Theorem nqpnq0nq 7449

Description: A positive fraction plus a nonnegative fraction is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqpnq0nq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )

Proof of Theorem nqpnq0nq

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7374	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) )
2		nq0nn 7438	. . . 4 |- ( B e. Q0 -> E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
3	1, 2	anim12i 338	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
4		ee4anv 1934	. . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
5	3, 4	sylibr 134	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) )
6		oveq12 5881	. . . . . . 7 |- ( ( A = [ <. x , y >. ] ~Q /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) -> ( A +Q0 B ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
7	6	ad2ant2l 508	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
8		nqnq0pi 7434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> [ <. x , y >. ] ~Q0 = [ <. x , y >. ] ~Q )
9	8	oveq1d 5887	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
10	9	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
11		pinn 7305	. . . . . . . . 9 |- ( x e. N. -> x e. om )
12		addnnnq0 7445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
13	11, 12	sylanl1 402	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
14	10, 13	eqtr3d 2212	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
15	14	ad2ant2r 509	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
16	7, 15	eqtrd 2210	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
17		pinn 7305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> y e. om )
18		nnmcl 6479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
19	17, 18	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ z e. om ) -> ( y .o z ) e. om )
20	19	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o z ) e. om )
21		mulpiord 7313	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) = ( x .o w ) )
22		mulclpi 7324	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
23	21, 22	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .o w ) e. N. )
24	23	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( x .o w ) e. N. )
25		pinn 7305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x .o w ) e. N. -> ( x .o w ) e. om )
26		nnacom 6482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y .o z ) e. om /\ ( x .o w ) e. om ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) = ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) )
27	25, 26	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .o z ) e. om /\ ( x .o w ) e. N. ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) = ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) )
28	20, 24, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) = ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) )
29		nnppipi 7339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .o z ) e. om /\ ( x .o w ) e. N. ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) e. N. )
30	20, 24, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( y .o z ) +o ( x .o w ) ) e. N. )
31	28, 30	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. )
32		mulpiord 7313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( y .o w ) )
33		mulclpi 7324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
34	32, 33	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) e. N. )
35	34	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o w ) e. N. )
36		opelxpi 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. /\ ( y .o w ) e. N. ) -> <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( N. X. N. ) )
37	31, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( N. X. N. ) )
38		enqex 7356	. . . . . . . . . 10 |- ~Q e. _V
39	38	ecelqsi 6586	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
41		df-nqqs 7344	. . . . . . . 8 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
42	40, 41	eleqtrrdi 2271	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. Q. )
43		nqnq0pi 7434	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. /\ ( y .o w ) e. N. ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q )
44	43	eleq1d 2246	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. N. /\ ( y .o w ) e. N. ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. <-> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. Q. ) )
45	31, 35, 44	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. <-> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q e. Q. ) )
46	42, 45	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. )
47	46	ad2ant2r 509	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 e. Q. )
48	16, 47	eqeltrd 2254	. . . 4 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )
49	48	exlimivv 1896	. . 3 |- ( E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )
50	49	exlimivv 1896	. 2 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q0 ) ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )
51	5, 50	syl 14	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q0 ) -> ( A +Q0 B ) e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   <.cop 3595   omcom 4588   X. cxp 4623  (class class class)co 5872   +o coa 6411   .o comu 6412   [cec 6530   /.cqs 6531   N.cnpi 7268   .N cmi 7270   ~Q ceq 7275   Q.cnq 7276   ~_Q0 ceq0 7282  Q₀cnq0 7283   +_Q0 cplq0 7285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-irdg 6368  df-oadd 6418  df-omul 6419  df-er 6532  df-ec 6534  df-qs 6538  df-ni 7300  df-mi 7302  df-enq 7343  df-nqqs 7344  df-enq0 7420  df-nq0 7421  df-plq0 7423

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7498