ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq0a0 Unicode version

Theorem nq0a0 7431
Description: Addition with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq0a0  |-  ( A  e. Q0  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  A )

Proof of Theorem nq0a0
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 7416 . 2  |-  ( A  e. Q0  ->  E. w E. v
( ( w  e. 
om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  ) )
2 df-0nq0 7400 . . . . . 6  |- 0Q0  =  [ <. (/) ,  1o >. ] ~Q0
3 oveq12 5874 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\ 0Q0  =  [ <. (/) ,  1o >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  ( [ <. w ,  v >. ] ~Q0 +Q0  [ <.
(/) ,  1o >. ] ~Q0  ) )
42, 3mpan2 425 . . . . 5  |-  ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  ( [ <. w ,  v >. ] ~Q0 +Q0  [ <.
(/) ,  1o >. ] ~Q0  ) )
5 peano1 4587 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
6 1pi 7289 . . . . . 6  |-  1o  e.  N.
7 addnnnq0 7423 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  ( (/)  e.  om  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. w ,  v >. ] ~Q0 +Q0  [ <. (/) ,  1o >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o )
>. ] ~Q0  )
85, 6, 7mpanr12 439 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( [ <. w ,  v >. ] ~Q0 +Q0  [ <.
(/) ,  1o >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o )
>. ] ~Q0  )
94, 8sylan9eqr 2230 . . . 4  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  [ <. ( ( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o ) >. ] ~Q0  )
10 pinn 7283 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  N.  ->  v  e.  om )
11 nnm0 6466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  om  ->  (
v  .o  (/) )  =  (/) )
1211oveq2d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  om  ->  (
( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) )  =  ( ( w  .o  1o )  +o  (/) ) )
1310, 12syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  N.  ->  (
( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) )  =  ( ( w  .o  1o )  +o  (/) ) )
14 nnm1 6516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  om  ->  (
w  .o  1o )  =  w )
1514oveq1d 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  om  ->  (
( w  .o  1o )  +o  (/) )  =  ( w  +o  (/) ) )
16 nna0 6465 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  om  ->  (
w  +o  (/) )  =  w )
1715, 16eqtrd 2208 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  om  ->  (
( w  .o  1o )  +o  (/) )  =  w )
1813, 17sylan9eqr 2230 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( ( w  .o  1o )  +o  (
v  .o  (/) ) )  =  w )
19 nnm1 6516 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  om  ->  (
v  .o  1o )  =  v )
2010, 19syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  N.  ->  (
v  .o  1o )  =  v )
2120adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( v  .o  1o )  =  v )
2218, 21opeq12d 3782 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  -> 
<. ( ( w  .o  1o )  +o  (
v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o ) >.  =  <. w ,  v >. )
2322eceq1d 6561 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  [ <. ( ( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o ) >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )
2423eqeq2d 2187 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( A  =  [ <. ( ( w  .o  1o )  +o  (
v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o ) >. ] ~Q0  <-> 
A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  ) )
2524biimpar 297 . . . 4  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  A  =  [ <. ( ( w  .o  1o )  +o  (
v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o ) >. ] ~Q0  )
269, 25eqtr4d 2211 . . 3  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  A )
2726exlimivv 1894 . 2  |-  ( E. w E. v ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  A )
281, 27syl 14 1  |-  ( A  e. Q0  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353   E.wex 1490    e. wcel 2146   (/)c0 3420   <.cop 3592   omcom 4583  (class class class)co 5865   1oc1o 6400    +o coa 6404    .o comu 6405   [cec 6523   N.cnpi 7246   ~Q0 ceq0 7260  Q0cnq0 7261  0Q0c0q0 7262   +Q0 cplq0 7263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-omul 6412  df-er 6525  df-ec 6527  df-qs 6531  df-ni 7278  df-mi 7280  df-enq0 7398  df-nq0 7399  df-0nq0 7400  df-plq0 7401
This theorem is referenced by:  prarloclem5  7474
  Copyright terms: Public domain W3C validator