Theorem nq0m0r 7719

Description: Multiplication with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nq0m0r	|- ( A e. Q0 -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )

Proof of Theorem nq0m0r

Dummy variables v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nq0nn 7705	. 2 |- ( A e. Q0 -> E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
2		df-0nq0 7689	. . . . . 6 |- 0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0
3		oveq12 6037	. . . . . 6 |- ( (0Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
4	2, 3	mpan 424	. . . . 5 |- ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 -> (0Q0 ·Q0 A ) = ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) )
5		peano1 4698	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		1pi 7578	. . . . . 6 |- 1o e. N.
7		mulnnnq0 7713	. . . . . 6 |- ( ( ( (/) e. om /\ 1o e. N. ) /\ ( w e. om /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) = [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 )
8	5, 6, 7	mpanl12 436	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. w , v >. ] ~Q0 ) = [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 )
9	4, 8	sylan9eqr 2286	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 )
10		nnm0r 6690	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. om -> ( (/) .o w ) = (/) )
11	10	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. om -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( (/) .o 1o ) )
12		1onn 6731	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. om
13		nnm0r 6690	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1o e. om -> ( (/) .o 1o ) = (/) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) .o 1o ) = (/)
15	11, 14	eqtrdi 2280	. . . . . . . . 9 |- ( w e. om -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = (/) )
16	15	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = (/) )
17		mulpiord 7580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. N. /\ v e. N. ) -> ( 1o .N v ) = ( 1o .o v ) )
18		mulclpi 7591	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1o e. N. /\ v e. N. ) -> ( 1o .N v ) e. N. )
19	17, 18	eqeltrrd 2309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1o e. N. /\ v e. N. ) -> ( 1o .o v ) e. N. )
20	6, 19	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. N. -> ( 1o .o v ) e. N. )
21		pinn 7572	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1o .o v ) e. N. -> ( 1o .o v ) e. om )
22		nnm0 6686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1o .o v ) e. om -> ( ( 1o .o v ) .o (/) ) = (/) )
23	20, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( v e. N. -> ( ( 1o .o v ) .o (/) ) = (/) )
24	23	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( 1o .o v ) .o (/) ) = (/) )
25	16, 24	eqtr4d 2267	. . . . . . 7 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) )
26	10, 5	eqeltrdi 2322	. . . . . . . 8 |- ( w e. om -> ( (/) .o w ) e. om )
27		enq0eceq 7700	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( (/) .o w ) e. om /\ ( 1o .o v ) e. N. ) /\ ( (/) e. om /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 <-> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) ) )
28	5, 6, 27	mpanr12 439	. . . . . . . 8 |- ( ( ( (/) .o w ) e. om /\ ( 1o .o v ) e. N. ) -> ( [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 <-> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) ) )
29	26, 20, 28	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> ( [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 <-> ( ( (/) .o w ) .o 1o ) = ( ( 1o .o v ) .o (/) ) ) )
30	25, 29	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = [ <. (/) , 1o >. ] ~Q0 )
31	30, 2	eqtr4di 2282	. . . . 5 |- ( ( w e. om /\ v e. N. ) -> [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = 0Q0 )
32	31	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> [ <. ( (/) .o w ) , ( 1o .o v ) >. ] ~Q0 = 0Q0 )
33	9, 32	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )
34	33	exlimivv 1945	. 2 |- ( E. w E. v ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ A = [ <. w , v >. ] ~Q0 ) -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )
35	1, 34	syl 14	1 |- ( A e. Q0 -> (0Q0 ·Q0 A ) = 0Q0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   (/)c0 3496   <.cop 3676   omcom 4694  (class class class)co 6028   1oc1o 6618   .o comu 6623   [cec 6743   N.cnpi 7535   .N cmi 7537   ~_Q0 ceq0 7549  Q₀cnq0 7550  0_Q0c0q0 7551   ·_Q0 cmq0 7553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-mi 7569  df-enq0 7687  df-nq0 7688  df-0nq0 7689  df-mq0 7691

This theorem is referenced by:  prarloclem5  7763