Theorem ofexg 6270

Description: A function operation restricted to a set is a set. (Contributed by NM, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( ∘𝑓 𝑅 ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem ofexg

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-of 6265	. . 3 ⊢ ∘𝑓 𝑅 = (𝑓 ∈ V, 𝑔 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (dom 𝑓 ∩ dom 𝑔) ↦ ((𝑓‘𝑥)𝑅(𝑔‘𝑥))))
2	1	mpofun 6154	. 2 ⊢ Fun ∘𝑓 𝑅
3		resfunexg 5904	. 2 ⊢ ((Fun ∘𝑓 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( ∘𝑓 𝑅 ↾ 𝐴) ∈ V)
4	2, 3	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( ∘𝑓 𝑅 ↾ 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   ∩ cin 3209   ↦ cmpt 4170  dom cdm 4748   ↾ cres 4750  Fun wfun 5345  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   ∘_𝑓 cof 6263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265

This theorem is referenced by:  ofmresex  6329