Theorem frec2uzf1od 10551

Description: G (see frec2uz0d 10544) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uz.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzf1od	|- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )

Distinct variable groups:   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem frec2uzf1od

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 9381	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. _V
2	1	mptex 5810	. . . . . . . 8 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) e. _V
3		vex 2775	. . . . . . . 8 |- z e. _V
4	2, 3	fvex 5596	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
5	4	ax-gen 1472	. . . . . 6 |- A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
6		frec2uz.1	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. ZZ )
7		frecfnom 6487	. . . . . 6 |- ( ( A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V /\ C e. ZZ ) -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ph -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
9		frec2uz.2	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
10	9	fneq1i 5368	. . . . 5 |- ( G Fn om <-> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C ) Fn om )
11	8, 10	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> G Fn om )
12	6, 9	frec2uzrand 10550	. . . . 5 |- ( ph -> ran G = ( ZZ>= ` C ) )
13		eqimss 3247	. . . . 5 |- ( ran G = ( ZZ>= ` C ) -> ran G C_ ( ZZ>= ` C ) )
14	12, 13	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ran G C_ ( ZZ>= ` C ) )
15		df-f 5275	. . . 4 |- ( G : om --> ( ZZ>= ` C ) <-> ( G Fn om /\ ran G C_ ( ZZ>= ` C ) ) )
16	11, 14, 15	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ph -> G : om --> ( ZZ>= ` C ) )
17	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> C e. ZZ )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> y e. om )
19	17, 9, 18	frec2uzzd 10545	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. om ) -> ( G ` y ) e. ZZ )
20	19	3adant3 1020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( G ` y ) e. ZZ )
21	20	zred 9495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( G ` y ) e. RR )
22	21	ltnrd 8184	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> -. ( G ` y ) < ( G ` y ) )
23	22	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> -. ( G ` y ) < ( G ` y ) )
24		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( G ` y ) = ( G ` z ) )
25	24	breq2d 4056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( ( G ` y ) < ( G ` y ) <-> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
26	23, 25	mtbid 674	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> -. ( G ` y ) < ( G ` z ) )
27	17	3adant3 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> C e. ZZ )
28		simp2 1001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> y e. om )
29		simp3 1002	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> z e. om )
30	27, 9, 28, 29	frec2uzltd 10548	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( y e. z -> ( G ` y ) < ( G ` z ) ) )
31	30	con3d 632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( -. ( G ` y ) < ( G ` z ) -> -. y e. z ) )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( -. ( G ` y ) < ( G ` z ) -> -. y e. z ) )
33	26, 32	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> -. y e. z )
34	24	breq1d 4054	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( ( G ` y ) < ( G ` y ) <-> ( G ` z ) < ( G ` y ) ) )
35	23, 34	mtbid 674	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> -. ( G ` z ) < ( G ` y ) )
36	27, 9, 29, 28	frec2uzltd 10548	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( z e. y -> ( G ` z ) < ( G ` y ) ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( z e. y -> ( G ` z ) < ( G ` y ) ) )
38	35, 37	mtod 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> -. z e. y )
39		nntri3 6583	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y = z <-> ( -. y e. z /\ -. z e. y ) ) )
40	39	3adant1 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( y = z <-> ( -. y e. z /\ -. z e. y ) ) )
41	40	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> ( y = z <-> ( -. y e. z /\ -. z e. y ) ) )
42	33, 38, 41	mpbir2and 947	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) /\ ( G ` y ) = ( G ` z ) ) -> y = z )
43	42	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) )
44	43	3expb 1207	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) )
45	44	ralrimivva 2588	. . 3 |- ( ph -> A. y e. om A. z e. om ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) )
46		dff13 5837	. . 3 |- ( G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) <-> ( G : om --> ( ZZ>= ` C ) /\ A. y e. om A. z e. om ( ( G ` y ) = ( G ` z ) -> y = z ) ) )
47	16, 45, 46	sylanbrc 417	. 2 |- ( ph -> G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) )
48		dff1o5 5531	. 2 |- ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) <-> ( G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) /\ ran G = ( ZZ>= ` C ) ) )
49	47, 12, 48	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   A.wal 1371   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   |-> cmpt 4105   omcom 4638   ran crn 4676   Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5944  freccfrec 6476   1c1 7926   + caddc 7928   < clt 8107   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649

This theorem is referenced by:  frec2uzisod  10552  frecuzrdglem  10556  frecuzrdgtcl  10557  frecuzrdgsuc  10559  frecuzrdgg  10561  frecuzrdgdomlem  10562  frecuzrdgfunlem  10564  frecuzrdgsuctlem  10568  uzenom  10570  frecfzennn  10571  frechashgf1o  10573  frec2uzled  10574  hashfz1  10928  hashen  10929  nninfctlemfo  12361  ennnfonelemjn  12773  ennnfonelem1  12778  ennnfonelemhf1o  12784  ennnfonelemrn  12790  ssnnctlemct  12817