ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcmpblnq0 Unicode version
Theorem addcmpblnq0 7804
Description: Lemma showing compatibility of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addcmpblnq0 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. ) )
Proof of Theorem addcmpblnq0
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nndi 6753 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( x .o ( y +o z ) ) = ( ( x .o y ) +o ( x .o z ) ) )
21adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( x .o ( y +o z ) ) = ( ( x .o y ) +o ( x .o z ) ) )
3 simplll 539 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> A e. om )
4 simprlr 544 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> G e. N. )
5 pinn 7670 . . . . . . . . 9 |- ( G e. N. -> G e. om )
64, 5syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> G e. om )
7 nnmcl 6748 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ G e. om ) -> ( A .o G ) e. om )
83, 6, 7syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( A .o G ) e. om )
9 simpllr 540 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> B e. N. )
10 pinn 7670 . . . . . . . . 9 |- ( B e. N. -> B e. om )
119, 10syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> B e. om )
12 simprll 543 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> F e. om )
13 nnmcl 6748 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ F e. om ) -> ( B .o F ) e. om )
1411, 12, 13syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( B .o F ) e. om )
15 simplrr 542 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> D e. N. )
16 pinn 7670 . . . . . . . . 9 |- ( D e. N. -> D e. om )
1715, 16syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> D e. om )
18 simprrr 546 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> S e. N. )
19 pinn 7670 . . . . . . . . 9 |- ( S e. N. -> S e. om )
2018, 19syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> S e. om )
21 nnmcl 6748 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. om /\ S e. om ) -> ( D .o S ) e. om )
2217, 20, 21syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( D .o S ) e. om )
23 nnacl 6747 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x +o y ) e. om )
2423adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x +o y ) e. om )
25 nnmcom 6756 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
2625adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
272, 8, 14, 22, 24, 26caovdir2d 6260 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( ( A .o G ) .o ( D .o S ) ) +o ( ( B .o F ) .o ( D .o S ) ) ) )
28 nnmass 6754 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
2928adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om /\ z e. om ) ) -> ( ( x .o y ) .o z ) = ( x .o ( y .o z ) ) )
30 nnmcl 6748 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) e. om )
3130adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( x e. om /\ y e. om ) ) -> ( x .o y ) e. om )
323, 6, 17, 26, 29, 20, 31caov4d 6268 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .o G ) .o ( D .o S ) ) = ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) )
3311, 12, 17, 26, 29, 20, 31caov4d 6268 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o F ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) )
3432, 33oveq12d 6097 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) .o ( D .o S ) ) +o ( ( B .o F ) .o ( D .o S ) ) ) = ( ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) ) )
3527, 34eqtrd 2271 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) ) )
36 oveq1 6086 . . . . . 6 |- ( ( A .o D ) = ( B .o C ) -> ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) )
37 oveq2 6087 . . . . . 6 |- ( ( F .o S ) = ( G .o R ) -> ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) = ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) )
3836, 37oveqan12d 6098 . . . . 5 |- ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> ( ( ( A .o D ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( F .o S ) ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
3935, 38sylan9eq 2291 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
40 nnmcl 6748 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. om /\ G e. om ) -> ( B .o G ) e. om )
4111, 6, 40syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( B .o G ) e. om )
42 simplrl 541 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> C e. om )
43 nnmcl 6748 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. om /\ S e. om ) -> ( C .o S ) e. om )
4442, 20, 43syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( C .o S ) e. om )
45 simprrl 545 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> R e. om )
46 nnmcl 6748 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. om /\ R e. om ) -> ( D .o R ) e. om )
4717, 45, 46syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( D .o R ) e. om )
48 nndi 6753 . . . . . . 7 |- ( ( ( B .o G ) e. om /\ ( C .o S ) e. om /\ ( D .o R ) e. om ) -> ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o G ) .o ( C .o S ) ) +o ( ( B .o G ) .o ( D .o R ) ) ) )
4941, 44, 47, 48syl3anc 1278 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o G ) .o ( C .o S ) ) +o ( ( B .o G ) .o ( D .o R ) ) ) )
5011, 6, 42, 26, 29, 20, 31caov4d 6268 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( C .o S ) ) = ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) )
5111, 6, 17, 26, 29, 45, 31caov4d 6268 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( D .o R ) ) = ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) )
5250, 51oveq12d 6097 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( B .o G ) .o ( C .o S ) ) +o ( ( B .o G ) .o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
5349, 52eqtrd 2271 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
5453adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) = ( ( ( B .o C ) .o ( G .o S ) ) +o ( ( B .o D ) .o ( G .o R ) ) ) )
5539, 54eqtr4d 2274 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) )
56 nnacl 6747 . . . . . 6 |- ( ( ( A .o G ) e. om /\ ( B .o F ) e. om ) -> ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) e. om )
578, 14, 56syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) e. om )
58 mulpiord 7678 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) = ( B .o G ) )
59 mulclpi 7689 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .N G ) e. N. )
6058, 59eqeltrrd 2316 . . . . . . 7 |- ( ( B e. N. /\ G e. N. ) -> ( B .o G ) e. N. )
6160ad2ant2l 512 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( F e. om /\ G e. N. ) ) -> ( B .o G ) e. N. )
6261ad2ant2r 513 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( B .o G ) e. N. )
63 nnacl 6747 . . . . . 6 |- ( ( ( C .o S ) e. om /\ ( D .o R ) e. om ) -> ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) e. om )
6444, 47, 63syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) e. om )
65 mulpiord 7678 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) = ( D .o S ) )
66 mulclpi 7689 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .N S ) e. N. )
6765, 66eqeltrrd 2316 . . . . . . 7 |- ( ( D e. N. /\ S e. N. ) -> ( D .o S ) e. N. )
6867ad2ant2l 512 . . . . . 6 |- ( ( ( C e. om /\ D e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) -> ( D .o S ) e. N. )
6968ad2ant2l 512 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( D .o S ) e. N. )
70 enq0breq 7797 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) e. om /\ ( B .o G ) e. N. ) /\ ( ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) e. om /\ ( D .o S ) e. N. ) ) -> ( <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) ) )
7157, 62, 64, 69, 70syl22anc 1279 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) ) )
7271adantr 276 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> ( <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. <-> ( ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) .o ( D .o S ) ) = ( ( B .o G ) .o ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) ) ) )
7355, 72mpbird 167 . 2 |- ( ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) /\ ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) ) -> <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. )
7473ex 115 1 |- ( ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) /\ ( ( F e. om /\ G e. N. ) /\ ( R e. om /\ S e. N. ) ) ) -> ( ( ( A .o D ) = ( B .o C ) /\ ( F .o S ) = ( G .o R ) ) -> <. ( ( A .o G ) +o ( B .o F ) ) , ( B .o G ) >. ~Q0 <. ( ( C .o S ) +o ( D .o R ) ) , ( D .o S ) >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3711   class class class wbr 4128   omcom 4735  (class class class)co 6079   +o coa 6678   .o comu 6679   N.cnpi 7633   .N cmi 7635   ~Q0 ceq0 7647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-ni 7665  df-mi 7667  df-enq0 7785
This theorem is referenced by:  addnq0mo  7808
  Copyright terms: Public domain W3C validator