ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0 Unicode version

Theorem nqnq0 7054
Description: A positive fraction is a nonnegative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0  |-  Q.  C_ Q0

Proof of Theorem nqnq0
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6961 . . . . 5  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
21eleq2i 2155 . . . 4  |-  ( y  e.  Q.  <->  y  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
3 vex 2623 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
43elqs 6357 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ( N. 
X.  N. ) /.  ~Q  ) 
<->  E. x  e.  ( N.  X.  N. )
y  =  [ x ]  ~Q  )
5 df-rex 2366 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( N. 
X.  N. ) y  =  [ x ]  ~Q  <->  E. x ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  =  [
x ]  ~Q  )
)
62, 4, 53bitri 205 . . 3  |-  ( y  e.  Q.  <->  E. x
( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  =  [
x ]  ~Q  )
)
7 elxpi 4467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E. u E. v ( x  = 
<. u ,  v >.  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
) )
8 nqnq0pi 7051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  [ <. u ,  v
>. ] ~Q0  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  )
98adantl 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ <. u ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  )
10 eceq1 6341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  [ x ] ~Q0  =  [ <. u ,  v >. ] ~Q0  )
11 eceq1 6341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  [ x ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  )
1210, 11eqeq12d 2103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( [ x ] ~Q0  =  [ x ]  ~Q  <->  [
<. u ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  ) )
1312adantr 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [
x ] ~Q0  =  [ x ]  ~Q 
<->  [ <. u ,  v
>. ] ~Q0  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  ) )
149, 13mpbird 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ x ] ~Q0  =  [ x ]  ~Q  )
15 pinn 6922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  N.  ->  u  e.  om )
16 opelxpi 4482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )  -> 
<. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) )
1715, 16sylan 278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )  -> 
<. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) )
1817adantl 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  <. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) )
19 eleq1 2151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( x  e.  ( om  X.  N. ) 
<-> 
<. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
2019adantr 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( x  e.  ( om  X.  N. ) 
<-> 
<. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
2118, 20mpbird 166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  x  e.  ( om  X.  N. )
)
22 enq0ex 7052 . . . . . . . . . . . 12  |- ~Q0  e.  _V
2322ecelqsi 6360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ x ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
24 df-nq0 7038 . . . . . . . . . . 11  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
2523, 24syl6eleqr 2182 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ x ] ~Q0  e. Q0 )
2621, 25syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ x ] ~Q0  e. Q0 )
2714, 26eqeltrrd 2166 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ x ]  ~Q  e. Q0 )
2827exlimivv 1825 . . . . . . 7  |-  ( E. u E. v ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ x ]  ~Q  e. Q0 )
297, 28syl 14 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ x ]  ~Q  e. Q0 )
3029adantr 271 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  =  [ x ]  ~Q  )  ->  [ x ]  ~Q  e. Q0 )
31 eleq1 2151 . . . . . 6  |-  ( y  =  [ x ]  ~Q  ->  ( y  e. Q0  <->  [ x ]  ~Q  e. Q0 ) )
3231adantl 272 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  =  [ x ]  ~Q  )  ->  ( y  e. Q0  <->  [ x ]  ~Q  e. Q0 ) )
3330, 32mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  =  [ x ]  ~Q  )  ->  y  e. Q0 )
3433exlimiv 1535 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  =  [
x ]  ~Q  )  ->  y  e. Q0 )
356, 34sylbi 120 . 2  |-  ( y  e.  Q.  ->  y  e. Q0 )
3635ssriv 3030 1  |-  Q.  C_ Q0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1290   E.wex 1427    e. wcel 1439   E.wrex 2361    C_ wss 3000   <.cop 3453   omcom 4418    X. cxp 4449   [cec 6304   /.cqs 6305   N.cnpi 6885    ~Q ceq 6892   Q.cnq 6893   ~Q0 ceq0 6899  Q0cnq0 6900
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6917  df-mi 6919  df-enq 6960  df-nqqs 6961  df-enq0 7037  df-nq0 7038
This theorem is referenced by:  prarloclem5  7113  prarloclemcalc  7115
  Copyright terms: Public domain W3C validator