Theorem nq0a0 7788

Description: Addition with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0a0	|- ( A e. Q0 -> ( A +Q0 0Q0 ) = A )

Proof of Theorem nq0a0

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7773	. 2 |- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
2		df-0nq0 7757	. . . . . 6 |- 0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0
3		oveq12 6067	. . . . . 6 |- ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ 0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 0Q0 ) = ( [ <. w , v >. ] ~Q0 +Q0 [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) )
4	2, 3	mpan2 425	. . . . 5 |- ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 -> ( A +Q0 0Q0 ) = ( [ <. w , v >. ] ~Q0 +Q0 [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) )
5		peano1 4721	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		1pi 7646	. . . . . 6 |- 1o e. N.
7		addnnnq0 7780	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( (/) e. om /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. w , v >. ] ~Q0 +Q0 [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanr12 439	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( [ <. w , v >. ] ~Q0 +Q0 [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2289	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 0Q0 ) = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 )
10		pinn 7640	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. N. -> v e. om )
11		nnm0 6721	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. om -> ( v .o (/) ) = (/) )
12	11	oveq2d 6074	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) = ( ( w .o 1o ) +o (/) ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( v e. N. -> ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) = ( ( w .o 1o ) +o (/) ) )
14		nnm1 6771	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( w .o 1o ) = w )
15	14	oveq1d 6073	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( ( w .o 1o ) +o (/) ) = ( w +o (/) ) )
16		nna0 6720	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( w +o (/) ) = w )
17	15, 16	eqtrd 2267	. . . . . . . . 9 |- ( w e. om -> ( ( w .o 1o ) +o (/) ) = w )
18	13, 17	sylan9eqr 2289	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) = w )
19		nnm1 6771	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( v .o 1o ) = v )
20	10, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( v e. N. -> ( v .o 1o ) = v )
21	20	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( v .o 1o ) = v )
22	18, 21	opeq12d 3896	. . . . . . 7 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. = <. w , v >. )
23	22	eceq1d 6816	. . . . . 6 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
24	23	eqeq2d 2246	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( A = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 <-> A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
25	24	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> A = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 )
26	9, 25	eqtr4d 2270	. . 3 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 0Q0 ) = A )
27	26	exlimivv 1948	. 2 |- ( E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 0Q0 ) = A )
28	1, 27	syl 14	1 |- ( A e. Q0 -> ( A +Q0 0Q0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   (/)c0 3512   <.cop 3697   omcom 4717  (class class class)co 6058   1oc1o 6653   +o coa 6657   .o comu 6658   [cec 6778   N.cnpi 7603   ~_Q0 ceq0 7617  Q₀cnq0 7618  0_Q0c0q0 7619   +_Q0 cplq0 7620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-mi 7637  df-enq0 7755  df-nq0 7756  df-0nq0 7757  df-plq0 7758

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7831