Theorem nqpnq0nq 7394

Description: A positive fraction plus a nonnegative fraction is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqpnq0nq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )

Proof of Theorem nqpnq0nq

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7319	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) )
2		nq0nn 7383	. . . 4 |- ( B e. Q0 -> E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
3	1, 2	anim12i 336	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
4		ee4anv 1922	. . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
5	3, 4	sylibr 133	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
6		oveq12 5851	. . . . . . 7 |- ( ( A = [ <. x , y >. ] ~Q /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 B ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
7	6	ad2ant2l 500	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
8		nqnq0pi 7379	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. x , y >. ] ~Q0 = [ <. x , y >. ] ~Q )
9	8	oveq1d 5857	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
10	9	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
11		pinn 7250	. . . . . . . . 9 |- ( x e. N. -> x e. om )
12		addnnnq0 7390	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
13	11, 12	sylanl1 400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
14	10, 13	eqtr3d 2200	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
15	14	ad2ant2r 501	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
16	7, 15	eqtrd 2198	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
17		pinn 7250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> y e. om )
18		nnmcl 6449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
19	17, 18	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
20	19	ad2ant2lr 502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o z ) e. om )
21		mulpiord 7258	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) = ( x .o w ) )
22		mulclpi 7269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
23	21, 22	eqeltrrd 2244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .o w ) e. N. )
24	23	ad2ant2rl 503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( x .o w ) e. N. )
25		pinn 7250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x .o w ) e. N. -> ( x .o w ) e. om )
26		nnacom 6452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y .o z ) e. om /\ ( x .o w ) e. om ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) = ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) )
27	25, 26	sylan2 284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .o z ) e. om /\ ( x .o w ) e. N. ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) = ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) )
28	20, 24, 27	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) = ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) )
29		nnppipi 7284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .o z ) e. om /\ ( x .o w ) e. N. ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) e. N. )
30	20, 24, 29	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) e. N. )
31	28, 30	eqeltrrd 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. )
32		mulpiord 7258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( y .o w ) )
33		mulclpi 7269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
34	32, 33	eqeltrrd 2244	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) e. N. )
35	34	ad2ant2l 500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o w ) e. N. )
36		opelxpi 4636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. /\ ( y .o w ) e. N. ) -> <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( N. X. N. ) )
37	31, 35, 36	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( N. X. N. ) )
38		enqex 7301	. . . . . . . . . 10 |- ~Q e. _V
39	38	ecelqsi 6555	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
41		df-nqqs 7289	. . . . . . . 8 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
42	40, 41	eleqtrrdi 2260	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. Q. )
43		nqnq0pi 7379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. /\ ( y .o w ) e. N. ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q )
44	43	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. /\ ( y .o w ) e. N. ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. <-> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. Q. ) )
45	31, 35, 44	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. <-> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. Q. ) )
46	42, 45	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. )
47	46	ad2ant2r 501	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. )
48	16, 47	eqeltrd 2243	. . . 4 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )
49	48	exlimivv 1884	. . 3 |- ( E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )
50	49	exlimivv 1884	. 2 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )
51	5, 50	syl 14	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   <.cop 3579   omcom 4567   X. cxp 4602  (class class class)co 5842   +o coa 6381   .o comu 6382   [cec 6499   /.cqs 6500   N.cnpi 7213   .N cmi 7215   ~Q ceq 7220   Q.cnq 7221   ~_Q0 ceq0 7227  Q₀cnq0 7228   +_Q0 cplq0 7230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-mi 7247  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-plq0 7368

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7443