Theorem nnti 13874

Description: Ordering on a natural number generates a tight apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnti.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
nnti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u _E v /\ -. v _E u ) ) )

Proof of Theorem nnti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 521	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> u e. A )
2		nnti.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. om )
3	2	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> A e. om )
4		elnn 4583	. . . 4 |- ( ( u e. A /\ A e. om ) -> u e. om )
5	1, 3, 4	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> u e. om )
6		simprr 522	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> v e. A )
7		elnn 4583	. . . 4 |- ( ( v e. A /\ A e. om ) -> v e. om )
8	6, 3, 7	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> v e. om )
9		nntri3 6465	. . 3 |- ( ( u e. om /\ v e. om ) -> ( u = v <-> ( -. u e. v /\ -. v e. u ) ) )
10	5, 8, 9	syl2anc 409	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u e. v /\ -. v e. u ) ) )
11		epel 4270	. . . 4 |- ( u _E v <-> u e. v )
12	11	notbii 658	. . 3 |- ( -. u _E v <-> -. u e. v )
13		epel 4270	. . . 4 |- ( v _E u <-> v e. u )
14	13	notbii 658	. . 3 |- ( -. v _E u <-> -. v e. u )
15	12, 14	anbi12i 456	. 2 |- ( ( -. u _E v /\ -. v _E u ) <-> ( -. u e. v /\ -. v e. u ) )
16	10, 15	bitr4di 197	1 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u _E v /\ -. v _E u ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   _E cep 4265   omcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568

This theorem is referenced by: (None)