 107	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> ( f ` 1o ) e. ( u ⊔ 1o ) )
109	100, 108	exmidfodomrlemreseldju 7410	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> ( ( (/) e. u /\ ( f ` 1o ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) \/ ( f ` 1o ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) )
110	58, 97, 109	mpjaodan 805	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) /\ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) -> DECID (/) e. u )
111		elelsuc 4506	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e. 1o -> (/) e. suc 1o )
112	24, 111	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. suc 1o
113		df-2o 6582	. . . . . . . . . 10 |- 2o = suc 1o
114	112, 113	eleqtrri 2307	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 2o
115	114	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> (/) e. 2o )
116	102, 115	ffvelcdmd 5783	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> ( f ` (/) ) e. ( u ⊔ 1o ) )
117	99, 116	exmidfodomrlemreseldju 7410	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> ( ( (/) e. u /\ ( f ` (/) ) = ( (inl |` u ) ` (/) ) ) \/ ( f ` (/) ) = ( (inr |` 1o ) ` (/) ) ) )
118	55, 110, 117	mpjaodan 805	. . . . 5 |- ( ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) /\ f : 2o -onto-> ( u ⊔ 1o ) ) -> DECID (/) e. u )
119	7, 8, 51, 118	exlimdd 1920	. . . 4 |- ( ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) /\ u C_ { (/) } ) -> DECID (/) e. u )
120	119	ex 115	. . 3 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
121	120	alrimiv 1922	. 2 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> A. u ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
122		df-exmid 4285	. 2 |- (EXMID <-> A. u ( u C_ { (/) } -> DECID (/) e. u ) )
123	121, 122	sylibr 134	1 |- ( A. x A. y ( ( E. z z e. y /\ y ~<_ x ) -> E. f f : x -onto-> y ) -> EXMID )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   A.wal 1395   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   =/= wne 2402   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669   {cpr 3670   class class class wbr 4088  EXMIDwem 4284   suc csuc 4462   omcom 4688   |` cres 4727   -->wf 5322   -onto->wfo 5324   ` cfv 5326   1oc1o 6574   2oc2o 6575   ~~ cen 6906   ~<_ cdom 6907   ⊔ cdju 7235  inlcinl 7243  inrcinr 7244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-exmid 4285  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-dju 7236  df-inl 7245  df-inr 7246  df-case 7282

This theorem is referenced by: (None)