Theorem addcmpblnq0 7365

Description: Lemma showing compatibility of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addcmpblnq0	|- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. ) )

Proof of Theorem addcmpblnq0

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndi 6435	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( x .o ( y +o z ) ) = ( ( x .o y ) +o ( x .o z ) ) )
2	1	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( x .o ( y +o z ) ) = ( ( x .o y ) +o ( x .o z ) ) )
3		simplll 523	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> A e. om )
4		simprlr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> G e. N. )
5		pinn 7231	. . . . . . . . 9 |- ( G e. N. -> G e. om )
6	4, 5	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> G e. om )
7		nnmcl 6430	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ G e. om ) -> ( A .o G ) e. om )
8	3, 6, 7	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( A .o G ) e. om )
9		simpllr 524	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> B e. N. )
10		pinn 7231	. . . . . . . . 9 |- ( B e. N. -> B e. om )
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> B e. om )
12		simprll 527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> F e. om )
13		nnmcl 6430	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ F e. om ) -> ( B .o F ) e. om )
14	11, 12, 13	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( B .o F ) e. om )
15		simplrr 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> D e. N. )
16		pinn 7231	. . . . . . . . 9 |- ( D e. N. -> D e. om )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> D e. om )
18		simprrr 530	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> S e. N. )
19		pinn 7231	. . . . . . . . 9 |- ( S e. N. -> S e. om )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> S e. om )
21		nnmcl 6430	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. om /\ S e. om ) -> ( D .o S ) e. om )
22	17, 20, 21	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( D .o S ) e. om )
23		nnacl 6429	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x +o y ) e. om )
24	23	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x +o y ) e. om )
25		nnmcom 6438	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
26	25	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
27	2, 8, 14, 22, 24, 26	caovdir2d 5999	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( ( A .o G ) .o ( D .o S ) ) +o ( ( B .o F ) .o ( D .o S ) ) ) )
28		nnmass 6436	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
29	28	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
30		nnmcl 6430	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) e. om )
31	30	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) e. om )
32	3, 6, 17, 26, 29, 20, 31	caov4d 6007	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .o G ) .o ( D .o S ) ) = ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) )
33	11, 12, 17, 26, 29, 20, 31	caov4d 6007	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) )
34	32, 33	oveq12d 5844	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) .o ( D .o S ) ) +o ( ( B .o F ) .o ( D .o S ) ) ) = ( ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) ) )
35	27, 34	eqtrd 2190	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) ) )
36		oveq1 5833	. . . . . 6 |- ( ( A .o D ) = ( B .o C ) -> ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) )
37		oveq2 5834	. . . . . 6 |- ( ( F .o S ) = ( G .o R ) -> ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) = ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) )
38	36, 37	oveqan12d 5845	. . . . 5 |- ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> ( ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
39	35, 38	sylan9eq 2210	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
40		nnmcl 6430	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ G e. om ) -> ( B .o G ) e. om )
41	11, 6, 40	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( B .o G ) e. om )
42		simplrl 525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> C e. om )
43		nnmcl 6430	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. om /\ S e. om ) -> ( C .o S ) e. om )
44	42, 20, 43	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( C .o S ) e. om )
45		simprrl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> R e. om )
46		nnmcl 6430	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. om /\ R e. om ) -> ( D .o R ) e. om )
47	17, 45, 46	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( D .o R ) e. om )
48		nndi 6435	. . . . . . 7 |- ( ( ( B .o G ) e. om /\ ( C .o S ) e. om /\ ( D .o R ) e. om ) -> ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o G ) .o ( C .o S ) ) +o ( ( B .o G ) .o ( D .o R ) ) ) )
49	41, 44, 47, 48	syl3anc 1220	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o G ) .o ( C .o S ) ) +o ( ( B .o G ) .o ( D .o R ) ) ) )
50	11, 6, 42, 26, 29, 20, 31	caov4d 6007	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( C .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) )
51	11, 6, 17, 26, 29, 45, 31	caov4d 6007	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( D .o R ) ) = ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) )
52	50, 51	oveq12d 5844	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( B .o G ) .o ( C .o S ) ) +o ( ( B .o G ) .o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
53	49, 52	eqtrd 2190	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
54	53	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
55	39, 54	eqtr4d 2193	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) )
56		nnacl 6429	. . . . . 6 |- ( ( ( A .o G ) e. om /\ ( B .o F ) e. om ) -> ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) e. om )
57	8, 14, 56	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) e. om )
58		mulpiord 7239	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) = ( B .o G ) )
59		mulclpi 7250	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) e. N. )
60	58, 59	eqeltrrd 2235	. . . . . . 7 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .o G ) e. N. )
61	60	ad2ant2l 500	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( F e. om /\ G e. N. ) ) -> ( B .o G ) e. N. )
62	61	ad2ant2r 501	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( B .o G ) e. N. )
63		nnacl 6429	. . . . . 6 |- ( ( ( C .o S ) e. om /\ ( D .o R ) e. om ) -> ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) e. om )
64	44, 47, 63	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) e. om )
65		mulpiord 7239	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) = ( D .o S ) )
66		mulclpi 7250	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) e. N. )
67	65, 66	eqeltrrd 2235	. . . . . . 7 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .o S ) e. N. )
68	67	ad2ant2l 500	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. om /\ D e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) -> ( D .o S ) e. N. )
69	68	ad2ant2l 500	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( D .o S ) e. N. )
70		enq0breq 7358	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) /\ ( ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) ) -> ( <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) ) )
71	57, 62, 64, 69, 70	syl22anc 1221	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) ) )
72	71	adantr 274	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> ( <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) ) )
73	55, 72	mpbird 166	. 2 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. )
74	73	ex 114	1 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   <.cop 3564   class class class wbr 3967   omcom 4551  (class class class)co 5826   +o coa 6362   .o comu 6363   N.cnpi 7194   .N cmi 7196   ~_Q0 ceq0 7208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-iord 4328  df-on 4330  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-irdg 6319  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-ni 7226  df-mi 7228  df-enq0 7346

This theorem is referenced by:  addnq0mo  7369