Theorem nq0m0r 7669

Description: Multiplication with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0m0r	|- ( A e. Q0 -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )

Proof of Theorem nq0m0r

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7655	. 2 |- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
2		df-0nq0 7639	. . . . . 6 |- 0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0
3		oveq12 6022	. . . . . 6 |- ( (0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
4	2, 3	mpan 424	. . . . 5 |- ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 -> (0Q0 ·Q0 A ) = ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
5		peano1 4690	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		1pi 7528	. . . . . 6 |- 1o e. N.
7		mulnnnq0 7663	. . . . . 6 |- ( ( ( (/) e. om /\ 1o e. N. ) /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) = [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanl12 436	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) = [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2284	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 )
10		nnm0r 6642	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( (/) .o w ) = (/) )
11	10	oveq1d 6028	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( (/) .o 1o ) )
12		1onn 6683	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. om
13		nnm0r 6642	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1o e. om -> ( (/) .o 1o ) = (/) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) .o 1o ) = (/)
15	11, 14	eqtrdi 2278	. . . . . . . . 9 |- ( w e. om -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = (/) )
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = (/) )
17		mulpiord 7530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. N. /\ v e. N. ) -> ( 1o .N v ) = ( 1o .o v ) )
18		mulclpi 7541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. N. /\ v e. N. ) -> ( 1o .N v ) e. N. )
19	17, 18	eqeltrrd 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1o e. N. /\ v e. N. ) -> ( 1o .o v ) e. N. )
20	6, 19	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. N. -> ( 1o .o v ) e. N. )
21		pinn 7522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1o .o v ) e. N. -> ( 1o .o v ) e. om )
22		nnm0 6638	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1o .o v ) e. om -> ( ( 1o .o v ) .o (/) ) = (/) )
23	20, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( v e. N. -> ( ( 1o .o v ) .o (/) ) = (/) )
24	23	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( 1o .o v ) .o (/) ) = (/) )
25	16, 24	eqtr4d 2265	. . . . . . 7 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) )
26	10, 5	eqeltrdi 2320	. . . . . . . 8 |- ( w e. om -> ( (/) .o w ) e. om )
27		enq0eceq 7650	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( (/) .o w ) e. om /\ ( 1o .o v ) e. N. ) /\ ( (/) e. om /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 <-> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) ) )
28	5, 6, 27	mpanr12 439	. . . . . . . 8 |- ( ( ( (/) .o w ) e. om /\ ( 1o .o v ) e. N. ) -> ( [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 <-> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) ) )
29	26, 20, 28	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 <-> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) ) )
30	25, 29	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 )
31	30, 2	eqtr4di 2280	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = 0Q0 )
32	31	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = 0Q0 )
33	9, 32	eqtrd 2262	. . 3 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )
34	33	exlimivv 1943	. 2 |- ( E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )
35	1, 34	syl 14	1 |- ( A e. Q0 -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   (/)c0 3492   <.cop 3670   omcom 4686  (class class class)co 6013   1oc1o 6570   .o comu 6575   [cec 6695   N.cnpi 7485   .N cmi 7487   ~_Q0 ceq0 7499  Q₀cnq0 7500  0_Q0c0q0 7501   ·_Q0 cmq0 7503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7517  df-mi 7519  df-enq0 7637  df-nq0 7638  df-0nq0 7639  df-mq0 7641

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7713