ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq0a0 Unicode version

Theorem nq0a0 7284
Description: Addition with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq0a0  |-  ( A  e. Q0  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  A )

Proof of Theorem nq0a0
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 7269 . 2  |-  ( A  e. Q0  ->  E. w E. v
( ( w  e. 
om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  ) )
2 df-0nq0 7253 . . . . . 6  |- 0Q0  =  [ <. (/) ,  1o >. ] ~Q0
3 oveq12 5786 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  /\ 0Q0  =  [ <. (/) ,  1o >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  ( [ <. w ,  v >. ] ~Q0 +Q0  [ <.
(/) ,  1o >. ] ~Q0  ) )
42, 3mpan2 421 . . . . 5  |-  ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  ( [ <. w ,  v >. ] ~Q0 +Q0  [ <.
(/) ,  1o >. ] ~Q0  ) )
5 peano1 4511 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
6 1pi 7142 . . . . . 6  |-  1o  e.  N.
7 addnnnq0 7276 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  ( (/)  e.  om  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. w ,  v >. ] ~Q0 +Q0  [ <. (/) ,  1o >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o )
>. ] ~Q0  )
85, 6, 7mpanr12 435 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( [ <. w ,  v >. ] ~Q0 +Q0  [ <.
(/) ,  1o >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o )
>. ] ~Q0  )
94, 8sylan9eqr 2194 . . . 4  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  [ <. ( ( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o ) >. ] ~Q0  )
10 pinn 7136 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  N.  ->  v  e.  om )
11 nnm0 6374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  om  ->  (
v  .o  (/) )  =  (/) )
1211oveq2d 5793 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  om  ->  (
( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) )  =  ( ( w  .o  1o )  +o  (/) ) )
1310, 12syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  N.  ->  (
( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) )  =  ( ( w  .o  1o )  +o  (/) ) )
14 nnm1 6423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  om  ->  (
w  .o  1o )  =  w )
1514oveq1d 5792 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  om  ->  (
( w  .o  1o )  +o  (/) )  =  ( w  +o  (/) ) )
16 nna0 6373 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  om  ->  (
w  +o  (/) )  =  w )
1715, 16eqtrd 2172 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  om  ->  (
( w  .o  1o )  +o  (/) )  =  w )
1813, 17sylan9eqr 2194 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( ( w  .o  1o )  +o  (
v  .o  (/) ) )  =  w )
19 nnm1 6423 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  om  ->  (
v  .o  1o )  =  v )
2010, 19syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  N.  ->  (
v  .o  1o )  =  v )
2120adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( v  .o  1o )  =  v )
2218, 21opeq12d 3716 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  -> 
<. ( ( w  .o  1o )  +o  (
v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o ) >.  =  <. w ,  v >. )
2322eceq1d 6468 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  [ <. ( ( w  .o  1o )  +o  ( v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o ) >. ] ~Q0  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )
2423eqeq2d 2151 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( A  =  [ <. ( ( w  .o  1o )  +o  (
v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o ) >. ] ~Q0  <-> 
A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  ) )
2524biimpar 295 . . . 4  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  A  =  [ <. ( ( w  .o  1o )  +o  (
v  .o  (/) ) ) ,  ( v  .o  1o ) >. ] ~Q0  )
269, 25eqtr4d 2175 . . 3  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  A )
2726exlimivv 1868 . 2  |-  ( E. w E. v ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  A )
281, 27syl 14 1  |-  ( A  e. Q0  ->  ( A +Q0 0Q0 )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   (/)c0 3363   <.cop 3530   omcom 4507  (class class class)co 5777   1oc1o 6309    +o coa 6313    .o comu 6314   [cec 6430   N.cnpi 7099   ~Q0 ceq0 7113  Q0cnq0 7114  0Q0c0q0 7115   +Q0 cplq0 7116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-iord 4291  df-on 4293  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-irdg 6270  df-1o 6316  df-oadd 6320  df-omul 6321  df-er 6432  df-ec 6434  df-qs 6438  df-ni 7131  df-mi 7133  df-enq0 7251  df-nq0 7252  df-0nq0 7253  df-plq0 7254
This theorem is referenced by:  prarloclem5  7327
  Copyright terms: Public domain W3C validator