Theorem ordwe 4613

Description: Epsilon well-orders every ordinal. Proposition 7.4 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 3-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordwe	|- ( Ord A -> _E We A )

Proof of Theorem ordwe

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 4612	. 2 |- ( Ord A -> _E Fr A )
2		ordelord 4417	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ z e. A ) -> Ord z )
3	2	3ad2antr3 1166	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> Ord z )
4		ordtr1 4424	. . . . 5 |- ( Ord z -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
5		epel 4328	. . . . . 6 |- ( x _E y <-> x e. y )
6		epel 4328	. . . . . 6 |- ( y _E z <-> y e. z )
7	5, 6	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( x _E y /\ y _E z ) <-> ( x e. y /\ y e. z ) )
8		epel 4328	. . . . 5 |- ( x _E z <-> x e. z )
9	4, 7, 8	3imtr4g 205	. . . 4 |- ( Ord z -> ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
10	3, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
11	10	ralrimivvva 2580	. 2 |- ( Ord A -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
12		df-wetr 4370	. 2 |- ( _E We A <-> ( _E Fr A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) ) )
13	1, 11, 12	sylanbrc 417	1 |- ( Ord A -> _E We A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2167   A.wral 2475   class class class wbr 4034   _E cep 4323   Fr wfr 4364   We wwe 4366   Ord word 4398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-frfor 4367  df-frind 4368  df-wetr 4370  df-iord 4402

This theorem is referenced by:  nnwetri  6986