Theorem ordwe 4698

Description: Epsilon well-orders every ordinal. Proposition 7.4 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 3-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordwe	⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)

Proof of Theorem ordwe

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 4697	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2		ordelord 4502	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Ord 𝑧)
3	2	3ad2antr3 1191	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → Ord 𝑧)
4		ordtr1 4509	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
5		epel 4413	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)
6		epel 4413	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
7	5, 6	anbi12i 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
8		epel 4413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 E 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧)
9	4, 7, 8	3imtr4g 205	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑧 → ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
10	3, 9	syl 14	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
11	10	ralrimivvva 2625	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
12		df-wetr 4455	. 2 ⊢ ( E We 𝐴 ↔ ( E Fr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧)))
13	1, 11, 12	sylanbrc 417	1 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520   class class class wbr 4109   E cep 4408   Fr wfr 4449   We wwe 4451  Ord word 4483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-frfor 4452  df-frind 4453  df-wetr 4455  df-iord 4487

This theorem is referenced by:  nnwetri  7176