Theorem ordwe 4498

Description: Epsilon well-orders every ordinal. Proposition 7.4 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 3-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordwe	|- ( Ord A -> _E We A )

Proof of Theorem ordwe

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 4497	. 2 |- ( Ord A -> _E Fr A )
2		ordelord 4311	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ z e. A ) -> Ord z )
3	2	3ad2antr3 1149	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> Ord z )
4		ordtr1 4318	. . . . 5 |- ( Ord z -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
5		epel 4222	. . . . . 6 |- ( x _E y <-> x e. y )
6		epel 4222	. . . . . 6 |- ( y _E z <-> y e. z )
7	5, 6	anbi12i 456	. . . . 5 |- ( ( x _E y /\ y _E z ) <-> ( x e. y /\ y e. z ) )
8		epel 4222	. . . . 5 |- ( x _E z <-> x e. z )
9	4, 7, 8	3imtr4g 204	. . . 4 |- ( Ord z -> ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
10	3, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
11	10	ralrimivvva 2518	. 2 |- ( Ord A -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
12		df-wetr 4264	. 2 |- ( _E We A <-> ( _E Fr A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) ) )
13	1, 11, 12	sylanbrc 414	1 |- ( Ord A -> _E We A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   e. wcel 1481   A.wral 2417   class class class wbr 3937   _E cep 4217   Fr wfr 4258   We wwe 4260   Ord word 4292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-frfor 4261  df-frind 4262  df-wetr 4264  df-iord 4296

This theorem is referenced by:  nnwetri  6812