Theorem ordwe 4612

Description: Epsilon well-orders every ordinal. Proposition 7.4 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 3-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordwe	⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)

Proof of Theorem ordwe

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 4611	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2		ordelord 4416	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Ord 𝑧)
3	2	3ad2antr3 1166	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → Ord 𝑧)
4		ordtr1 4423	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
5		epel 4327	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)
6		epel 4327	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
7	5, 6	anbi12i 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
8		epel 4327	. . . . 5 ⊢ (𝑥 E 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧)
9	4, 7, 8	3imtr4g 205	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑧 → ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
10	3, 9	syl 14	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
11	10	ralrimivvva 2580	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
12		df-wetr 4369	. 2 ⊢ ( E We 𝐴 ↔ ( E Fr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧)))
13	1, 11, 12	sylanbrc 417	1 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   class class class wbr 4033   E cep 4322   Fr wfr 4363   We wwe 4365  Ord word 4397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-frfor 4366  df-frind 4367  df-wetr 4369  df-iord 4401

This theorem is referenced by:  nnwetri  6977