Theorem nq0nn 7509

Description: Decomposition of a nonnegative fraction into numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0nn	|- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )

Distinct variable group:   v, A, w

Proof of Theorem nq0nn

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsi 6646	. . 3 |- ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) -> E. a e. ( om X. N. ) A = [ a ] ~Q0 )
2		elxpi 4679	. . . . . . 7 |- ( a e. ( om X. N. ) -> E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) )
3	2	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( om X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> ( E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) )
4		19.41vv 1918	. . . . . 6 |- ( E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) <-> ( E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) )
5	3, 4	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( a e. ( om X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) )
6		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> ( w e. om /\ v e. N. ) )
7		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> A = [ a ] ~Q0 )
8		eceq1 6627	. . . . . . . . 9 |- ( a = <. w , v >. -> [ a ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> [ a ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
10	7, 9	eqtrd 2229	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> A = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
11	6, 10	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
12	11	2eximi 1615	. . . . 5 |- ( E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
13	5, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( a e. ( om X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
14	13	rexlimiva 2609	. . 3 |- ( E. a e. ( om X. N. ) A = [ a ] ~Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
15	1, 14	syl 14	. 2 |- ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
16		df-nq0 7492	. 2 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
17	15, 16	eleq2s 2291	1 |- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   E.wrex 2476   <.cop 3625   omcom 4626   X. cxp 4661   [cec 6590   /.cqs 6591   N.cnpi 7339   ~_Q0 ceq0 7353  Q₀cnq0 7354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-ec 6594  df-qs 6598  df-nq0 7492

This theorem is referenced by:  nqpnq0nq  7520  nq0m0r  7523  nq0a0  7524  nq02m  7532