ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0 Unicode version

Theorem nqnq0 7242
Description: A positive fraction is a nonnegative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0  |-  Q.  C_ Q0

Proof of Theorem nqnq0
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7149 . . . . 5  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
21eleq2i 2204 . . . 4  |-  ( y  e.  Q.  <->  y  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
3 vex 2684 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
43elqs 6473 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ( N. 
X.  N. ) /.  ~Q  ) 
<->  E. x  e.  ( N.  X.  N. )
y  =  [ x ]  ~Q  )
5 df-rex 2420 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( N. 
X.  N. ) y  =  [ x ]  ~Q  <->  E. x ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  =  [
x ]  ~Q  )
)
62, 4, 53bitri 205 . . 3  |-  ( y  e.  Q.  <->  E. x
( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  =  [
x ]  ~Q  )
)
7 elxpi 4550 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E. u E. v ( x  = 
<. u ,  v >.  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
) )
8 nqnq0pi 7239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  [ <. u ,  v
>. ] ~Q0  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  )
98adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ <. u ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  )
10 eceq1 6457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  [ x ] ~Q0  =  [ <. u ,  v >. ] ~Q0  )
11 eceq1 6457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  [ x ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  )
1210, 11eqeq12d 2152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( [ x ] ~Q0  =  [ x ]  ~Q  <->  [
<. u ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  ) )
1312adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [
x ] ~Q0  =  [ x ]  ~Q 
<->  [ <. u ,  v
>. ] ~Q0  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  ) )
149, 13mpbird 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ x ] ~Q0  =  [ x ]  ~Q  )
15 pinn 7110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  N.  ->  u  e.  om )
16 opelxpi 4566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )  -> 
<. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) )
1715, 16sylan 281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )  -> 
<. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) )
1817adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  <. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) )
19 eleq1 2200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( x  e.  ( om  X.  N. ) 
<-> 
<. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
2019adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( x  e.  ( om  X.  N. ) 
<-> 
<. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
2118, 20mpbird 166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  x  e.  ( om  X.  N. )
)
22 enq0ex 7240 . . . . . . . . . . . 12  |- ~Q0  e.  _V
2322ecelqsi 6476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ x ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
24 df-nq0 7226 . . . . . . . . . . 11  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
2523, 24eleqtrrdi 2231 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ x ] ~Q0  e. Q0 )
2621, 25syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ x ] ~Q0  e. Q0 )
2714, 26eqeltrrd 2215 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ x ]  ~Q  e. Q0 )
2827exlimivv 1868 . . . . . . 7  |-  ( E. u E. v ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ x ]  ~Q  e. Q0 )
297, 28syl 14 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ x ]  ~Q  e. Q0 )
3029adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  =  [ x ]  ~Q  )  ->  [ x ]  ~Q  e. Q0 )
31 eleq1 2200 . . . . . 6  |-  ( y  =  [ x ]  ~Q  ->  ( y  e. Q0  <->  [ x ]  ~Q  e. Q0 ) )
3231adantl 275 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  =  [ x ]  ~Q  )  ->  ( y  e. Q0  <->  [ x ]  ~Q  e. Q0 ) )
3330, 32mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  =  [ x ]  ~Q  )  ->  y  e. Q0 )
3433exlimiv 1577 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  =  [
x ]  ~Q  )  ->  y  e. Q0 )
356, 34sylbi 120 . 2  |-  ( y  e.  Q.  ->  y  e. Q0 )
3635ssriv 3096 1  |-  Q.  C_ Q0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   E.wrex 2415    C_ wss 3066   <.cop 3525   omcom 4499    X. cxp 4532   [cec 6420   /.cqs 6421   N.cnpi 7073    ~Q ceq 7080   Q.cnq 7081   ~Q0 ceq0 7087  Q0cnq0 7088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-mi 7107  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-enq0 7225  df-nq0 7226
This theorem is referenced by:  prarloclem5  7301  prarloclemcalc  7303
  Copyright terms: Public domain W3C validator