Theorem nq0m0r 7817

Description: Multiplication with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0m0r	|- ( A e. Q0 -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )

Proof of Theorem nq0m0r

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7803	. 2 |- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
2		df-0nq0 7787	. . . . . 6 |- 0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0
3		oveq12 6088	. . . . . 6 |- ( (0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
4	2, 3	mpan 428	. . . . 5 |- ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 -> (0Q0 ·Q0 A ) = ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
5		peano1 4739	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		1pi 7676	. . . . . 6 |- 1o e. N.
7		mulnnnq0 7811	. . . . . 6 |- ( ( ( (/) e. om /\ 1o e. N. ) /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) = [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanl12 440	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) = [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2293	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 )
10		nnm0r 6746	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( (/) .o w ) = (/) )
11	10	oveq1d 6094	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( (/) .o 1o ) )
12		1onn 6787	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. om
13		nnm0r 6746	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1o e. om -> ( (/) .o 1o ) = (/) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) .o 1o ) = (/)
15	11, 14	eqtrdi 2287	. . . . . . . . 9 |- ( w e. om -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = (/) )
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = (/) )
17		mulpiord 7678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. N. /\ v e. N. ) -> ( 1o .N v ) = ( 1o .o v ) )
18		mulclpi 7689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. N. /\ v e. N. ) -> ( 1o .N v ) e. N. )
19	17, 18	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1o e. N. /\ v e. N. ) -> ( 1o .o v ) e. N. )
20	6, 19	mpan 428	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. N. -> ( 1o .o v ) e. N. )
21		pinn 7670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1o .o v ) e. N. -> ( 1o .o v ) e. om )
22		nnm0 6742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1o .o v ) e. om -> ( ( 1o .o v ) .o (/) ) = (/) )
23	20, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( v e. N. -> ( ( 1o .o v ) .o (/) ) = (/) )
24	23	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( 1o .o v ) .o (/) ) = (/) )
25	16, 24	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) )
26	10, 5	eqeltrdi 2329	. . . . . . . 8 |- ( w e. om -> ( (/) .o w ) e. om )
27		enq0eceq 7798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( (/) .o w ) e. om /\ ( 1o .o v ) e. N. ) /\ ( (/) e. om /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 <-> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) ) )
28	5, 6, 27	mpanr12 443	. . . . . . . 8 |- ( ( ( (/) .o w ) e. om /\ ( 1o .o v ) e. N. ) -> ( [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 <-> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) ) )
29	26, 20, 28	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 <-> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) ) )
30	25, 29	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 )
31	30, 2	eqtr4di 2289	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = 0Q0 )
32	31	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = 0Q0 )
33	9, 32	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )
34	33	exlimivv 1952	. 2 |- ( E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )
35	1, 34	syl 14	1 |- ( A e. Q0 -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   (/)c0 3520   <.cop 3711   omcom 4735  (class class class)co 6079   1oc1o 6674   .o comu 6679   [cec 6799   N.cnpi 7633   .N cmi 7635   ~_Q0 ceq0 7647  Q₀cnq0 7648  0_Q0c0q0 7649   ·_Q0 cmq0 7651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-mi 7667  df-enq0 7785  df-nq0 7786  df-0nq0 7787  df-mq0 7789

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7861