Theorem nq0m0r 7418

Description: Multiplication with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0m0r	|- ( A e. Q0 -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )

Proof of Theorem nq0m0r

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7404	. 2 |- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
2		df-0nq0 7388	. . . . . 6 |- 0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0
3		oveq12 5862	. . . . . 6 |- ( (0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
4	2, 3	mpan 422	. . . . 5 |- ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 -> (0Q0 ·Q0 A ) = ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
5		peano1 4578	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		1pi 7277	. . . . . 6 |- 1o e. N.
7		mulnnnq0 7412	. . . . . 6 |- ( ( ( (/) e. om /\ 1o e. N. ) /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) = [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanl12 434	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) = [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2225	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 )
10		nnm0r 6458	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( (/) .o w ) = (/) )
11	10	oveq1d 5868	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( (/) .o 1o ) )
12		1onn 6499	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. om
13		nnm0r 6458	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1o e. om -> ( (/) .o 1o ) = (/) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) .o 1o ) = (/)
15	11, 14	eqtrdi 2219	. . . . . . . . 9 |- ( w e. om -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = (/) )
16	15	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = (/) )
17		mulpiord 7279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. N. /\ v e. N. ) -> ( 1o .N v ) = ( 1o .o v ) )
18		mulclpi 7290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. N. /\ v e. N. ) -> ( 1o .N v ) e. N. )
19	17, 18	eqeltrrd 2248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1o e. N. /\ v e. N. ) -> ( 1o .o v ) e. N. )
20	6, 19	mpan 422	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. N. -> ( 1o .o v ) e. N. )
21		pinn 7271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1o .o v ) e. N. -> ( 1o .o v ) e. om )
22		nnm0 6454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1o .o v ) e. om -> ( ( 1o .o v ) .o (/) ) = (/) )
23	20, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( v e. N. -> ( ( 1o .o v ) .o (/) ) = (/) )
24	23	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( 1o .o v ) .o (/) ) = (/) )
25	16, 24	eqtr4d 2206	. . . . . . 7 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) )
26	10, 5	eqeltrdi 2261	. . . . . . . 8 |- ( w e. om -> ( (/) .o w ) e. om )
27		enq0eceq 7399	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( (/) .o w ) e. om /\ ( 1o .o v ) e. N. ) /\ ( (/) e. om /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 <-> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) ) )
28	5, 6, 27	mpanr12 437	. . . . . . . 8 |- ( ( ( (/) .o w ) e. om /\ ( 1o .o v ) e. N. ) -> ( [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 <-> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) ) )
29	26, 20, 28	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 <-> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) ) )
30	25, 29	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 )
31	30, 2	eqtr4di 2221	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = 0Q0 )
32	31	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = 0Q0 )
33	9, 32	eqtrd 2203	. . 3 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )
34	33	exlimivv 1889	. 2 |- ( E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )
35	1, 34	syl 14	1 |- ( A e. Q0 -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   (/)c0 3414   <.cop 3586   omcom 4574  (class class class)co 5853   1oc1o 6388   .o comu 6393   [cec 6511   N.cnpi 7234   .N cmi 7236   ~_Q0 ceq0 7248  Q₀cnq0 7249  0_Q0c0q0 7250   ·_Q0 cmq0 7252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-mq0 7390

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7462