Theorem nqpnq0nq 7415

Description: A positive fraction plus a nonnegative fraction is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqpnq0nq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )

Proof of Theorem nqpnq0nq

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7340	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) )
2		nq0nn 7404	. . . 4 |- ( B e. Q0 -> E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
3	1, 2	anim12i 336	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
4		ee4anv 1927	. . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
5	3, 4	sylibr 133	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
6		oveq12 5862	. . . . . . 7 |- ( ( A = [ <. x , y >. ] ~Q /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 B ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
7	6	ad2ant2l 505	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
8		nqnq0pi 7400	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. x , y >. ] ~Q0 = [ <. x , y >. ] ~Q )
9	8	oveq1d 5868	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
10	9	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
11		pinn 7271	. . . . . . . . 9 |- ( x e. N. -> x e. om )
12		addnnnq0 7411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
13	11, 12	sylanl1 400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
14	10, 13	eqtr3d 2205	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
15	14	ad2ant2r 506	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
16	7, 15	eqtrd 2203	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
17		pinn 7271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> y e. om )
18		nnmcl 6460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
19	17, 18	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
20	19	ad2ant2lr 507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o z ) e. om )
21		mulpiord 7279	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) = ( x .o w ) )
22		mulclpi 7290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
23	21, 22	eqeltrrd 2248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .o w ) e. N. )
24	23	ad2ant2rl 508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( x .o w ) e. N. )
25		pinn 7271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x .o w ) e. N. -> ( x .o w ) e. om )
26		nnacom 6463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y .o z ) e. om /\ ( x .o w ) e. om ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) = ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) )
27	25, 26	sylan2 284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .o z ) e. om /\ ( x .o w ) e. N. ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) = ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) )
28	20, 24, 27	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) = ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) )
29		nnppipi 7305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .o z ) e. om /\ ( x .o w ) e. N. ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) e. N. )
30	20, 24, 29	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) e. N. )
31	28, 30	eqeltrrd 2248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. )
32		mulpiord 7279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( y .o w ) )
33		mulclpi 7290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
34	32, 33	eqeltrrd 2248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) e. N. )
35	34	ad2ant2l 505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o w ) e. N. )
36		opelxpi 4643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. /\ ( y .o w ) e. N. ) -> <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( N. X. N. ) )
37	31, 35, 36	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( N. X. N. ) )
38		enqex 7322	. . . . . . . . . 10 |- ~Q e. _V
39	38	ecelqsi 6567	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
41		df-nqqs 7310	. . . . . . . 8 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
42	40, 41	eleqtrrdi 2264	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. Q. )
43		nqnq0pi 7400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. /\ ( y .o w ) e. N. ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q )
44	43	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. /\ ( y .o w ) e. N. ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. <-> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. Q. ) )
45	31, 35, 44	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. <-> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. Q. ) )
46	42, 45	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. )
47	46	ad2ant2r 506	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. )
48	16, 47	eqeltrd 2247	. . . 4 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )
49	48	exlimivv 1889	. . 3 |- ( E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )
50	49	exlimivv 1889	. 2 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )
51	5, 50	syl 14	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   <.cop 3586   omcom 4574   X. cxp 4609  (class class class)co 5853   +o coa 6392   .o comu 6393   [cec 6511   /.cqs 6512   N.cnpi 7234   .N cmi 7236   ~Q ceq 7241   Q.cnq 7242   ~_Q0 ceq0 7248  Q₀cnq0 7249   +_Q0 cplq0 7251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-plq0 7389

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7464