Theorem nntri3 6272

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nntri3	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Proof of Theorem nntri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4370	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴
2		eleq2 2152	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
3	1, 2	mtbii 635	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
4	3	con2i 593	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
5	4	adantl 272	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
6		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ∈ 𝐵)
7	6	con2i 593	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
8	7	adantl 272	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ¬ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
9	5, 8	2falsed 654	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)))
10		simpr 109	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
11		eleq1 2151	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
12	1, 11	mtbii 635	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
13	3, 12	jca 301	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
14	13	adantl 272	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
15	10, 14	2thd 174	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)))
16	12	con2i 593	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
17	16	adantl 272	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
18		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
19	18	con2i 593	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ¬ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
20	19	adantl 272	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
21	17, 20	2falsed 654	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)))
22		nntri3or 6268	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
23	9, 15, 21, 22	mpjao3dan 1244	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ωcom 4418

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-uni 3660  df-int 3695  df-tr 3943  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419

This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  9867  nnti  12158