Theorem nnti 15639

Description: Ordering on a natural number generates a tight apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnti.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
nnti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u _E v /\ -. v _E u ) ) )

Proof of Theorem nnti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> u e. A )
2		nnti.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. om )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> A e. om )
4		elnn 4642	. . . 4 |- ( ( u e. A /\ A e. om ) -> u e. om )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> u e. om )
6		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> v e. A )
7		elnn 4642	. . . 4 |- ( ( v e. A /\ A e. om ) -> v e. om )
8	6, 3, 7	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> v e. om )
9		nntri3 6555	. . 3 |- ( ( u e. om /\ v e. om ) -> ( u = v <-> ( -. u e. v /\ -. v e. u ) ) )
10	5, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u e. v /\ -. v e. u ) ) )
11		epel 4327	. . . 4 |- ( u _E v <-> u e. v )
12	11	notbii 669	. . 3 |- ( -. u _E v <-> -. u e. v )
13		epel 4327	. . . 4 |- ( v _E u <-> v e. u )
14	13	notbii 669	. . 3 |- ( -. v _E u <-> -. v e. u )
15	12, 14	anbi12i 460	. 2 |- ( ( -. u _E v /\ -. v _E u ) <-> ( -. u e. v /\ -. v e. u ) )
16	10, 15	bitr4di 198	1 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u _E v /\ -. v _E u ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   _E cep 4322   omcom 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627

This theorem is referenced by: (None)