Theorem nq0a0 7524

Description: Addition with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0a0	|- ( A e. Q0 -> ( A +Q0 0Q0 ) = A )

Proof of Theorem nq0a0

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7509	. 2 |- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
2		df-0nq0 7493	. . . . . 6 |- 0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0
3		oveq12 5931	. . . . . 6 |- ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ 0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 0Q0 ) = ( [ <. w , v >. ] ~Q0 +Q0 [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) )
4	2, 3	mpan2 425	. . . . 5 |- ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 -> ( A +Q0 0Q0 ) = ( [ <. w , v >. ] ~Q0 +Q0 [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) )
5		peano1 4630	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		1pi 7382	. . . . . 6 |- 1o e. N.
7		addnnnq0 7516	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( (/) e. om /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. w , v >. ] ~Q0 +Q0 [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanr12 439	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( [ <. w , v >. ] ~Q0 +Q0 [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2251	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 0Q0 ) = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 )
10		pinn 7376	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. N. -> v e. om )
11		nnm0 6533	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. om -> ( v .o (/) ) = (/) )
12	11	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) = ( ( w .o 1o ) +o (/) ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( v e. N. -> ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) = ( ( w .o 1o ) +o (/) ) )
14		nnm1 6583	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( w .o 1o ) = w )
15	14	oveq1d 5937	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( ( w .o 1o ) +o (/) ) = ( w +o (/) ) )
16		nna0 6532	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( w +o (/) ) = w )
17	15, 16	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 |- ( w e. om -> ( ( w .o 1o ) +o (/) ) = w )
18	13, 17	sylan9eqr 2251	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) = w )
19		nnm1 6583	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( v .o 1o ) = v )
20	10, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( v e. N. -> ( v .o 1o ) = v )
21	20	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( v .o 1o ) = v )
22	18, 21	opeq12d 3816	. . . . . . 7 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. = <. w , v >. )
23	22	eceq1d 6628	. . . . . 6 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
24	23	eqeq2d 2208	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( A = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 <-> A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
25	24	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> A = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 )
26	9, 25	eqtr4d 2232	. . 3 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 0Q0 ) = A )
27	26	exlimivv 1911	. 2 |- ( E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 0Q0 ) = A )
28	1, 27	syl 14	1 |- ( A e. Q0 -> ( A +Q0 0Q0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   (/)c0 3450   <.cop 3625   omcom 4626  (class class class)co 5922   1oc1o 6467   +o coa 6471   .o comu 6472   [cec 6590   N.cnpi 7339   ~_Q0 ceq0 7353  Q₀cnq0 7354  0_Q0c0q0 7355   +_Q0 cplq0 7356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-mi 7373  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7567