ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq0nn Unicode version

Theorem nq0nn 7001
Description: Decomposition of a nonnegative fraction into numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq0nn  |-  ( A  e. Q0  ->  E. w E. v
( ( w  e. 
om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  ) )
Distinct variable group:    v, A, w

Proof of Theorem nq0nn
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elqsi 6344 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )  ->  E. a  e.  ( om  X.  N. ) A  =  [
a ] ~Q0  )
2 elxpi 4454 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( om  X.  N. )  ->  E. w E. v ( a  = 
<. w ,  v >.  /\  ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )
) )
32anim1i 333 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( om 
X.  N. )  /\  A  =  [ a ] ~Q0  )  ->  ( E. w E. v ( a  =  <. w ,  v
>.  /\  ( w  e. 
om  /\  v  e.  N. ) )  /\  A  =  [ a ] ~Q0  ) )
4 19.41vv 1831 . . . . . 6  |-  ( E. w E. v ( ( a  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ] ~Q0  )  <->  ( E. w E. v ( a  = 
<. w ,  v >.  /\  ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ] ~Q0  ) )
53, 4sylibr 132 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( om 
X.  N. )  /\  A  =  [ a ] ~Q0  )  ->  E. w E. v ( ( a  =  <. w ,  v
>.  /\  ( w  e. 
om  /\  v  e.  N. ) )  /\  A  =  [ a ] ~Q0  ) )
6 simplr 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ] ~Q0  )  ->  ( w  e.  om  /\  v  e. 
N. ) )
7 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ] ~Q0  )  ->  A  =  [ a ] ~Q0  )
8 eceq1 6327 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  <. w ,  v
>.  ->  [ a ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  )
98ad2antrr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ] ~Q0  )  ->  [ a ] ~Q0  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  )
107, 9eqtrd 2120 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ] ~Q0  )  ->  A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  )
116, 10jca 300 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ] ~Q0  )  ->  ( (
w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  ) )
12112eximi 1537 . . . . 5  |-  ( E. w E. v ( ( a  =  <. w ,  v >.  /\  (
w  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  /\  A  =  [ a ] ~Q0  )  ->  E. w E. v ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  ) )
135, 12syl 14 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( om 
X.  N. )  /\  A  =  [ a ] ~Q0  )  ->  E. w E. v ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  ) )
1413rexlimiva 2484 . . 3  |-  ( E. a  e.  ( om 
X.  N. ) A  =  [ a ] ~Q0  ->  E. w E. v
( ( w  e. 
om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  ) )
151, 14syl 14 . 2  |-  ( A  e.  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )  ->  E. w E. v ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  ) )
16 df-nq0 6984 . 2  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
1715, 16eleq2s 2182 1  |-  ( A  e. Q0  ->  E. w E. v
( ( w  e. 
om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   E.wrex 2360   <.cop 3449   omcom 4405    X. cxp 4436   [cec 6290   /.cqs 6291   N.cnpi 6831   ~Q0 ceq0 6845  Q0cnq0 6846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-cnv 4446  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-ec 6294  df-qs 6298  df-nq0 6984
This theorem is referenced by:  nqpnq0nq  7012  nq0m0r  7015  nq0a0  7016  nq02m  7024
  Copyright terms: Public domain W3C validator