Theorem nqnq0 7561

Description: A positive fraction is a nonnegative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0	|- Q. C_ Q0

Proof of Theorem nqnq0

Dummy variables v u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7468	. . . . 5 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2	1	eleq2i 2273	. . . 4 |- ( y e. Q. <-> y e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
3		vex 2776	. . . . 5 |- y e. _V
4	3	elqs 6680	. . . 4 |- ( y e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> E. x e. ( N. X. N. ) y = [ x ] ~Q )
5		df-rex 2491	. . . 4 |- ( E. x e. ( N. X. N. ) y = [ x ] ~Q <-> E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) )
6	2, 4, 5	3bitri 206	. . 3 |- ( y e. Q. <-> E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) )
7		elxpi 4695	. . . . . . 7 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E. u E. v ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) )
8		nqnq0pi 7558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q )
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q )
10		eceq1 6662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. u , v >. -> [ x ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q0 )
11		eceq1 6662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. u , v >. -> [ x ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q )
12	10, 11	eqeq12d 2221	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. u , v >. -> ( [ x ] ~Q0 = [ x ] ~Q <-> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ x ] ~Q0 = [ x ] ~Q <-> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q ) )
14	9, 13	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q0 = [ x ] ~Q )
15		pinn 7429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. N. -> u e. om )
16		opelxpi 4711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. om /\ v e. N. ) -> <. u , v >. e. ( om X. N. ) )
17	15, 16	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> <. u , v >. e. ( om X. N. ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> <. u , v >. e. ( om X. N. ) )
19		eleq1 2269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. u , v >. -> ( x e. ( om X. N. ) <-> <. u , v >. e. ( om X. N. ) ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( x e. ( om X. N. ) <-> <. u , v >. e. ( om X. N. ) ) )
21	18, 20	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> x e. ( om X. N. ) )
22		enq0ex 7559	. . . . . . . . . . . 12 |- ~Q0 e. _V
23	22	ecelqsi 6683	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( om X. N. ) -> [ x ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
24		df-nq0 7545	. . . . . . . . . . 11 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
25	23, 24	eleqtrrdi 2300	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( om X. N. ) -> [ x ] ~Q0 e. Q0 )
26	21, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q0 e. Q0 )
27	14, 26	eqeltrrd 2284	. . . . . . . 8 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
28	27	exlimivv 1921	. . . . . . 7 |- ( E. u E. v ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
29	7, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
30	29	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
31		eleq1 2269	. . . . . 6 |- ( y = [ x ] ~Q -> ( y e. Q0 <-> [ x ] ~Q e. Q0 ) )
32	31	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> ( y e. Q0 <-> [ x ] ~Q e. Q0 ) )
33	30, 32	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> y e. Q0 )
34	33	exlimiv 1622	. . 3 |- ( E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> y e. Q0 )
35	6, 34	sylbi 121	. 2 |- ( y e. Q. -> y e. Q0 )
36	35	ssriv 3198	1 |- Q. C_ Q0

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   E.wrex 2486   C_ wss 3167   <.cop 3637   omcom 4642   X. cxp 4677   [cec 6625   /.cqs 6626   N.cnpi 7392   ~Q ceq 7399   Q.cnq 7400   ~_Q0 ceq0 7406  Q₀cnq0 7407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-oadd 6513  df-omul 6514  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-ni 7424  df-mi 7426  df-enq 7467  df-nqqs 7468  df-enq0 7544  df-nq0 7545

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7620  prarloclemcalc  7622