Theorem nq0a0 7431

Description: Addition with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0a0	|- ( A e. Q0 -> ( A +Q0 0Q0 ) = A )

Proof of Theorem nq0a0

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7416	. 2 |- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
2		df-0nq0 7400	. . . . . 6 |- 0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0
3		oveq12 5874	. . . . . 6 |- ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ 0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 0Q0 ) = ( [ <. w , v >. ] ~Q0 +Q0 [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) )
4	2, 3	mpan2 425	. . . . 5 |- ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 -> ( A +Q0 0Q0 ) = ( [ <. w , v >. ] ~Q0 +Q0 [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) )
5		peano1 4587	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		1pi 7289	. . . . . 6 |- 1o e. N.
7		addnnnq0 7423	. . . . . 6 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( (/) e. om /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. w , v >. ] ~Q0 +Q0 [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanr12 439	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( [ <. w , v >. ] ~Q0 +Q0 [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2230	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 0Q0 ) = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 )
10		pinn 7283	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. N. -> v e. om )
11		nnm0 6466	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. om -> ( v .o (/) ) = (/) )
12	11	oveq2d 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) = ( ( w .o 1o ) +o (/) ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( v e. N. -> ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) = ( ( w .o 1o ) +o (/) ) )
14		nnm1 6516	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( w .o 1o ) = w )
15	14	oveq1d 5880	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( ( w .o 1o ) +o (/) ) = ( w +o (/) ) )
16		nna0 6465	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( w +o (/) ) = w )
17	15, 16	eqtrd 2208	. . . . . . . . 9 |- ( w e. om -> ( ( w .o 1o ) +o (/) ) = w )
18	13, 17	sylan9eqr 2230	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) = w )
19		nnm1 6516	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. om -> ( v .o 1o ) = v )
20	10, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( v e. N. -> ( v .o 1o ) = v )
21	20	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( v .o 1o ) = v )
22	18, 21	opeq12d 3782	. . . . . . 7 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. = <. w , v >. )
23	22	eceq1d 6561	. . . . . 6 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
24	23	eqeq2d 2187	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( A = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 <-> A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
25	24	biimpar 297	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> A = [ <. ( ( w .o 1o ) +o ( v .o (/) ) ) , ( v .o 1o ) >. ] ~Q0 )
26	9, 25	eqtr4d 2211	. . 3 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 0Q0 ) = A )
27	26	exlimivv 1894	. 2 |- ( E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 0Q0 ) = A )
28	1, 27	syl 14	1 |- ( A e. Q0 -> ( A +Q0 0Q0 ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1490   e. wcel 2146   (/)c0 3420   <.cop 3592   omcom 4583  (class class class)co 5865   1oc1o 6400   +o coa 6404   .o comu 6405   [cec 6523   N.cnpi 7246   ~_Q0 ceq0 7260  Q₀cnq0 7261  0_Q0c0q0 7262   +_Q0 cplq0 7263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-omul 6412  df-er 6525  df-ec 6527  df-qs 6531  df-ni 7278  df-mi 7280  df-enq0 7398  df-nq0 7399  df-0nq0 7400  df-plq0 7401

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7474