Theorem frec2uzf1od 10517

Description: G (see frec2uz0d 10510) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzf1od	|- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )

Distinct variable groups:   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem frec2uzf1od

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 9354	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. _V
2	1	mptex 5791	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) e. _V
3		vex 2766	. . . . . . . 8 |- z e. _V
4	2, 3	fvex 5581	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
5	4	ax-gen 1463	. . . . . 6 |- A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
6		frec2uz.1	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ZZ )
7		frecfnom 6468	. . . . . 6 |- ( ( A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V /\ C e. ZZ ) -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
9		frec2uz.2	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
10	9	fneq1i 5353	. . . . 5 |- ( G Fn om <-> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
11	8, 10	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> G Fn om )
12	6, 9	frec2uzrand 10516	. . . . 5 |- ( ph -> ran G = ( ZZ>= ` C ) )
13		eqimss 3238	. . . . 5 |- ( ran G = ( ZZ>= ` C ) -> ran G C_ ( ZZ>= ` C ) )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ran G C_ ( ZZ>= ` C ) )
15		df-f 5263	. . . 4 |- ( G : om --> ( ZZ>= ` C ) <-> ( G Fn om /\ ran G C_ ( ZZ>= ` C ) ) )
16	11, 14, 15	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ph -> G : om --> ( ZZ>= ` C ) )
17	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> C e. ZZ )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> y e. om )
19	17, 9, 18	frec2uzzd 10511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( G ` y ) e. ZZ )
20	19	3adant3 1019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( G ` y ) e. ZZ )
21	20	zred 9467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( G ` y ) e. RR )
22	21	ltnrd 8157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> -. ( G ` y ) < ( G ` y ) )
23	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> -. ( G ` y ) < ( G ` y ) )
24		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( G ` y ) = ( G ` z ) )
25	24	breq2d 4046	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( ( G ` y ) < ( G ` y ) <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
26	23, 25	mtbid 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> -. ( G ` y ) < ( G ` z ) )
27	17	3adant3 1019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> C e. ZZ )
28		simp2 1000	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> y e. om )
29		simp3 1001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> z e. om )
30	27, 9, 28, 29	frec2uzltd 10514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( y e. z -> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
31	30	con3d 632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( -. ( G ` y ) < ( G ` z ) -> -. y e. z ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( -. ( G ` y ) < ( G ` z ) -> -. y e. z ) )
33	26, 32	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> -. y e. z )
34	24	breq1d 4044	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( ( G ` y ) < ( G ` y ) <-> ( G ` z ) < ( G ` y ) ) )
35	23, 34	mtbid 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> -. ( G ` z ) < ( G ` y ) )
36	27, 9, 29, 28	frec2uzltd 10514	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( z e. y -> ( G ` z ) < ( G ` y ) ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( z e. y -> ( G ` z ) < ( G ` y ) ) )
38	35, 37	mtod 664	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> -. z e. y )
39		nntri3 6564	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y = z <-> ( -. y e. z /\ -. z e. y ) ) )
40	39	3adant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( y = z <-> ( -. y e. z /\ -. z e. y ) ) )
41	40	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( y = z <-> ( -. y e. z /\ -. z e. y ) ) )
42	33, 38, 41	mpbir2and 946	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> y = z )
43	42	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) )
44	43	3expb 1206	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) )
45	44	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( ph -> A. y e. om A. z e. om ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) )
46		dff13 5818	. . 3 |- ( G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) <-> ( G : om --> ( ZZ>= ` C ) /\ A. y e. om A. z e. om ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) ) )
47	16, 45, 46	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) )
48		dff1o5 5516	. 2 |- ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) <-> ( G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) /\ ran G = ( ZZ>= ` C ) ) )
49	47, 12, 48	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   omcom 4627   ran crn 4665   Fn wfn 5254   -->wf 5255   -1-1->wf1 5256   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259  (class class class)co 5925  freccfrec 6457   1c1 7899   + caddc 7901   < clt 8080   ZZcz 9345   ZZ>=cuz 9620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621

This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10518  frecuzrdglem  10522  frecuzrdgtcl  10523  frecuzrdgsuc  10525  frecuzrdgg  10527  frecuzrdgdomlem  10528  frecuzrdgfunlem  10530  frecuzrdgsuctlem  10534  uzenom  10536  frecfzennn  10537  frechashgf1o  10539  frec2uzled  10540  hashfz1  10894  hashen  10895  nninfctlemfo  12234  ennnfonelemjn  12646  ennnfonelem1  12651  ennnfonelemhf1o  12657  ennnfonelemrn  12663  ssnnctlemct  12690