Theorem nntri3 6401

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nntri3	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Proof of Theorem nntri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4464	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
2		eleq2 2204	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	1, 2	mtbii 664	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
4	3	con2i 617	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
5	4	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
6		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
7	6	con2i 617	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
8	7	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ¬ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
9	5, 8	2falsed 692	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)))
10		simpr 109	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
11		eleq1 2203	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
12	1, 11	mtbii 664	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
13	3, 12	jca 304	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
14	13	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
15	10, 14	2thd 174	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)))
16	12	con2i 617	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
17	16	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
18		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
19	18	con2i 617	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
20	19	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
21	17, 20	2falsed 692	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)))
22		nntri3or 6397	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
23	9, 15, 21, 22	mpjao3dan 1286	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ωcom 4512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-int 3780  df-tr 4035  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513

This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  10210  nnti  13362