ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nq0m0r Unicode version

Theorem nq0m0r 7407
Description: Multiplication with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
nq0m0r  |-  ( A  e. Q0  ->  (0Q0 ·Q0  A )  = 0Q0 )

Proof of Theorem nq0m0r
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nq0nn 7393 . 2  |-  ( A  e. Q0  ->  E. w E. v
( ( w  e. 
om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v
>. ] ~Q0  ) )
2 df-0nq0 7377 . . . . . 6  |- 0Q0  =  [ <. (/) ,  1o >. ] ~Q0
3 oveq12 5860 . . . . . 6  |-  ( (0Q0  =  [ <. (/) ,  1o >. ] ~Q0  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  (0Q0 ·Q0  A )  =  ( [ <. (/)
,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  ) )
42, 3mpan 422 . . . . 5  |-  ( A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  ->  (0Q0 ·Q0  A )  =  ( [ <. (/)
,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  ) )
5 peano1 4576 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
6 1pi 7266 . . . . . 6  |-  1o  e.  N.
7 mulnnnq0 7401 . . . . . 6  |-  ( ( ( (/)  e.  om  /\  1o  e.  N. )  /\  ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <.
(/) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
(/)  .o  w ) ,  ( 1o  .o  v ) >. ] ~Q0  )
85, 6, 7mpanl12 434 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( [ <. (/) ,  1o >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
(/)  .o  w ) ,  ( 1o  .o  v ) >. ] ~Q0  )
94, 8sylan9eqr 2225 . . . 4  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  (0Q0 ·Q0  A )  =  [ <. ( (/) 
.o  w ) ,  ( 1o  .o  v
) >. ] ~Q0  )
10 nnm0r 6456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  om  ->  ( (/) 
.o  w )  =  (/) )
1110oveq1d 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  om  ->  (
( (/)  .o  w )  .o  1o )  =  ( (/)  .o  1o ) )
12 1onn 6497 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  om
13 nnm0r 6456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( (/) 
.o  1o )  =  (/) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  .o  1o )  =  (/)
1511, 14eqtrdi 2219 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  om  ->  (
( (/)  .o  w )  .o  1o )  =  (/) )
1615adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( ( (/)  .o  w
)  .o  1o )  =  (/) )
17 mulpiord 7268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( 1o  .N  v
)  =  ( 1o 
.o  v ) )
18 mulclpi 7279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( 1o  .N  v
)  e.  N. )
1917, 18eqeltrrd 2248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( 1o  .o  v
)  e.  N. )
206, 19mpan 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  N.  ->  ( 1o  .o  v )  e. 
N. )
21 pinn 7260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1o  .o  v )  e.  N.  ->  ( 1o  .o  v )  e. 
om )
22 nnm0 6452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1o  .o  v )  e.  om  ->  (
( 1o  .o  v
)  .o  (/) )  =  (/) )
2320, 21, 223syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  N.  ->  (
( 1o  .o  v
)  .o  (/) )  =  (/) )
2423adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( ( 1o  .o  v )  .o  (/) )  =  (/) )
2516, 24eqtr4d 2206 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( ( (/)  .o  w
)  .o  1o )  =  ( ( 1o 
.o  v )  .o  (/) ) )
2610, 5eqeltrdi 2261 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  om  ->  ( (/) 
.o  w )  e. 
om )
27 enq0eceq 7388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (/)  .o  w
)  e.  om  /\  ( 1o  .o  v
)  e.  N. )  /\  ( (/)  e.  om  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( (/)  .o  w
) ,  ( 1o 
.o  v ) >. ] ~Q0  =  [ <. (/) ,  1o >. ] ~Q0  <->  ( ( (/) 
.o  w )  .o  1o )  =  ( ( 1o  .o  v
)  .o  (/) ) ) )
285, 6, 27mpanr12 437 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (/)  .o  w
)  e.  om  /\  ( 1o  .o  v
)  e.  N. )  ->  ( [ <. ( (/) 
.o  w ) ,  ( 1o  .o  v
) >. ] ~Q0  =  [ <. (/) ,  1o >. ] ~Q0  <->  ( ( (/)  .o  w
)  .o  1o )  =  ( ( 1o 
.o  v )  .o  (/) ) ) )
2926, 20, 28syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  ( [ <. ( (/) 
.o  w ) ,  ( 1o  .o  v
) >. ] ~Q0  =  [ <. (/) ,  1o >. ] ~Q0  <->  ( ( (/)  .o  w
)  .o  1o )  =  ( ( 1o 
.o  v )  .o  (/) ) ) )
3025, 29mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  [ <. ( (/)  .o  w
) ,  ( 1o 
.o  v ) >. ] ~Q0  =  [ <. (/) ,  1o >. ] ~Q0  )
3130, 2eqtr4di 2221 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  ->  [ <. ( (/)  .o  w
) ,  ( 1o 
.o  v ) >. ] ~Q0  = 0Q0 )
3231adantr 274 . . . 4  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  [ <. ( (/) 
.o  w ) ,  ( 1o  .o  v
) >. ] ~Q0  = 0Q0 )
339, 32eqtrd 2203 . . 3  |-  ( ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  (0Q0 ·Q0  A )  = 0Q0 )
3433exlimivv 1889 . 2  |-  ( E. w E. v ( ( w  e.  om  /\  v  e.  N. )  /\  A  =  [ <. w ,  v >. ] ~Q0  )  ->  (0Q0 ·Q0  A )  = 0Q0 )
351, 34syl 14 1  |-  ( A  e. Q0  ->  (0Q0 ·Q0  A )  = 0Q0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   (/)c0 3414   <.cop 3584   omcom 4572  (class class class)co 5851   1oc1o 6386    .o comu 6391   [cec 6508   N.cnpi 7223    .N cmi 7225   ~Q0 ceq0 7237  Q0cnq0 7238  0Q0c0q0 7239   ·Q0 cmq0 7241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-1o 6393  df-oadd 6397  df-omul 6398  df-er 6510  df-ec 6512  df-qs 6516  df-ni 7255  df-mi 7257  df-enq0 7375  df-nq0 7376  df-0nq0 7377  df-mq0 7379
This theorem is referenced by:  prarloclem5  7451
  Copyright terms: Public domain W3C validator