ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcmpblnq0 Unicode version

Theorem addcmpblnq0 7000
Description: Lemma showing compatibility of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addcmpblnq0  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C )  /\  ( F  .o  S )  =  ( G  .o  R
) )  ->  <. (
( A  .o  G
)  +o  ( B  .o  F ) ) ,  ( B  .o  G ) >. ~Q0 
<. ( ( C  .o  S )  +o  ( D  .o  R ) ) ,  ( D  .o  S ) >. )
)

Proof of Theorem addcmpblnq0
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nndi 6247 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  (
x  .o  ( y  +o  z ) )  =  ( ( x  .o  y )  +o  ( x  .o  z
) ) )
21adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
om  /\  y  e.  om 
/\  z  e.  om ) )  ->  (
x  .o  ( y  +o  z ) )  =  ( ( x  .o  y )  +o  ( x  .o  z
) ) )
3 simplll 500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  A  e.  om )
4 simprlr 505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  G  e.  N. )
5 pinn 6866 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  N.  ->  G  e.  om )
64, 5syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  G  e.  om )
7 nnmcl 6242 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  G  e.  om )  ->  ( A  .o  G
)  e.  om )
83, 6, 7syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( A  .o  G )  e.  om )
9 simpllr 501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  B  e.  N. )
10 pinn 6866 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  B  e.  om )
12 simprll 504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  F  e.  om )
13 nnmcl 6242 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  F  e.  om )  ->  ( B  .o  F
)  e.  om )
1411, 12, 13syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( B  .o  F )  e.  om )
15 simplrr 503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  D  e.  N. )
16 pinn 6866 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  N.  ->  D  e.  om )
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  D  e.  om )
18 simprrr 507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  S  e.  N. )
19 pinn 6866 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  N.  ->  S  e.  om )
2018, 19syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  S  e.  om )
21 nnmcl 6242 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  om  /\  S  e.  om )  ->  ( D  .o  S
)  e.  om )
2217, 20, 21syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( D  .o  S )  e.  om )
23 nnacl 6241 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  +o  y
)  e.  om )
2423adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
om  /\  y  e.  om ) )  ->  (
x  +o  y )  e.  om )
25 nnmcom 6250 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  .o  y
)  =  ( y  .o  x ) )
2625adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
om  /\  y  e.  om ) )  ->  (
x  .o  y )  =  ( y  .o  x ) )
272, 8, 14, 22, 24, 26caovdir2d 5821 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .o  G )  +o  ( B  .o  F ) )  .o  ( D  .o  S
) )  =  ( ( ( A  .o  G )  .o  ( D  .o  S ) )  +o  ( ( B  .o  F )  .o  ( D  .o  S
) ) ) )
28 nnmass 6248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  (
( x  .o  y
)  .o  z )  =  ( x  .o  ( y  .o  z
) ) )
2928adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
om  /\  y  e.  om 
/\  z  e.  om ) )  ->  (
( x  .o  y
)  .o  z )  =  ( x  .o  ( y  .o  z
) ) )
30 nnmcl 6242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  .o  y
)  e.  om )
3130adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( x  e. 
om  /\  y  e.  om ) )  ->  (
x  .o  y )  e.  om )
323, 6, 17, 26, 29, 20, 31caov4d 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( A  .o  G )  .o  ( D  .o  S
) )  =  ( ( A  .o  D
)  .o  ( G  .o  S ) ) )
3311, 12, 17, 26, 29, 20, 31caov4d 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .o  F )  .o  ( D  .o  S
) )  =  ( ( B  .o  D
