Theorem nq0m0r 7582

Description: Multiplication with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0m0r	|- ( A e. Q0 -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )

Proof of Theorem nq0m0r

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7568	. 2 |- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
2		df-0nq0 7552	. . . . . 6 |- 0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0
3		oveq12 5963	. . . . . 6 |- ( (0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
4	2, 3	mpan 424	. . . . 5 |- ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 -> (0Q0 ·Q0 A ) = ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
5		peano1 4647	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		1pi 7441	. . . . . 6 |- 1o e. N.
7		mulnnnq0 7576	. . . . . 6 |- ( ( ( (/) e. om /\ 1o e. N. ) /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) = [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanl12 436	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) = [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2261	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 )
10		nnm0r 6575	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( (/) .o w ) = (/) )
11	10	oveq1d 5969	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( (/) .o 1o ) )
12		1onn 6616	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. om
13		nnm0r 6575	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1o e. om -> ( (/) .o 1o ) = (/) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) .o 1o ) = (/)
15	11, 14	eqtrdi 2255	. . . . . . . . 9 |- ( w e. om -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = (/) )
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = (/) )
17		mulpiord 7443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. N. /\ v e. N. ) -> ( 1o .N v ) = ( 1o .o v ) )
18		mulclpi 7454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. N. /\ v e. N. ) -> ( 1o .N v ) e. N. )
19	17, 18	eqeltrrd 2284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1o e. N. /\ v e. N. ) -> ( 1o .o v ) e. N. )
20	6, 19	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. N. -> ( 1o .o v ) e. N. )
21		pinn 7435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1o .o v ) e. N. -> ( 1o .o v ) e. om )
22		nnm0 6571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1o .o v ) e. om -> ( ( 1o .o v ) .o (/) ) = (/) )
23	20, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( v e. N. -> ( ( 1o .o v ) .o (/) ) = (/) )
24	23	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( 1o .o v ) .o (/) ) = (/) )
25	16, 24	eqtr4d 2242	. . . . . . 7 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) )
26	10, 5	eqeltrdi 2297	. . . . . . . 8 |- ( w e. om -> ( (/) .o w ) e. om )
27		enq0eceq 7563	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( (/) .o w ) e. om /\ ( 1o .o v ) e. N. ) /\ ( (/) e. om /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 <-> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) ) )
28	5, 6, 27	mpanr12 439	. . . . . . . 8 |- ( ( ( (/) .o w ) e. om /\ ( 1o .o v ) e. N. ) -> ( [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 <-> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) ) )
29	26, 20, 28	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 <-> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) ) )
30	25, 29	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 )
31	30, 2	eqtr4di 2257	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = 0Q0 )
32	31	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = 0Q0 )
33	9, 32	eqtrd 2239	. . 3 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )
34	33	exlimivv 1921	. 2 |- ( E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )
35	1, 34	syl 14	1 |- ( A e. Q0 -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2177   (/)c0 3462   <.cop 3638   omcom 4643  (class class class)co 5954   1oc1o 6505   .o comu 6510   [cec 6628   N.cnpi 7398   .N cmi 7400   ~_Q0 ceq0 7412  Q₀cnq0 7413  0_Q0c0q0 7414   ·_Q0 cmq0 7416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-iord 4418  df-on 4420  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-1o 6512  df-oadd 6516  df-omul 6517  df-er 6630  df-ec 6632  df-qs 6636  df-ni 7430  df-mi 7432  df-enq0 7550  df-nq0 7551  df-0nq0 7552  df-mq0 7554

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7626