Theorem nqnq0 7815

Description: A positive fraction is a nonnegative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0	|- Q. C_ Q0

Proof of Theorem nqnq0

Dummy variables v u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7722	. . . . 5 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2	1	eleq2i 2305	. . . 4 |- ( y e. Q. <-> y e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
3		vex 2824	. . . . 5 |- y e. _V
4	3	elqs 6864	. . . 4 |- ( y e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> E. x e. ( N. X. N. ) y = [ x ] ~Q )
5		df-rex 2534	. . . 4 |- ( E. x e. ( N. X. N. ) y = [ x ] ~Q <-> E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) )
6	2, 4, 5	3bitri 206	. . 3 |- ( y e. Q. <-> E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) )
7		elxpi 4792	. . . . . . 7 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E. u E. v ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) )
8		nqnq0pi 7812	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q )
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q )
10		eceq1 6846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. u , v >. -> [ x ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q0 )
11		eceq1 6846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. u , v >. -> [ x ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q )
12	10, 11	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. u , v >. -> ( [ x ] ~Q0 = [ x ] ~Q <-> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ x ] ~Q0 = [ x ] ~Q <-> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q ) )
14	9, 13	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q0 = [ x ] ~Q )
15		pinn 7683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. N. -> u e. om )
16		opelxpi 4808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. om /\ v e. N. ) -> <. u , v >. e. ( om X. N. ) )
17	15, 16	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> <. u , v >. e. ( om X. N. ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> <. u , v >. e. ( om X. N. ) )
19		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. u , v >. -> ( x e. ( om X. N. ) <-> <. u , v >. e. ( om X. N. ) ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( x e. ( om X. N. ) <-> <. u , v >. e. ( om X. N. ) ) )
21	18, 20	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> x e. ( om X. N. ) )
22		enq0ex 7813	. . . . . . . . . . . 12 |- ~Q0 e. _V
23	22	ecelqsi 6867	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( om X. N. ) -> [ x ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
24		df-nq0 7799	. . . . . . . . . . 11 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
25	23, 24	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( om X. N. ) -> [ x ] ~Q0 e. Q0 )
26	21, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q0 e. Q0 )
27	14, 26	eqeltrrd 2316	. . . . . . . 8 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
28	27	exlimivv 1952	. . . . . . 7 |- ( E. u E. v ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
29	7, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
30	29	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
31		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( y = [ x ] ~Q -> ( y e. Q0 <-> [ x ] ~Q e. Q0 ) )
32	31	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> ( y e. Q0 <-> [ x ] ~Q e. Q0 ) )
33	30, 32	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> y e. Q0 )
34	33	exlimiv 1651	. . 3 |- ( E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> y e. Q0 )
35	6, 34	sylbi 121	. 2 |- ( y e. Q. -> y e. Q0 )
36	35	ssriv 3252	1 |- Q. C_ Q0

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   E.wrex 2529   C_ wss 3220   <.cop 3712   omcom 4739   X. cxp 4774   [cec 6809   /.cqs 6810   N.cnpi 7646   ~Q ceq 7653   Q.cnq 7654   ~_Q0 ceq0 7660  Q₀cnq0 7661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7678  df-mi 7680  df-enq 7721  df-nqqs 7722  df-enq0 7798  df-nq0 7799

This theorem is used by:  prarloclem5  7874  prarloclemcalc  7876