Theorem frec2uzf1od 10349

Description: G (see frec2uz0d 10342) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzf1od	|- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )

Distinct variable groups:   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem frec2uzf1od

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 9208	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. _V
2	1	mptex 5719	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) e. _V
3		vex 2733	. . . . . . . 8 |- z e. _V
4	2, 3	fvex 5514	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
5	4	ax-gen 1442	. . . . . 6 |- A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
6		frec2uz.1	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ZZ )
7		frecfnom 6377	. . . . . 6 |- ( ( A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V /\ C e. ZZ ) -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
8	5, 6, 7	sylancr 412	. . . . 5 |- ( ph -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
9		frec2uz.2	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
10	9	fneq1i 5290	. . . . 5 |- ( G Fn om <-> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
11	8, 10	sylibr 133	. . . 4 |- ( ph -> G Fn om )
12	6, 9	frec2uzrand 10348	. . . . 5 |- ( ph -> ran G = ( ZZ>= ` C ) )
13		eqimss 3201	. . . . 5 |- ( ran G = ( ZZ>= ` C ) -> ran G C_ ( ZZ>= ` C ) )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ran G C_ ( ZZ>= ` C ) )
15		df-f 5200	. . . 4 |- ( G : om --> ( ZZ>= ` C ) <-> ( G Fn om /\ ran G C_ ( ZZ>= ` C ) ) )
16	11, 14, 15	sylanbrc 415	. . 3 |- ( ph -> G : om --> ( ZZ>= ` C ) )
17	6	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> C e. ZZ )
18		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> y e. om )
19	17, 9, 18	frec2uzzd 10343	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( G ` y ) e. ZZ )
20	19	3adant3 1012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( G ` y ) e. ZZ )
21	20	zred 9321	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( G ` y ) e. RR )
22	21	ltnrd 8018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> -. ( G ` y ) < ( G ` y ) )
23	22	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> -. ( G ` y ) < ( G ` y ) )
24		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( G ` y ) = ( G ` z ) )
25	24	breq2d 3999	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( ( G ` y ) < ( G ` y ) <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
26	23, 25	mtbid 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> -. ( G ` y ) < ( G ` z ) )
27	17	3adant3 1012	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> C e. ZZ )
28		simp2 993	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> y e. om )
29		simp3 994	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> z e. om )
30	27, 9, 28, 29	frec2uzltd 10346	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( y e. z -> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
31	30	con3d 626	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( -. ( G ` y ) < ( G ` z ) -> -. y e. z ) )
32	31	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( -. ( G ` y ) < ( G ` z ) -> -. y e. z ) )
33	26, 32	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> -. y e. z )
34	24	breq1d 3997	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( ( G ` y ) < ( G ` y ) <-> ( G ` z ) < ( G ` y ) ) )
35	23, 34	mtbid 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> -. ( G ` z ) < ( G ` y ) )
36	27, 9, 29, 28	frec2uzltd 10346	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( z e. y -> ( G ` z ) < ( G ` y ) ) )
37	36	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( z e. y -> ( G ` z ) < ( G ` y ) ) )
38	35, 37	mtod 658	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> -. z e. y )
39		nntri3 6473	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y = z <-> ( -. y e. z /\ -. z e. y ) ) )
40	39	3adant1 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( y = z <-> ( -. y e. z /\ -. z e. y ) ) )
41	40	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( y = z <-> ( -. y e. z /\ -. z e. y ) ) )
42	33, 38, 41	mpbir2and 939	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> y = z )
43	42	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) )
44	43	3expb 1199	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) )
45	44	ralrimivva 2552	. . 3 |- ( ph -> A. y e. om A. z e. om ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) )
46		dff13 5744	. . 3 |- ( G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) <-> ( G : om --> ( ZZ>= ` C ) /\ A. y e. om A. z e. om ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) ) )
47	16, 45, 46	sylanbrc 415	. 2 |- ( ph -> G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) )
48		dff1o5 5449	. 2 |- ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) <-> ( G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) /\ ran G = ( ZZ>= ` C ) ) )
49	47, 12, 48	sylanbrc 415	1 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   A.wal 1346   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   class class class wbr 3987   |-> cmpt 4048   omcom 4572   ran crn 4610   Fn wfn 5191   -->wf 5192   -1-1->wf1 5193   -1-1-onto->wf1o 5195   ` cfv 5196  (class class class)co 5850  freccfrec 6366   1c1 7762   + caddc 7764   < clt 7941   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-recs 6281  df-frec 6367  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475

This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10350  frecuzrdglem  10354  frecuzrdgtcl  10355  frecuzrdgsuc  10357  frecuzrdgg  10359  frecuzrdgdomlem  10360  frecuzrdgfunlem  10362  frecuzrdgsuctlem  10366  uzenom  10368  frecfzennn  10369  frechashgf1o  10371  frec2uzled  10372  hashfz1  10704  hashen  10705  ennnfonelemjn  12344  ennnfonelem1  12349  ennnfonelemhf1o  12355  ennnfonelemrn  12361  ssnnctlemct  12388