)  .o  ( F  .o  S ) ) )
3432, 33oveq12d 5670 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .o  G )  .o  ( D  .o  S ) )  +o  ( ( B  .o  F )  .o  ( D  .o  S ) ) )  =  ( ( ( A  .o  D
)  .o  ( G  .o  S ) )  +o  ( ( B  .o  D )  .o  ( F  .o  S
) ) ) )
3527, 34eqtrd 2120 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .o  G )  +o  ( B  .o  F ) )  .o  ( D  .o  S
) )  =  ( ( ( A  .o  D )  .o  ( G  .o  S ) )  +o  ( ( B  .o  D )  .o  ( F  .o  S
) ) ) )
36 oveq1 5659 . . . . . 6  |-  ( ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C )  ->  (
( A  .o  D
)  .o  ( G  .o  S ) )  =  ( ( B  .o  C )  .o  ( G  .o  S
) ) )
37 oveq2 5660 . . . . . 6  |-  ( ( F  .o  S )  =  ( G  .o  R )  ->  (
( B  .o  D
)  .o  ( F  .o  S ) )  =  ( ( B  .o  D )  .o  ( G  .o  R
) ) )
3836, 37oveqan12d 5671 . . . . 5  |-  ( ( ( A  .o  D
)  =  ( B  .o  C )  /\  ( F  .o  S
)  =  ( G  .o  R ) )  ->  ( ( ( A  .o  D )  .o  ( G  .o  S ) )  +o  ( ( B  .o  D )  .o  ( F  .o  S ) ) )  =  ( ( ( B  .o  C
)  .o  ( G  .o  S ) )  +o  ( ( B  .o  D )  .o  ( G  .o  R
) ) ) )
3935, 38sylan9eq 2140 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
)  /\  ( F  .o  S )  =  ( G  .o  R ) ) )  ->  (
( ( A  .o  G )  +o  ( B  .o  F ) )  .o  ( D  .o  S ) )  =  ( ( ( B  .o  C )  .o  ( G  .o  S
) )  +o  (
( B  .o  D
)  .o  ( G  .o  R ) ) ) )
40 nnmcl 6242 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  G  e.  om )  ->  ( B  .o  G
)  e.  om )
4111, 6, 40syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( B  .o  G )  e.  om )
42 simplrl 502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  C  e.  om )
43 nnmcl 6242 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  om  /\  S  e.  om )  ->  ( C  .o  S
)  e.  om )
4442, 20, 43syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( C  .o  S )  e.  om )
45 simprrl 506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  R  e.  om )
46 nnmcl 6242 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  om  /\  R  e.  om )  ->  ( D  .o  R
)  e.  om )
4717, 45, 46syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( D  .o  R )  e.  om )
48 nndi 6247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  .o  G
)  e.  om  /\  ( C  .o  S
)  e.  om  /\  ( D  .o  R
)  e.  om )  ->  ( ( B  .o  G )  .o  (
( C  .o  S
)  +o  ( D  .o  R ) ) )  =  ( ( ( B  .o  G
)  .o  ( C  .o  S ) )  +o  ( ( B  .o  G )  .o  ( D  .o  R
) ) ) )
4941, 44, 47, 48syl3anc 1174 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .o  G )  .o  ( ( C  .o  S )  +o  ( D  .o  R ) ) )  =  ( ( ( B  .o  G
)  .o  ( C  .o  S ) )  +o  ( ( B  .o  G )  .o  ( D  .o  R
) ) ) )
5011, 6, 42, 26, 29, 20, 31caov4d 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .o  G )  .o  ( C  .o  S
) )  =  ( ( B  .o  C
)  .o  ( G  .o  S ) ) )
5111, 6, 17, 26, 29, 45, 31caov4d 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .o  G )  .o  ( D  .o  R
) )  =  ( ( B  .o  D
)  .o  ( G  .o  R ) ) )
5250, 51oveq12d 5670 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( B  .o  G )  .o  ( C  .o  S ) )  +o  ( ( B  .o  G )  .o  ( D  .o  R ) ) )  =  ( ( ( B  .o  C
)  .o  ( G  .o  S ) )  +o  ( ( B  .o  D )  .o  ( G  .o  R
) ) ) )
5349, 52eqtrd 2120 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( B  .o  G )  .o  ( ( C  .o  S )  +o  ( D  .o  R ) ) )  =  ( ( ( B  .o  C
)  .o  ( G  .o  S ) )  +o  ( ( B  .o  D )  .o  ( G  .o  R
) ) ) )
5453adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
)  /\  ( F  .o  S )  =  ( G  .o  R ) ) )  ->  (
( B  .o  G
)  .o  ( ( C  .o  S )  +o  ( D  .o  R ) ) )  =  ( ( ( B  .o  C )  .o  ( G  .o  S ) )  +o  ( ( B  .o  D )  .o  ( G  .o  R ) ) ) )
5539, 54eqtr4d 2123 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
)  /\  ( F  .o  S )  =  ( G  .o  R ) ) )  ->  (
( ( A  .o  G )  +o  ( B  .o  F ) )  .o  ( D  .o  S ) )  =  ( ( B  .o  G )  .o  (
( C  .o  S
)  +o  ( D  .o  R ) ) ) )
56 nnacl 6241 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .o  G
