Theorem nq0nn 7455

Description: Decomposition of a nonnegative fraction into numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0nn	|- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )

Distinct variable group:   v, A, w

Proof of Theorem nq0nn

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsi 6601	. . 3 |- ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) -> E. a e. ( om X. N. ) A = [ a ] ~Q0 )
2		elxpi 4654	. . . . . . 7 |- ( a e. ( om X. N. ) -> E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) )
3	2	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( om X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> ( E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) )
4		19.41vv 1913	. . . . . 6 |- ( E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) <-> ( E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) )
5	3, 4	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( a e. ( om X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) )
6		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> ( w e. om /\ v e. N. ) )
7		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> A = [ a ] ~Q0 )
8		eceq1 6584	. . . . . . . . 9 |- ( a = <. w , v >. -> [ a ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> [ a ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
10	7, 9	eqtrd 2220	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> A = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
11	6, 10	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
12	11	2eximi 1611	. . . . 5 |- ( E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
13	5, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( a e. ( om X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
14	13	rexlimiva 2599	. . 3 |- ( E. a e. ( om X. N. ) A = [ a ] ~Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
15	1, 14	syl 14	. 2 |- ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
16		df-nq0 7438	. 2 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
17	15, 16	eleq2s 2282	1 |- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   E.wrex 2466   <.cop 3607   omcom 4601   X. cxp 4636   [cec 6547   /.cqs 6548   N.cnpi 7285   ~_Q0 ceq0 7299  Q₀cnq0 7300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-cnv 4646  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-ec 6551  df-qs 6555  df-nq0 7438

This theorem is referenced by:  nqpnq0nq  7466  nq0m0r  7469  nq0a0  7470  nq02m  7478