Theorem nfal 1625

Description: If 𝑥 is not free in 𝜑, it is not free in ∀𝑦𝜑. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2016.) Remove dependency on ax-4 1559. (Revised by GG, 25-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
nfal.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑

Assertion

Ref	Expression
nfal	⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦𝜑

Proof of Theorem nfal

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nf 1510	. . . . . 6 ⊢ (Ⅎ𝑥𝜑 ↔ ∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
2	1	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (Ⅎ𝑥𝜑 → ∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
3	2	alimi 1504	. . . 4 ⊢ (∀𝑦Ⅎ𝑥𝜑 → ∀𝑦∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
4		ax-7 1497	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑥(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑))
5		ax-5 1496	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → (∀𝑦𝜑 → ∀𝑦∀𝑥𝜑))
6		ax-7 1497	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦∀𝑥𝜑 → ∀𝑥∀𝑦𝜑)
7	5, 6	syl6 33	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → (∀𝑦𝜑 → ∀𝑥∀𝑦𝜑))
8	7	alimi 1504	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → ∀𝑥𝜑) → ∀𝑥(∀𝑦𝜑 → ∀𝑥∀𝑦𝜑))
9	3, 4, 8	3syl 17	. . 3 ⊢ (∀𝑦Ⅎ𝑥𝜑 → ∀𝑥(∀𝑦𝜑 → ∀𝑥∀𝑦𝜑))
10		df-nf 1510	. . 3 ⊢ (Ⅎ𝑥∀𝑦𝜑 ↔ ∀𝑥(∀𝑦𝜑 → ∀𝑥∀𝑦𝜑))
11	9, 10	sylibr 134	. 2 ⊢ (∀𝑦Ⅎ𝑥𝜑 → Ⅎ𝑥∀𝑦𝜑)
12		nfal.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
13	11, 12	mpg 1500	1 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦𝜑

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1396  Ⅎwnf 1509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510

This theorem is referenced by:  nfnf  1626  nfa2  1628  aaan  1636  cbv3  1791  cbv2  1798  nfald  1809  cbval2  1973  nfsb4t  2070  nfeuv  2100  mo23  2124  bm1.1  2219  nfnfc1  2389  nfnfc  2393  nfeq  2394  nfabdw  2405  sbcnestgf  3193  dfnfc2  3937  nfdisjv  4102  nfdisj1  4103  nffr  4475  uchoice  6344  modom  7074  exmidfodomrlemr  7518  exmidfodomrlemrALT  7519  exmidunben  13261  bdsepnft  16783  bdsepnfALT  16785  setindft  16861  strcollnft  16880  pw1nct  16903