Theorem nqnq0 7501

Description: A positive fraction is a nonnegative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0	|- Q. C_ Q0

Proof of Theorem nqnq0

Dummy variables v u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7408	. . . . 5 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2	1	eleq2i 2260	. . . 4 |- ( y e. Q. <-> y e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
3		vex 2763	. . . . 5 |- y e. _V
4	3	elqs 6640	. . . 4 |- ( y e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> E. x e. ( N. X. N. ) y = [ x ] ~Q )
5		df-rex 2478	. . . 4 |- ( E. x e. ( N. X. N. ) y = [ x ] ~Q <-> E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) )
6	2, 4, 5	3bitri 206	. . 3 |- ( y e. Q. <-> E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) )
7		elxpi 4675	. . . . . . 7 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E. u E. v ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) )
8		nqnq0pi 7498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q )
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q )
10		eceq1 6622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. u , v >. -> [ x ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q0 )
11		eceq1 6622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. u , v >. -> [ x ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q )
12	10, 11	eqeq12d 2208	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. u , v >. -> ( [ x ] ~Q0 = [ x ] ~Q <-> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ x ] ~Q0 = [ x ] ~Q <-> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q ) )
14	9, 13	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q0 = [ x ] ~Q )
15		pinn 7369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. N. -> u e. om )
16		opelxpi 4691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. om /\ v e. N. ) -> <. u , v >. e. ( om X. N. ) )
17	15, 16	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> <. u , v >. e. ( om X. N. ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> <. u , v >. e. ( om X. N. ) )
19		eleq1 2256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. u , v >. -> ( x e. ( om X. N. ) <-> <. u , v >. e. ( om X. N. ) ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( x e. ( om X. N. ) <-> <. u , v >. e. ( om X. N. ) ) )
21	18, 20	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> x e. ( om X. N. ) )
22		enq0ex 7499	. . . . . . . . . . . 12 |- ~Q0 e. _V
23	22	ecelqsi 6643	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( om X. N. ) -> [ x ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
24		df-nq0 7485	. . . . . . . . . . 11 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
25	23, 24	eleqtrrdi 2287	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( om X. N. ) -> [ x ] ~Q0 e. Q0 )
26	21, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q0 e. Q0 )
27	14, 26	eqeltrrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
28	27	exlimivv 1908	. . . . . . 7 |- ( E. u E. v ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
29	7, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
30	29	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
31		eleq1 2256	. . . . . 6 |- ( y = [ x ] ~Q -> ( y e. Q0 <-> [ x ] ~Q e. Q0 ) )
32	31	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> ( y e. Q0 <-> [ x ] ~Q e. Q0 ) )
33	30, 32	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> y e. Q0 )
34	33	exlimiv 1609	. . 3 |- ( E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> y e. Q0 )
35	6, 34	sylbi 121	. 2 |- ( y e. Q. -> y e. Q0 )
36	35	ssriv 3183	1 |- Q. C_ Q0

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   E.wrex 2473   C_ wss 3153   <.cop 3621   omcom 4622   X. cxp 4657   [cec 6585   /.cqs 6586   N.cnpi 7332   ~Q ceq 7339   Q.cnq 7340   ~_Q0 ceq0 7346  Q₀cnq0 7347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-mi 7366  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-enq0 7484  df-nq0 7485

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7560  prarloclemcalc  7562