Theorem ordwe 4485

Description: Epsilon well-orders every ordinal. Proposition 7.4 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 3-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordwe	|- ( Ord A -> _E We A )

Proof of Theorem ordwe

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 4484	. 2 |- ( Ord A -> _E Fr A )
2		ordelord 4298	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ z e. A ) -> Ord z )
3	2	3ad2antr3 1148	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> Ord z )
4		ordtr1 4305	. . . . 5 |- ( Ord z -> ( ( x e. y /\ y e. z ) -> x e. z ) )
5		epel 4209	. . . . . 6 |- ( x _E y <-> x e. y )
6		epel 4209	. . . . . 6 |- ( y _E z <-> y e. z )
7	5, 6	anbi12i 455	. . . . 5 |- ( ( x _E y /\ y _E z ) <-> ( x e. y /\ y e. z ) )
8		epel 4209	. . . . 5 |- ( x _E z <-> x e. z )
9	4, 7, 8	3imtr4g 204	. . . 4 |- ( Ord z -> ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
10	3, 9	syl 14	. . 3 |- ( ( Ord A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
11	10	ralrimivvva 2513	. 2 |- ( Ord A -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) )
12		df-wetr 4251	. 2 |- ( _E We A <-> ( _E Fr A /\ A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( ( x _E y /\ y _E z ) -> x _E z ) ) )
13	1, 11, 12	sylanbrc 413	1 |- ( Ord A -> _E We A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   e. wcel 1480   A.wral 2414   class class class wbr 3924   _E cep 4204   Fr wfr 4245   We wwe 4247   Ord word 4279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-frfor 4248  df-frind 4249  df-wetr 4251  df-iord 4283

This theorem is referenced by:  nnwetri  6797