Theorem nnti 15142

Description: Ordering on a natural number generates a tight apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnti.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
nnti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u _E v /\ -. v _E u ) ) )

Proof of Theorem nnti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> u e. A )
2		nnti.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. om )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> A e. om )
4		elnn 4620	. . . 4 |- ( ( u e. A /\ A e. om ) -> u e. om )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> u e. om )
6		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> v e. A )
7		elnn 4620	. . . 4 |- ( ( v e. A /\ A e. om ) -> v e. om )
8	6, 3, 7	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> v e. om )
9		nntri3 6516	. . 3 |- ( ( u e. om /\ v e. om ) -> ( u = v <-> ( -. u e. v /\ -. v e. u ) ) )
10	5, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u e. v /\ -. v e. u ) ) )
11		epel 4307	. . . 4 |- ( u _E v <-> u e. v )
12	11	notbii 669	. . 3 |- ( -. u _E v <-> -. u e. v )
13		epel 4307	. . . 4 |- ( v _E u <-> v e. u )
14	13	notbii 669	. . 3 |- ( -. v _E u <-> -. v e. u )
15	12, 14	anbi12i 460	. 2 |- ( ( -. u _E v /\ -. v _E u ) <-> ( -. u e. v /\ -. v e. u ) )
16	10, 15	bitr4di 198	1 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u _E v /\ -. v _E u ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   _E cep 4302   omcom 4604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-tr 4117  df-eprel 4304  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605

This theorem is referenced by: (None)