Theorem nq0nn 7443

Description: Decomposition of a nonnegative fraction into numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0nn	|- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )

Distinct variable group:   v, A, w

Proof of Theorem nq0nn

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsi 6589	. . 3 |- ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) -> E. a e. ( om X. N. ) A = [ a ] ~Q0 )
2		elxpi 4644	. . . . . . 7 |- ( a e. ( om X. N. ) -> E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) )
3	2	anim1i 340	. . . . . 6 |- ( ( a e. ( om X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> ( E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) )
4		19.41vv 1903	. . . . . 6 |- ( E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) <-> ( E. w E. v ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) )
5	3, 4	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( a e. ( om X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) )
6		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> ( w e. om /\ v e. N. ) )
7		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> A = [ a ] ~Q0 )
8		eceq1 6572	. . . . . . . . 9 |- ( a = <. w , v >. -> [ a ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
9	8	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> [ a ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
10	7, 9	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> A = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
11	6, 10	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
12	11	2eximi 1601	. . . . 5 |- ( E. w E. v ( ( a = <. w , v >. /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
13	5, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ( a e. ( om X. N. ) /\ A = [ a ] ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
14	13	rexlimiva 2589	. . 3 |- ( E. a e. ( om X. N. ) A = [ a ] ~Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
15	1, 14	syl 14	. 2 |- ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
16		df-nq0 7426	. 2 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
17	15, 16	eleq2s 2272	1 |- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   E.wrex 2456   <.cop 3597   omcom 4591   X. cxp 4626   [cec 6535   /.cqs 6536   N.cnpi 7273   ~_Q0 ceq0 7287  Q₀cnq0 7288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-ec 6539  df-qs 6543  df-nq0 7426

This theorem is referenced by:  nqpnq0nq  7454  nq0m0r  7457  nq0a0  7458  nq02m  7466