Theorem nnti 13191

Description: Ordering on a natural number generates a tight apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnti.a	|- ( ph -> A e. om )

Assertion

Ref	Expression
nnti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u _E v /\ -. v _E u ) ) )

Proof of Theorem nnti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 520	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> u e. A )
2		nnti.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. om )
3	2	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> A e. om )
4		elnn 4519	. . . 4 |- ( ( u e. A /\ A e. om ) -> u e. om )
5	1, 3, 4	syl2anc 408	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> u e. om )
6		simprr 521	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> v e. A )
7		elnn 4519	. . . 4 |- ( ( v e. A /\ A e. om ) -> v e. om )
8	6, 3, 7	syl2anc 408	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> v e. om )
9		nntri3 6393	. . 3 |- ( ( u e. om /\ v e. om ) -> ( u = v <-> ( -. u e. v /\ -. v e. u ) ) )
10	5, 8, 9	syl2anc 408	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u e. v /\ -. v e. u ) ) )
11		epel 4214	. . . 4 |- ( u _E v <-> u e. v )
12	11	notbii 657	. . 3 |- ( -. u _E v <-> -. u e. v )
13		epel 4214	. . . 4 |- ( v _E u <-> v e. u )
14	13	notbii 657	. . 3 |- ( -. v _E u <-> -. v e. u )
15	12, 14	anbi12i 455	. 2 |- ( ( -. u _E v /\ -. v _E u ) <-> ( -. u e. v /\ -. v e. u ) )
16	10, 15	syl6bbr 197	1 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u _E v /\ -. v _E u ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   _E cep 4209   omcom 4504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505

This theorem is referenced by: (None)