Theorem nqpnq0nq 7443

Description: A positive fraction plus a nonnegative fraction is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqpnq0nq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )

Proof of Theorem nqpnq0nq

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7368	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) )
2		nq0nn 7432	. . . 4 |- ( B e. Q0 -> E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
3	1, 2	anim12i 338	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
4		ee4anv 1934	. . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
5	3, 4	sylibr 134	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
6		oveq12 5878	. . . . . . 7 |- ( ( A = [ <. x , y >. ] ~Q /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 B ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
7	6	ad2ant2l 508	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
8		nqnq0pi 7428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. x , y >. ] ~Q0 = [ <. x , y >. ] ~Q )
9	8	oveq1d 5884	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
10	9	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
11		pinn 7299	. . . . . . . . 9 |- ( x e. N. -> x e. om )
12		addnnnq0 7439	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
13	11, 12	sylanl1 402	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
14	10, 13	eqtr3d 2212	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
15	14	ad2ant2r 509	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
16	7, 15	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
17		pinn 7299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> y e. om )
18		nnmcl 6476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
19	17, 18	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
20	19	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o z ) e. om )
21		mulpiord 7307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) = ( x .o w ) )
22		mulclpi 7318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
23	21, 22	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .o w ) e. N. )
24	23	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( x .o w ) e. N. )
25		pinn 7299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x .o w ) e. N. -> ( x .o w ) e. om )
26		nnacom 6479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y .o z ) e. om /\ ( x .o w ) e. om ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) = ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) )
27	25, 26	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .o z ) e. om /\ ( x .o w ) e. N. ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) = ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) )
28	20, 24, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) = ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) )
29		nnppipi 7333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .o z ) e. om /\ ( x .o w ) e. N. ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) e. N. )
30	20, 24, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) e. N. )
31	28, 30	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. )
32		mulpiord 7307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( y .o w ) )
33		mulclpi 7318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
34	32, 33	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) e. N. )
35	34	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o w ) e. N. )
36		opelxpi 4655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. /\ ( y .o w ) e. N. ) -> <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( N. X. N. ) )
37	31, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( N. X. N. ) )
38		enqex 7350	. . . . . . . . . 10 |- ~Q e. _V
39	38	ecelqsi 6583	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
41		df-nqqs 7338	. . . . . . . 8 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
42	40, 41	eleqtrrdi 2271	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. Q. )
43		nqnq0pi 7428	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. /\ ( y .o w ) e. N. ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q )
44	43	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. /\ ( y .o w ) e. N. ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. <-> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. Q. ) )
45	31, 35, 44	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. <-> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. Q. ) )
46	42, 45	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. )
47	46	ad2ant2r 509	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. )
48	16, 47	eqeltrd 2254	. . . 4 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )
49	48	exlimivv 1896	. . 3 |- ( E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )
50	49	exlimivv 1896	. 2 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )
51	5, 50	syl 14	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   <.cop 3594   omcom 4586   X. cxp 4621  (class class class)co 5869   +o coa 6408   .o comu 6409   [cec 6527   /.cqs 6528   N.cnpi 7262   .N cmi 7264   ~Q ceq 7269   Q.cnq 7270   ~_Q0 ceq0 7276  Q₀cnq0 7277   +_Q0 cplq0 7279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-mi 7296  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-enq0 7414  df-nq0 7415  df-plq0 7417

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7492