ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcmpblnq0 Unicode version
Theorem addcmpblnq0 7405
Description: Lemma showing compatibility of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addcmpblnq0 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. ) )
Proof of Theorem addcmpblnq0
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nndi 6465 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( x .o ( y +o z ) ) = ( ( x .o y ) +o ( x .o z ) ) )
21adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( x .o ( y +o z ) ) = ( ( x .o y ) +o ( x .o z ) ) )
3 simplll 528 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> A e. om )
4 simprlr 533 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> G e. N. )
5 pinn 7271 . . . . . . . . 9 |- ( G e. N. -> G e. om )
64, 5syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> G e. om )
7 nnmcl 6460 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ G e. om ) -> ( A .o G ) e. om )
83, 6, 7syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( A .o G ) e. om )
9 simpllr 529 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> B e. N. )
10 pinn 7271 . . . . . . . . 9 |- ( B e. N. -> B e. om )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> B e. om )
12 simprll 532 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> F e. om )
13 nnmcl 6460 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ F e. om ) -> ( B .o F ) e. om )
1411, 12, 13syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( B .o F ) e. om )
15 simplrr 531 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> D e. N. )
16 pinn 7271 . . . . . . . . 9 |- ( D e. N. -> D e. om )
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> D e. om )
18 simprrr 535 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> S e. N. )
19 pinn 7271 . . . . . . . . 9 |- ( S e. N. -> S e. om )
2018, 19syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> S e. om )
21 nnmcl 6460 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. om /\ S e. om ) -> ( D .o S ) e. om )
2217, 20, 21syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( D .o S ) e. om )
23 nnacl 6459 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x +o y ) e. om )
2423adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x +o y ) e. om )
25 nnmcom 6468 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
2625adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
272, 8, 14, 22, 24, 26caovdir2d 6029 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( ( A .o G ) .o ( D .o S ) ) +o ( ( B .o F ) .o ( D .o S ) ) ) )
28 nnmass 6466 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
2928adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
30 nnmcl 6460 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) e. om )
3130adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) e. om )
323, 6, 17, 26, 29, 20, 31caov4d 6037 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .o G ) .o ( D .o S ) ) = ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) )
3311, 12, 17, 26, 29, 20, 31caov4d 6037 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) )
3432, 33oveq12d 5871 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) .o ( D .o S ) ) +o ( ( B .o F ) .o ( D .o S ) ) ) = ( ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) ) )
3527, 34eqtrd 2203 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) ) )
36 oveq1 5860 . . . . . 6 |- ( ( A .o D ) = ( B .o C ) -> ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) )
37 oveq2 5861 . . . . . 6 |- ( ( F .o S ) = ( G .o R ) -> ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) = ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) )
3836, 37oveqan12d 5872 . . . . 5 |- ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> ( ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
3935, 38sylan9eq 2223 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
40 nnmcl 6460 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ G e. om ) -> ( B .o G ) e. om )
4111, 6, 40syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( B .o G ) e. om )
42 simplrl 530 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> C e. om )
43 nnmcl 6460 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. om /\ S e. om ) -> ( C .o S ) e. om )
4442, 20, 43syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( C .o S ) e. om )
45 simprrl 534 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> R e. om )
46 nnmcl 6460 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. om /\ R e. om ) -> ( D .o R ) e. om )
4717, 45, 46syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( D .o R ) e. om )
48 nndi 6465 . . . . . . 7 |- ( ( ( B .o G ) e. om /\ ( C .o S ) e. om /\ ( D .o R ) e. om ) -> ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o G ) .o ( C .o S ) ) +o ( ( B .o G ) .o ( D .o R ) ) ) )
4941, 44, 47, 48syl3anc 1233 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o G ) .o ( C .o S ) ) +o ( ( B .o G ) .o ( D .o R ) ) ) )
5011, 6, 42, 26, 29, 20, 31caov4d 6037 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( C .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) )
5111, 6, 17, 26, 29, 45, 31caov4d 6037 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( D .o R ) ) = ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) )
5250, 51oveq12d 5871 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( B .o G ) .o ( C .o S ) ) +o ( ( B .o G ) .o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
5349, 52eqtrd 2203 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
5453adantr 274 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
5539, 54eqtr4d 2206 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) )
56 nnacl 6459 . . . . . 6 |- ( ( ( A .o G ) e. om /\ ( B .o F ) e. om ) -> ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) e. om )
578, 14, 56syl2anc 409 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) e. om )
58 mulpiord 7279 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) = ( B .o G ) )
59 mulclpi 7290 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) e. N. )
6058, 59eqeltrrd 2248 . . . . . . 7 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .o G ) e. N. )
6160ad2ant2l 505 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( F e. om /\ G e. N. ) ) -> ( B .o G ) e. N. )
6261ad2ant2r 506 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( B .o G ) e. N. )
63 nnacl 6459 . . . . . 6 |- ( ( ( C .o S ) e. om /\ ( D .o R ) e. om ) -> ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) e. om )
6444, 47, 63syl2anc 409 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) e. om )
65 mulpiord 7279 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) = ( D .o S ) )
66 mulclpi 7290 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) e. N. )
6765, 66eqeltrrd 2248 . . . . . . 7 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .o S ) e. N. )
6867ad2ant2l 505 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. om /\ D e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) -> ( D .o S ) e. N. )
6968ad2ant2l 505 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( D .o S ) e. N. )
70 enq0breq 7398 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) /\ ( ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) ) -> ( <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) ) )
7157, 62, 64, 69, 70syl22anc 1234 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) ) )
7271adantr 274 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> ( <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) ) )
7355, 72mpbird 166 . 2 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. )
7473ex 114 1 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   class class class wbr 3989   omcom 4574  (class class class)co 5853   +o coa 6392   .o comu 6393   N.cnpi 7234   .N cmi 7236   ~Q0 ceq0 7248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-ni 7266  df-mi 7268  df-enq0 7386
This theorem is referenced by:  addnq0mo  7409
  Copyright terms: Public domain W3C validator