Theorem nq0nn 7625

Description: Decomposition of a nonnegative fraction into numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0nn	|- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )

Distinct variable group:   v, A, w

Proof of Theorem nq0nn

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsi 6732	. . 3 |- ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) -> E. a e. ( om X. N. ) A = [ a ] ~Q0 )
2		elxpi 4734	. . . . . . 7 |- ( a e. ( om X. N. ) -> E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) )
3	2	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( om X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> ( E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) )
4		19.41vv 1950	. . . . . 6 |- ( E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) <-> ( E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) )
5	3, 4	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( a e. ( om X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) )
6		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> ( w e. om /\ v e. N. ) )
7		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> A = [ a ] ~Q0 )
8		eceq1 6713	. . . . . . . . 9 |- ( a = <. w , v >. -> [ a ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> [ a ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
10	7, 9	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> A = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
11	6, 10	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
12	11	2eximi 1647	. . . . 5 |- ( E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
13	5, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( a e. ( om X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
14	13	rexlimiva 2643	. . 3 |- ( E. a e. ( om X. N. ) A = [ a ] ~Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
15	1, 14	syl 14	. 2 |- ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
16		df-nq0 7608	. 2 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
17	15, 16	eleq2s 2324	1 |- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   E.wrex 2509   <.cop 3669   omcom 4681   X. cxp 4716   [cec 6676   /.cqs 6677   N.cnpi 7455   ~_Q0 ceq0 7469  Q₀cnq0 7470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-ec 6680  df-qs 6684  df-nq0 7608

This theorem is referenced by:  nqpnq0nq  7636  nq0m0r  7639  nq0a0  7640  nq02m  7648