ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordwe Unicode version

Theorem ordwe 4381
Description: Epsilon well-orders every ordinal. Proposition 7.4 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 3-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordwe  |-  ( Ord 
A  ->  _E  We  A )

Proof of Theorem ordwe
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordfr 4380 . 2  |-  ( Ord 
A  ->  _E  Fr  A )
2 ordelord 4199 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  z  e.  A )  ->  Ord  z )
323ad2antr3 1110 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )
)  ->  Ord  z )
4 ordtr1 4206 . . . . 5  |-  ( Ord  z  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  z )  ->  x  e.  z ) )
5 epel 4110 . . . . . 6  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
6 epel 4110 . . . . . 6  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
75, 6anbi12i 448 . . . . 5  |-  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  z )  <->  ( x  e.  y  /\  y  e.  z )
)
8 epel 4110 . . . . 5  |-  ( x  _E  z  <->  x  e.  z )
94, 7, 83imtr4g 203 . . . 4  |-  ( Ord  z  ->  ( (
x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) )
103, 9syl 14 . . 3  |-  ( ( Ord  A  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )
)  ->  ( (
x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) )
1110ralrimivvva 2456 . 2  |-  ( Ord 
A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( (
x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) )
12 df-wetr 4152 . 2  |-  (  _E  We  A  <->  (  _E  Fr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( (
x  _E  y  /\  y  _E  z )  ->  x  _E  z ) ) )
131, 11, 12sylanbrc 408 1  |-  ( Ord 
A  ->  _E  We  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 924    e. wcel 1438   A.wral 2359   class class class wbr 3837    _E cep 4105    Fr wfr 4146    We wwe 4148   Ord word 4180
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-setind 4343
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-frfor 4149  df-frind 4150  df-wetr 4152  df-iord 4184
This theorem is referenced by:  nnwetri  6606
  Copyright terms: Public domain W3C validator