Theorem nq0a0 7447

Description: Addition with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0a0	|- ( A e. Q0 -> ( A +Q0 0Q0 ) = A )

Proof of Theorem nq0a0

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7432	. 2 |- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
2		df-0nq0 7416	. . . . . 6 |- 0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0
3		oveq12 5878	. . . . . 6 |- ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ 0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 0Q0 ) = ( [ <. w , v >. ] ~Q0 +Q0 [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) )
4	2, 3	mpan2 425	. . . . 5 |- ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 -> ( A +Q0 0Q0 ) = ( [ <. w , v >. ] ~Q0 +Q0 [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) )
5		peano1 4590	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		1pi 7305	. . . . . 6 |- 1o e. N.
7		addnnnq0 7439	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( (/) e. om /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. w , v >. ] ~Q0 +Q0 [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanr12 439	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( [ <. w , v >. ] ~Q0 +Q0 [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2232	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 0Q0 ) = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 )
10		pinn 7299	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. N. -> v e. om )
11		nnm0 6470	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. om -> ( v .o (/) ) = (/) )
12	11	oveq2d 5885	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) = ( ( w .o 1o ) +o (/) ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( v e. N. -> ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) = ( ( w .o 1o ) +o (/) ) )
14		nnm1 6520	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( w .o 1o ) = w )
15	14	oveq1d 5884	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( ( w .o 1o ) +o (/) ) = ( w +o (/) ) )
16		nna0 6469	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( w +o (/) ) = w )
17	15, 16	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 |- ( w e. om -> ( ( w .o 1o ) +o (/) ) = w )
18	13, 17	sylan9eqr 2232	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) = w )
19		nnm1 6520	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( v .o 1o ) = v )
20	10, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( v e. N. -> ( v .o 1o ) = v )
21	20	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( v .o 1o ) = v )
22	18, 21	opeq12d 3784	. . . . . . 7 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. = <. w , v >. )
23	22	eceq1d 6565	. . . . . 6 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
24	23	eqeq2d 2189	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( A = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 <-> A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
25	24	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> A = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 )
26	9, 25	eqtr4d 2213	. . 3 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 0Q0 ) = A )
27	26	exlimivv 1896	. 2 |- ( E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 0Q0 ) = A )
28	1, 27	syl 14	1 |- ( A e. Q0 -> ( A +Q0 0Q0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   (/)c0 3422   <.cop 3594   omcom 4586  (class class class)co 5869   1oc1o 6404   +o coa 6408   .o comu 6409   [cec 6527   N.cnpi 7262   ~_Q0 ceq0 7276  Q₀cnq0 7277  0_Q0c0q0 7278   +_Q0 cplq0 7279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-mi 7296  df-enq0 7414  df-nq0 7415  df-0nq0 7416  df-plq0 7417

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7490