ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqpnq0nq Unicode version

Theorem nqpnq0nq 7229
Description: A positive fraction plus a nonnegative fraction is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqpnq0nq  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A +Q0  B )  e.  Q. )

Proof of Theorem nqpnq0nq
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7154 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x E. y ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  ) )
2 nq0nn 7218 . . . 4  |-  ( B  e. Q0  ->  E. z E. w
( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
31, 2anim12i 336 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e. Q0 )  ->  ( E. x E. y ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  /\  E. z E. w ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )
) )
4 ee4anv 1886 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  <->  ( E. x E. y ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  /\  E. z E. w ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )
) )
53, 4sylibr 133 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e. Q0 )  ->  E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  )  /\  (
( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )
) )
6 oveq12 5751 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  ->  ( A +Q0  B )  =  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
76ad2ant2l 499 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( A +Q0  B )  =  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q +Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  )
)
8 nqnq0pi 7214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )
98oveq1d 5757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
109adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. x ,  y >. ]  ~Q +Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  )
)
11 pinn 7085 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  N.  ->  x  e.  om )
12 addnnnq0 7225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
1311, 12sylanl1 399 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
1410, 13eqtr3d 2152 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q +Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) ) ,  ( y  .o  w )
>. ] ~Q0  )
1514ad2ant2r 500 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( [ <. x ,  y
>. ]  ~Q +Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
167, 15eqtrd 2150 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( A +Q0  B )  =  [ <. ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
17 pinn 7085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  om )
18 nnmcl 6345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  .o  z
)  e.  om )
1917, 18sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  om )  ->  ( y  .o  z
)  e.  om )
2019ad2ant2lr 501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  z )  e.  om )
21 mulpiord 7093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .N  w
)  =  ( x  .o  w ) )
22 mulclpi 7104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .N  w
)  e.  N. )
2321, 22eqeltrrd 2195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .o  w
)  e.  N. )
2423ad2ant2rl 502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( x  .o  w )  e.  N. )
25 pinn 7085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  .o  w )  e.  N.  ->  (
x  .o  w )  e.  om )
26 nnacom 6348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  .o  z
)  e.  om  /\  ( x  .o  w
)  e.  om )  ->  ( ( y  .o  z )  +o  (
x  .o  w ) )  =  ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) ) )
2725, 26sylan2 284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  .o  z
)  e.  om  /\  ( x  .o  w
)  e.  N. )  ->  ( ( y  .o  z )  +o  (
x  .o  w ) )  =  ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) ) )
2820, 24, 27syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .o  z )  +o  ( x  .o  w ) )  =  ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) )
29 nnppipi 7119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  .o  z
)  e.  om  /\  ( x  .o  w
)  e.  N. )  ->  ( ( y  .o  z )  +o  (
x  .o  w ) )  e.  N. )
3020, 24, 29syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .o  z )  +o  ( x  .o  w ) )  e. 
N. )
3128, 30eqeltrrd 2195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) )  e. 
N. )
32 mulpiord 7093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  =  ( y  .o  w ) )
33 mulclpi 7104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  e.  N. )
3432, 33eqeltrrd 2195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .o  w
)  e.  N. )
3534ad2ant2l 499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  w )  e.  N. )
36 opelxpi 4541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) )  e.  N.  /\  ( y  .o  w
)  e.  N. )  -> 
<. ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
3731, 35, 36syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  <. ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w
) >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )
38 enqex 7136 . . . . . . . . . 10  |-  ~Q  e.  _V
3938ecelqsi 6451 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
4037, 39syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
41 df-nqqs 7124 . . . . . . . 8  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
4240, 41eleqtrrdi 2211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ]  ~Q  e.  Q. )
43 nqnq0pi 7214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) )  e.  N.  /\  ( y  .o  w
)  e.  N. )  ->  [ <. ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) ) ,  ( y  .o  w )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) ) ,  ( y  .o  w )
>. ]  ~Q  )
4443eleq1d 2186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) )  e.  N.  /\  ( y  .o  w
)  e.  N. )  ->  ( [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e.  Q.  <->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ]  ~Q  e.  Q. ) )
4531, 35, 44syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( ( x  .o  w )  +o  (
y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e. 
Q. 
<->  [ <. ( ( x  .o  w )  +o  ( y  .o  z
) ) ,  ( y  .o  w )
>. ]  ~Q  e.  Q. ) )
4642, 45mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  [ <. (
( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e.  Q. )
4746ad2ant2r 500 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  [ <. ( ( x  .o  w
)  +o  ( y  .o  z ) ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  e.  Q. )
4816, 47eqeltrd 2194 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( A +Q0  B )  e.  Q. )
4948exlimivv 1852 . . 3  |-  ( E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( A +Q0  B )  e.  Q. )
5049exlimivv 1852 . 2  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )  ->  ( A +Q0  B )  e.  Q. )
515, 50syl 14 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A +Q0  B )  e.  Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   <.cop 3500   omcom 4474    X. cxp 4507  (class class class)co 5742    +o coa 6278    .o comu 6279   [cec 6395   /.cqs 6396   N.cnpi 7048    .N cmi 7050    ~Q ceq 7055   Q.cnq 7056   ~Q0 ceq0 7062  Q0cnq0 7063   +Q0 cplq0 7065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-mi 7082  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-enq0 7200  df-nq0 7201  df-plq0 7203
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7278
  Copyright terms: Public domain W3C validator