ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqnq0 Unicode version

Theorem nqnq0 7439
Description: A positive fraction is a nonnegative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqnq0  |-  Q.  C_ Q0

Proof of Theorem nqnq0
Dummy variables  v  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7346 . . . . 5  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
21eleq2i 2244 . . . 4  |-  ( y  e.  Q.  <->  y  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
3 vex 2740 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
43elqs 6585 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ( N. 
X.  N. ) /.  ~Q  ) 
<->  E. x  e.  ( N.  X.  N. )
y  =  [ x ]  ~Q  )
5 df-rex 2461 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( N. 
X.  N. ) y  =  [ x ]  ~Q  <->  E. x ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  =  [
x ]  ~Q  )
)
62, 4, 53bitri 206 . . 3  |-  ( y  e.  Q.  <->  E. x
( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  =  [
x ]  ~Q  )
)
7 elxpi 4642 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  E. u E. v ( x  = 
<. u ,  v >.  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
) )
8 nqnq0pi 7436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  [ <. u ,  v
>. ] ~Q0  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  )
98adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ <. u ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  )
10 eceq1 6569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  [ x ] ~Q0  =  [ <. u ,  v >. ] ~Q0  )
11 eceq1 6569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  [ x ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  )
1210, 11eqeq12d 2192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( [ x ] ~Q0  =  [ x ]  ~Q  <->  [
<. u ,  v >. ] ~Q0  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  ) )
1312adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [
x ] ~Q0  =  [ x ]  ~Q 
<->  [ <. u ,  v
>. ] ~Q0  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  ) )
149, 13mpbird 167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ x ] ~Q0  =  [ x ]  ~Q  )
15 pinn 7307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  N.  ->  u  e.  om )
16 opelxpi 4658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  om  /\  v  e.  N. )  -> 
<. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) )
1715, 16sylan 283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )  -> 
<. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) )
1817adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  <. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) )
19 eleq1 2240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. u ,  v
>.  ->  ( x  e.  ( om  X.  N. ) 
<-> 
<. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
2019adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( x  e.  ( om  X.  N. ) 
<-> 
<. u ,  v >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
2118, 20mpbird 167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  x  e.  ( om  X.  N. )
)
22 enq0ex 7437 . . . . . . . . . . . 12  |- ~Q0  e.  _V
2322ecelqsi 6588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ x ] ~Q0  e.  ( ( om  X.  N. ) /. ~Q0  ) )
24 df-nq0 7423 . . . . . . . . . . 11  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
2523, 24eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( om  X.  N. )  ->  [ x ] ~Q0  e. Q0 )
2621, 25syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ x ] ~Q0  e. Q0 )
2714, 26eqeltrrd 2255 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ x ]  ~Q  e. Q0 )
2827exlimivv 1896 . . . . . . 7  |-  ( E. u E. v ( x  =  <. u ,  v >.  /\  (
u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  [ x ]  ~Q  e. Q0 )
297, 28syl 14 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ x ]  ~Q  e. Q0 )
3029adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  =  [ x ]  ~Q  )  ->  [ x ]  ~Q  e. Q0 )
31 eleq1 2240 . . . . . 6  |-  ( y  =  [ x ]  ~Q  ->  ( y  e. Q0  <->  [ x ]  ~Q  e. Q0 ) )
3231adantl 277 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  =  [ x ]  ~Q  )  ->  ( y  e. Q0  <->  [ x ]  ~Q  e. Q0 ) )
3330, 32mpbird 167 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  =  [ x ]  ~Q  )  ->  y  e. Q0 )
3433exlimiv 1598 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  =  [
x ]  ~Q  )  ->  y  e. Q0 )
356, 34sylbi 121 . 2  |-  ( y  e.  Q.  ->  y  e. Q0 )
3635ssriv 3159 1  |-  Q.  C_ Q0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   E.wrex 2456    C_ wss 3129   <.cop 3595   omcom 4589    X. cxp 4624   [cec 6532   /.cqs 6533   N.cnpi 7270    ~Q ceq 7277   Q.cnq 7278   ~Q0 ceq0 7284  Q0cnq0 7285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-mi 7304  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-enq0 7422  df-nq0 7423
This theorem is referenced by:  prarloclem5  7498  prarloclemcalc  7500
  Copyright terms: Public domain W3C validator