)  e.  om  /\  ( B  .o  F
)  e.  om )  ->  ( ( A  .o  G )  +o  ( B  .o  F ) )  e.  om )
578, 14, 56syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( A  .o  G )  +o  ( B  .o  F
) )  e.  om )
58 mulpiord 6874 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( B  .N  G
)  =  ( B  .o  G ) )
59 mulclpi 6885 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( B  .N  G
)  e.  N. )
6058, 59eqeltrrd 2165 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  N.  /\  G  e.  N. )  ->  ( B  .o  G
)  e.  N. )
6160ad2ant2l 492 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( F  e.  om  /\  G  e.  N. )
)  ->  ( B  .o  G )  e.  N. )
6261ad2ant2r 493 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( B  .o  G )  e.  N. )
63 nnacl 6241 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  .o  S
)  e.  om  /\  ( D  .o  R
)  e.  om )  ->  ( ( C  .o  S )  +o  ( D  .o  R ) )  e.  om )
6444, 47, 63syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( C  .o  S )  +o  ( D  .o  R
) )  e.  om )
65 mulpiord 6874 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( D  .N  S
)  =  ( D  .o  S ) )
66 mulclpi 6885 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( D  .N  S
)  e.  N. )
6765, 66eqeltrrd 2165 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  N.  /\  S  e.  N. )  ->  ( D  .o  S
)  e.  N. )
6867ad2ant2l 492 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  D  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. )
)  ->  ( D  .o  S )  e.  N. )
6968ad2ant2l 492 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( D  .o  S )  e.  N. )
70 enq0breq 6993 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  .o  G )  +o  ( B  .o  F
) )  e.  om  /\  ( B  .o  G
)  e.  N. )  /\  ( ( ( C  .o  S )  +o  ( D  .o  R
) )  e.  om  /\  ( D  .o  S
)  e.  N. )
)  ->  ( <. ( ( A  .o  G
)  +o  ( B  .o  F ) ) ,  ( B  .o  G ) >. ~Q0 
<. ( ( C  .o  S )  +o  ( D  .o  R ) ) ,  ( D  .o  S ) >.  <->  ( (
( A  .o  G
)  +o  ( B  .o  F ) )  .o  ( D  .o  S ) )  =  ( ( B  .o  G )  .o  (
( C  .o  S
)  +o  ( D  .o  R ) ) ) ) )
7157, 62, 64, 69, 70syl22anc 1175 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( <. (
( A  .o  G
)  +o  ( B  .o  F ) ) ,  ( B  .o  G ) >. ~Q0 
<. ( ( C  .o  S )  +o  ( D  .o  R ) ) ,  ( D  .o  S ) >.  <->  ( (
( A  .o  G
)  +o  ( B  .o  F ) )  .o  ( D  .o  S ) )  =  ( ( B  .o  G )  .o  (
( C  .o  S
)  +o  ( D  .o  R ) ) ) ) )
7271adantr 270 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
)  /\  ( F  .o  S )  =  ( G  .o  R ) ) )  ->  ( <. ( ( A  .o  G )  +o  ( B  .o  F ) ) ,  ( B  .o  G ) >. ~Q0 
<. ( ( C  .o  S )  +o  ( D  .o  R ) ) ,  ( D  .o  S ) >.  <->  ( (
( A  .o  G
)  +o  ( B  .o  F ) )  .o  ( D  .o  S ) )  =  ( ( B  .o  G )  .o  (
( C  .o  S
)  +o  ( D  .o  R ) ) ) ) )
7355, 72mpbird 165 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  /\  ( ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C
)  /\  ( F  .o  S )  =  ( G  .o  R ) ) )  ->  <. (
( A  .o  G
)  +o  ( B  .o  F ) ) ,  ( B  .o  G ) >. ~Q0 
<. ( ( C  .o  S )  +o  ( D  .o  R ) ) ,  ( D  .o  S ) >. )
7473ex 113 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  N. )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  N. ) )  /\  ( ( F  e. 
om  /\  G  e.  N. )  /\  ( R  e.  om  /\  S  e.  N. ) ) )  ->  ( ( ( A  .o  D )  =  ( B  .o  C )  /\  ( F  .o  S )  =  ( G  .o  R
) )  ->  <. (
( A  .o  G
)  +o  ( B  .o  F ) ) ,  ( B  .o  G ) >. ~Q0 
<. ( ( C  .o  S )  +o  ( D  .o  R ) ) ,  ( D  .o  S ) >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3449   class class class wbr 3845   omcom 4405  (class class class)co 5652    +o coa 6178    .o comu 6179   N.cnpi 6829    .N cmi 6831   ~Q0 ceq0 6843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-ni 6861  df-mi 6863  df-enq0 6981
This theorem is referenced by:  addnq0mo  7004
  Copyright terms: Public domain W3C validator