Theorem nqnq0 7663

Description: A positive fraction is a nonnegative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqnq0	|- Q. C_ Q0

Proof of Theorem nqnq0

Dummy variables v u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7570	. . . . 5 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2	1	eleq2i 2297	. . . 4 |- ( y e. Q. <-> y e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
3		vex 2804	. . . . 5 |- y e. _V
4	3	elqs 6757	. . . 4 |- ( y e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> E. x e. ( N. X. N. ) y = [ x ] ~Q )
5		df-rex 2515	. . . 4 |- ( E. x e. ( N. X. N. ) y = [ x ] ~Q <-> E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) )
6	2, 4, 5	3bitri 206	. . 3 |- ( y e. Q. <-> E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) )
7		elxpi 4740	. . . . . . 7 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> E. u E. v ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) )
8		nqnq0pi 7660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q )
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q )
10		eceq1 6739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. u , v >. -> [ x ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q0 )
11		eceq1 6739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. u , v >. -> [ x ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q )
12	10, 11	eqeq12d 2245	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. u , v >. -> ( [ x ] ~Q0 = [ x ] ~Q <-> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ x ] ~Q0 = [ x ] ~Q <-> [ <. u , v >. ] ~Q0 = [ <. u , v >. ] ~Q ) )
14	9, 13	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q0 = [ x ] ~Q )
15		pinn 7531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. N. -> u e. om )
16		opelxpi 4756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. om /\ v e. N. ) -> <. u , v >. e. ( om X. N. ) )
17	15, 16	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> <. u , v >. e. ( om X. N. ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> <. u , v >. e. ( om X. N. ) )
19		eleq1 2293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. u , v >. -> ( x e. ( om X. N. ) <-> <. u , v >. e. ( om X. N. ) ) )
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( x e. ( om X. N. ) <-> <. u , v >. e. ( om X. N. ) ) )
21	18, 20	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> x e. ( om X. N. ) )
22		enq0ex 7661	. . . . . . . . . . . 12 |- ~Q0 e. _V
23	22	ecelqsi 6760	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( om X. N. ) -> [ x ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
24		df-nq0 7647	. . . . . . . . . . 11 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
25	23, 24	eleqtrrdi 2324	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( om X. N. ) -> [ x ] ~Q0 e. Q0 )
26	21, 25	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q0 e. Q0 )
27	14, 26	eqeltrrd 2308	. . . . . . . 8 |- ( ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
28	27	exlimivv 1944	. . . . . . 7 |- ( E. u E. v ( x = <. u , v >. /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
29	7, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( x e. ( N. X. N. ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
30	29	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> [ x ] ~Q e. Q0 )
31		eleq1 2293	. . . . . 6 |- ( y = [ x ] ~Q -> ( y e. Q0 <-> [ x ] ~Q e. Q0 ) )
32	31	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> ( y e. Q0 <-> [ x ] ~Q e. Q0 ) )
33	30, 32	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> y e. Q0 )
34	33	exlimiv 1646	. . 3 |- ( E. x ( x e. ( N. X. N. ) /\ y = [ x ] ~Q ) -> y e. Q0 )
35	6, 34	sylbi 121	. 2 |- ( y e. Q. -> y e. Q0 )
36	35	ssriv 3230	1 |- Q. C_ Q0

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2201   E.wrex 2510   C_ wss 3199   <.cop 3671   omcom 4687   X. cxp 4722   [cec 6702   /.cqs 6703   N.cnpi 7494   ~Q ceq 7501   Q.cnq 7502   ~_Q0 ceq0 7508  Q₀cnq0 7509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-id 4389  df-iord 4462  df-on 4464  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-recs 6473  df-irdg 6538  df-oadd 6588  df-omul 6589  df-er 6704  df-ec 6706  df-qs 6710  df-ni 7526  df-mi 7528  df-enq 7569  df-nqqs 7570  df-enq0 7646  df-nq0 7647

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7722  prarloclemcalc  7724