Theorem ofexg 6273

Description: A function operation restricted to a set is a set. (Contributed by NM, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( ∘𝑓 𝑅 ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem ofexg

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-of 6268	. . 3 ⊢ ∘𝑓 𝑅 = (𝑓 ∈ V, 𝑔 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (dom 𝑓 ∩ dom 𝑔) ↦ ((𝑓‘𝑥)𝑅(𝑔‘𝑥))))
2	1	mpofun 6157	. 2 ⊢ Fun ∘𝑓 𝑅
3		resfunexg 5907	. 2 ⊢ ((Fun ∘𝑓 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( ∘𝑓 𝑅 ↾ 𝐴) ∈ V)
4	2, 3	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( ∘𝑓 𝑅 ↾ 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∩ cin 3212   ↦ cmpt 4173  dom cdm 4751   ↾ cres 4753  Fun wfun 5348  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052   ∘_𝑓 cof 6266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268

This theorem is referenced by:  ofmresex  6332