ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzf1od Unicode version

Theorem frec2uzf1od 10172
Description:  G (see frec2uz0d 10165) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
Assertion
Ref Expression
frec2uzf1od  |-  ( ph  ->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
)
Distinct variable groups:    x, C    ph, x
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem frec2uzf1od
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 9056 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  e.  _V
21mptex 5639 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  e.  _V
3 vex 2684 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
42, 3fvex 5434 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V
54ax-gen 1425 . . . . . 6  |-  A. z
( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  z )  e.  _V
6 frec2uz.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
7 frecfnom 6291 . . . . . 6  |-  ( ( A. z ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V  /\  C  e.  ZZ )  -> frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  Fn  om )
85, 6, 7sylancr 410 . . . . 5  |-  ( ph  -> frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )  Fn  om )
9 frec2uz.2 . . . . . 6  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
109fneq1i 5212 . . . . 5  |-  ( G  Fn  om  <-> frec ( (
x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  Fn  om )
118, 10sylibr 133 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  Fn  om )
126, 9frec2uzrand 10171 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  G  =  (
ZZ>= `  C ) )
13 eqimss 3146 . . . . 5  |-  ( ran 
G  =  ( ZZ>= `  C )  ->  ran  G 
C_  ( ZZ>= `  C
) )
1412, 13syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  G  C_  ( ZZ>=
`  C ) )
15 df-f 5122 . . . 4  |-  ( G : om --> ( ZZ>= `  C )  <->  ( G  Fn  om  /\  ran  G  C_  ( ZZ>= `  C )
) )
1611, 14, 15sylanbrc 413 . . 3  |-  ( ph  ->  G : om --> ( ZZ>= `  C ) )
176adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  C  e.  ZZ )
18 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  y  e.  om )
1917, 9, 18frec2uzzd 10166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om )  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
20193adant3 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om 
/\  z  e.  om )  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
2120zred 9166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om 
/\  z  e.  om )  ->  ( G `  y )  e.  RR )
2221ltnrd 7868 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om 
/\  z  e.  om )  ->  -.  ( G `  y )  <  ( G `  y )
)
2322adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om  /\  z  e. 
om )  /\  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )  ->  -.  ( G `  y
)  <  ( G `  y ) )
24 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om  /\  z  e. 
om )  /\  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 z ) )
2524breq2d 3936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om  /\  z  e. 
om )  /\  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )  -> 
( ( G `  y )  <  ( G `  y )  <->  ( G `  y )  <  ( G `  z ) ) )
2623, 25mtbid 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om  /\  z  e. 
om )  /\  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )  ->  -.  ( G `  y
)  <  ( G `  z ) )
27173adant3 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om 
/\  z  e.  om )  ->  C  e.  ZZ )
28 simp2 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om 
/\  z  e.  om )  ->  y  e.  om )
29 simp3 983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om 
/\  z  e.  om )  ->  z  e.  om )
3027, 9, 28, 29frec2uzltd 10169 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om 
/\  z  e.  om )  ->  ( y  e.  z  ->  ( G `  y )  <  ( G `  z )
) )
3130con3d 620 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om 
/\  z  e.  om )  ->  ( -.  ( G `  y )  <  ( G `  z
)  ->  -.  y  e.  z ) )
3231adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om  /\  z  e. 
om )  /\  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )  -> 
( -.  ( G `
 y )  < 
( G `  z
)  ->  -.  y  e.  z ) )
3326, 32mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om  /\  z  e. 
om )  /\  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )  ->  -.  y  e.  z
)
3424breq1d 3934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om  /\  z  e. 
om )  /\  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )  -> 
( ( G `  y )  <  ( G `  y )  <->  ( G `  z )  <  ( G `  y ) ) )
3523, 34mtbid 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om  /\  z  e. 
om )  /\  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )  ->  -.  ( G `  z
)  <  ( G `  y ) )
3627, 9, 29, 28frec2uzltd 10169 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om 
/\  z  e.  om )  ->  ( z  e.  y  ->  ( G `  z )  <  ( G `  y )
) )
3736adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om  /\  z  e. 
om )  /\  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )  -> 
( z  e.  y  ->  ( G `  z )  <  ( G `  y )
) )
3835, 37mtod 652 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om  /\  z  e. 
om )  /\  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )  ->  -.  z  e.  y
)
39 nntri3 6386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  =  z  <-> 
( -.  y  e.  z  /\  -.  z  e.  y ) ) )
40393adant1 999 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om 
/\  z  e.  om )  ->  ( y  =  z  <->  ( -.  y  e.  z  /\  -.  z  e.  y ) ) )
4140adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om  /\  z  e. 
om )  /\  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( -.  y  e.  z  /\  -.  z  e.  y ) ) )
4233, 38, 41mpbir2and 928 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  om  /\  z  e. 
om )  /\  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )  -> 
y  =  z )
4342ex 114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  om 
/\  z  e.  om )  ->  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) )
44433expb 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  om  /\  z  e. 
om ) )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) )
4544ralrimivva 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  om  A. z  e.  om  (
( G `  y
)  =  ( G `
 z )  -> 
y  =  z ) )
46 dff13 5662 . . 3  |-  ( G : om -1-1-> ( ZZ>= `  C )  <->  ( G : om --> ( ZZ>= `  C
)  /\  A. y  e.  om  A. z  e. 
om  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
4716, 45, 46sylanbrc 413 . 2  |-  ( ph  ->  G : om -1-1-> (
ZZ>= `  C ) )
48 dff1o5 5369 . 2  |-  ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  <->  ( G : om -1-1-> (
ZZ>= `  C )  /\  ran  G  =  ( ZZ>= `  C ) ) )
4947, 12, 48sylanbrc 413 1  |-  ( ph  ->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962   A.wal 1329    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   _Vcvv 2681    C_ wss 3066   class class class wbr 3924    |-> cmpt 3984   omcom 4499   ran crn 4535    Fn wfn 5113   -->wf 5114   -1-1->wf1 5115   -1-1-onto->wf1o 5117   ` cfv 5118  (class class class)co 5767  freccfrec 6280   1c1 7614    + caddc 7616    < clt 7793   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320
This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10173  frecuzrdglem  10177  frecuzrdgtcl  10178  frecuzrdgsuc  10180  frecuzrdgg  10182  frecuzrdgdomlem  10183  frecuzrdgfunlem  10185  frecuzrdgsuctlem  10189  uzenom  10191  frecfzennn  10192  frechashgf1o  10194  frec2uzled  10195  hashfz1  10522  hashen  10523  ennnfonelemjn  11904  ennnfonelem1  11909  ennnfonelemhf1o  11915  ennnfonelemrn  11921
  Copyright terms: Public domain W3C validator