Theorem nqnq0 7054

Description: A positive fraction is a nonnegative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0	|- Q. C_ Q0

Proof of Theorem nqnq0

Dummy variables v u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6961	. . . . 5 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2	1	eleq2i 2155	. . . 4 |- ( y e. Q. <-> y e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
3		vex 2623	. . . . 5 |- y e. _V
4	3	elqs 6357	. . . 4 |- ( y e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> E. x e. ( N. X. N. ) y = [ x ] ~Q )
5		df-rex 2366	. . . 4 |- ( E. x e. ( N. X. N. ) y = [ x ] ~Q <-> E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) )
6	2, 4, 5	3bitri 205	. . 3 |- ( y e. Q. <-> E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) )
7		elxpi 4467	. . . . . . 7 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E. u E. v ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) )
8		nqnq0pi 7051	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q )
9	8	adantl 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q )
10		eceq1 6341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. u , v >. -> [ x ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q0 )
11		eceq1 6341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. u , v >. -> [ x ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q )
12	10, 11	eqeq12d 2103	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. u , v >. -> ( [ x ] ~Q0 = [ x ] ~Q <-> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q ) )
13	12	adantr 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ x ] ~Q0 = [ x ] ~Q <-> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q ) )
14	9, 13	mpbird 166	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q0 = [ x ] ~Q )
15		pinn 6922	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. N. -> u e. om )
16		opelxpi 4482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. om /\ v e. N. ) -> <. u , v >. e. ( om X. N. ) )
17	15, 16	sylan 278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> <. u , v >. e. ( om X. N. ) )
18	17	adantl 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> <. u , v >. e. ( om X. N. ) )
19		eleq1 2151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. u , v >. -> ( x e. ( om X. N. ) <-> <. u , v >. e. ( om X. N. ) ) )
20	19	adantr 271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( x e. ( om X. N. ) <-> <. u , v >. e. ( om X. N. ) ) )
21	18, 20	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> x e. ( om X. N. ) )
22		enq0ex 7052	. . . . . . . . . . . 12 |- ~Q0 e. _V
23	22	ecelqsi 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( om X. N. ) -> [ x ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
24		df-nq0 7038	. . . . . . . . . . 11 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
25	23, 24	syl6eleqr 2182	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( om X. N. ) -> [ x ] ~Q0 e. Q0 )
26	21, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q0 e. Q0 )
27	14, 26	eqeltrrd 2166	. . . . . . . 8 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
28	27	exlimivv 1825	. . . . . . 7 |- ( E. u E. v ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
29	7, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
30	29	adantr 271	. . . . 5 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
31		eleq1 2151	. . . . . 6 |- ( y = [ x ] ~Q -> ( y e. Q0 <-> [ x ] ~Q e. Q0 ) )
32	31	adantl 272	. . . . 5 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> ( y e. Q0 <-> [ x ] ~Q e. Q0 ) )
33	30, 32	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> y e. Q0 )
34	33	exlimiv 1535	. . 3 |- ( E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> y e. Q0 )
35	6, 34	sylbi 120	. 2 |- ( y e. Q. -> y e. Q0 )
36	35	ssriv 3030	1 |- Q. C_ Q0

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1290   E.wex 1427   e. wcel 1439   E.wrex 2361   C_ wss 3000   <.cop 3453   omcom 4418   X. cxp 4449   [cec 6304   /.cqs 6305   N.cnpi 6885   ~Q ceq 6892   Q.cnq 6893   ~_Q0 ceq0 6899  Q₀cnq0 6900

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6917  df-mi 6919  df-enq 6960  df-nqqs 6961  df-enq0 7037  df-nq0 7038

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7113  prarloclemcalc  7115