Theorem ordwe 4573

Description: Epsilon well-orders every ordinal. Proposition 7.4 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 3-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordwe	|- ( Ord A -> _E We A )

Proof of Theorem ordwe

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 4572	. 2 |- ( Ord A -> _E Fr A )
2		ordelord 4379	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ z e. A ) -> Ord z )
3	2	3ad2antr3 1164	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> Ord z )
4		ordtr1 4386	. . . . 5 |- ( Ord z -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
5		epel 4290	. . . . . 6 |- ( x _E y <-> x e. y )
6		epel 4290	. . . . . 6 |- ( y _E z <-> y e. z )
7	5, 6	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( x _E y /\ y _E z ) <-> ( x e. y /\ y e. z ) )
8		epel 4290	. . . . 5 |- ( x _E z <-> x e. z )
9	4, 7, 8	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( Ord z -> ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
10	3, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
11	10	ralrimivvva 2560	. 2 |- ( Ord A -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
12		df-wetr 4332	. 2 |- ( _E We A <-> ( _E Fr A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) ) )
13	1, 11, 12	sylanbrc 417	1 |- ( Ord A -> _E We A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   e. wcel 2148   A.wral 2455   class class class wbr 4001   _E cep 4285   Fr wfr 4326   We wwe 4328   Ord word 4360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-setind 4534

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-tr 4100  df-eprel 4287  df-frfor 4329  df-frind 4330  df-wetr 4332  df-iord 4364

This theorem is referenced by:  nnwetri  6910