Theorem nqpnq0nq 7520

Description: A positive fraction plus a nonnegative fraction is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqpnq0nq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )

Proof of Theorem nqpnq0nq

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7445	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) )
2		nq0nn 7509	. . . 4 |- ( B e. Q0 -> E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
3	1, 2	anim12i 338	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
4		ee4anv 1953	. . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
5	3, 4	sylibr 134	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
6		oveq12 5931	. . . . . . 7 |- ( ( A = [ <. x , y >. ] ~Q /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 B ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
7	6	ad2ant2l 508	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
8		nqnq0pi 7505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. x , y >. ] ~Q0 = [ <. x , y >. ] ~Q )
9	8	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
10	9	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
11		pinn 7376	. . . . . . . . 9 |- ( x e. N. -> x e. om )
12		addnnnq0 7516	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
13	11, 12	sylanl1 402	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
14	10, 13	eqtr3d 2231	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
15	14	ad2ant2r 509	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
16	7, 15	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
17		pinn 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> y e. om )
18		nnmcl 6539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
19	17, 18	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
20	19	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o z ) e. om )
21		mulpiord 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) = ( x .o w ) )
22		mulclpi 7395	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
23	21, 22	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .o w ) e. N. )
24	23	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( x .o w ) e. N. )
25		pinn 7376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x .o w ) e. N. -> ( x .o w ) e. om )
26		nnacom 6542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y .o z ) e. om /\ ( x .o w ) e. om ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) = ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) )
27	25, 26	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .o z ) e. om /\ ( x .o w ) e. N. ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) = ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) )
28	20, 24, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) = ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) )
29		nnppipi 7410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .o z ) e. om /\ ( x .o w ) e. N. ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) e. N. )
30	20, 24, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) e. N. )
31	28, 30	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. )
32		mulpiord 7384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( y .o w ) )
33		mulclpi 7395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
34	32, 33	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) e. N. )
35	34	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o w ) e. N. )
36		opelxpi 4695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. /\ ( y .o w ) e. N. ) -> <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( N. X. N. ) )
37	31, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( N. X. N. ) )
38		enqex 7427	. . . . . . . . . 10 |- ~Q e. _V
39	38	ecelqsi 6648	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
41		df-nqqs 7415	. . . . . . . 8 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
42	40, 41	eleqtrrdi 2290	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. Q. )
43		nqnq0pi 7505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. /\ ( y .o w ) e. N. ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q )
44	43	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. /\ ( y .o w ) e. N. ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. <-> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. Q. ) )
45	31, 35, 44	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. <-> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. Q. ) )
46	42, 45	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. )
47	46	ad2ant2r 509	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. )
48	16, 47	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )
49	48	exlimivv 1911	. . 3 |- ( E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )
50	49	exlimivv 1911	. 2 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )
51	5, 50	syl 14	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   <.cop 3625   omcom 4626   X. cxp 4661  (class class class)co 5922   +o coa 6471   .o comu 6472   [cec 6590   /.cqs 6591   N.cnpi 7339   .N cmi 7341   ~Q ceq 7346   Q.cnq 7347   ~_Q0 ceq0 7353  Q₀cnq0 7354   +_Q0 cplq0 7356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-mi 7373  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-plq0 7494

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7569