Theorem nnti 14595

Description: Ordering on a natural number generates a tight apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnti.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
nnti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u _E v /\ -. v _E u ) ) )

Proof of Theorem nnti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> u e. A )
2		nnti.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. om )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> A e. om )
4		elnn 4604	. . . 4 |- ( ( u e. A /\ A e. om ) -> u e. om )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> u e. om )
6		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> v e. A )
7		elnn 4604	. . . 4 |- ( ( v e. A /\ A e. om ) -> v e. om )
8	6, 3, 7	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> v e. om )
9		nntri3 6494	. . 3 |- ( ( u e. om /\ v e. om ) -> ( u = v <-> ( -. u e. v /\ -. v e. u ) ) )
10	5, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u e. v /\ -. v e. u ) ) )
11		epel 4291	. . . 4 |- ( u _E v <-> u e. v )
12	11	notbii 668	. . 3 |- ( -. u _E v <-> -. u e. v )
13		epel 4291	. . . 4 |- ( v _E u <-> v e. u )
14	13	notbii 668	. . 3 |- ( -. v _E u <-> -. v e. u )
15	12, 14	anbi12i 460	. 2 |- ( ( -. u _E v /\ -. v _E u ) <-> ( -. u e. v /\ -. v e. u ) )
16	10, 15	bitr4di 198	1 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u _E v /\ -. v _E u ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4002   _E cep 4286   omcom 4588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-tr 4101  df-eprel 4288  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589

This theorem is referenced by: (None)