Theorem addcmpblnq0 7563

Description: Lemma showing compatibility of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addcmpblnq0	|- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. ) )

Proof of Theorem addcmpblnq0

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndi 6579	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( x .o ( y +o z ) ) = ( ( x .o y ) +o ( x .o z ) ) )
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( x .o ( y +o z ) ) = ( ( x .o y ) +o ( x .o z ) ) )
3		simplll 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> A e. om )
4		simprlr 538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> G e. N. )
5		pinn 7429	. . . . . . . . 9 |- ( G e. N. -> G e. om )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> G e. om )
7		nnmcl 6574	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ G e. om ) -> ( A .o G ) e. om )
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( A .o G ) e. om )
9		simpllr 534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> B e. N. )
10		pinn 7429	. . . . . . . . 9 |- ( B e. N. -> B e. om )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> B e. om )
12		simprll 537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> F e. om )
13		nnmcl 6574	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ F e. om ) -> ( B .o F ) e. om )
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( B .o F ) e. om )
15		simplrr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> D e. N. )
16		pinn 7429	. . . . . . . . 9 |- ( D e. N. -> D e. om )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> D e. om )
18		simprrr 540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> S e. N. )
19		pinn 7429	. . . . . . . . 9 |- ( S e. N. -> S e. om )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> S e. om )
21		nnmcl 6574	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. om /\ S e. om ) -> ( D .o S ) e. om )
22	17, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( D .o S ) e. om )
23		nnacl 6573	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x +o y ) e. om )
24	23	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x +o y ) e. om )
25		nnmcom 6582	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
26	25	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
27	2, 8, 14, 22, 24, 26	caovdir2d 6130	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( ( A .o G ) .o ( D .o S ) ) +o ( ( B .o F ) .o ( D .o S ) ) ) )
28		nnmass 6580	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
29	28	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
30		nnmcl 6574	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) e. om )
31	30	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) e. om )
32	3, 6, 17, 26, 29, 20, 31	caov4d 6138	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .o G ) .o ( D .o S ) ) = ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) )
33	11, 12, 17, 26, 29, 20, 31	caov4d 6138	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) )
34	32, 33	oveq12d 5969	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) .o ( D .o S ) ) +o ( ( B .o F ) .o ( D .o S ) ) ) = ( ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) ) )
35	27, 34	eqtrd 2239	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) ) )
36		oveq1 5958	. . . . . 6 |- ( ( A .o D ) = ( B .o C ) -> ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) )
37		oveq2 5959	. . . . . 6 |- ( ( F .o S ) = ( G .o R ) -> ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) = ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) )
38	36, 37	oveqan12d 5970	. . . . 5 |- ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> ( ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
39	35, 38	sylan9eq 2259	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
40		nnmcl 6574	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ G e. om ) -> ( B .o G ) e. om )
41	11, 6, 40	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( B .o G ) e. om )
42		simplrl 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> C e. om )
43		nnmcl 6574	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. om /\ S e. om ) -> ( C .o S ) e. om )
44	42, 20, 43	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( C .o S ) e. om )
45		simprrl 539	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> R e. om )
46		nnmcl 6574	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. om /\ R e. om ) -> ( D .o R ) e. om )
47	17, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( D .o R ) e. om )
48		nndi 6579	. . . . . . 7 |- ( ( ( B .o G ) e. om /\ ( C .o S ) e. om /\ ( D .o R ) e. om ) -> ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o G ) .o ( C .o S ) ) +o ( ( B .o G ) .o ( D .o R ) ) ) )
49	41, 44, 47, 48	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o G ) .o ( C .o S ) ) +o ( ( B .o G ) .o ( D .o R ) ) ) )
50	11, 6, 42, 26, 29, 20, 31	caov4d 6138	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( C .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) )
51	11, 6, 17, 26, 29, 45, 31	caov4d 6138	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( D .o R ) ) = ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) )
52	50, 51	oveq12d 5969	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( B .o G ) .o ( C .o S ) ) +o ( ( B .o G ) .o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
53	49, 52	eqtrd 2239	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
54	53	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
55	39, 54	eqtr4d 2242	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) )
56		nnacl 6573	. . . . . 6 |- ( ( ( A .o G ) e. om /\ ( B .o F ) e. om ) -> ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) e. om )
57	8, 14, 56	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) e. om )
58		mulpiord 7437	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) = ( B .o G ) )
59		mulclpi 7448	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) e. N. )
60	58, 59	eqeltrrd 2284	. . . . . . 7 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .o G ) e. N. )
61	60	ad2ant2l 508	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( F e. om /\ G e. N. ) ) -> ( B .o G ) e. N. )
62	61	ad2ant2r 509	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( B .o G ) e. N. )
63		nnacl 6573	. . . . . 6 |- ( ( ( C .o S ) e. om /\ ( D .o R ) e. om ) -> ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) e. om )
64	44, 47, 63	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) e. om )
65		mulpiord 7437	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) = ( D .o S ) )
66		mulclpi 7448	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) e. N. )
67	65, 66	eqeltrrd 2284	. . . . . . 7 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .o S ) e. N. )
68	67	ad2ant2l 508	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. om /\ D e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) -> ( D .o S ) e. N. )
69	68	ad2ant2l 508	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( D .o S ) e. N. )
70		enq0breq 7556	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) /\ ( ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) ) -> ( <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) ) )
71	57, 62, 64, 69, 70	syl22anc 1251	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) ) )
72	71	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> ( <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) ) )
73	55, 72	mpbird 167	. 2 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. )
74	73	ex 115	1 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   <.cop 3637   class class class wbr 4047   omcom 4642  (class class class)co 5951   +o coa 6506   .o comu 6507   N.cnpi 7392   .N cmi 7394   ~_Q0 ceq0 7406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-oadd 6513  df-omul 6514  df-ni 7424  df-mi 7426  df-enq0 7544

This theorem is referenced by:  addnq0mo  7567