ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordwe GIF version

Theorem ordwe 4458
Description: Epsilon well-orders every ordinal. Proposition 7.4 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 3-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordwe (Ord 𝐴 → E We 𝐴)

Proof of Theorem ordwe
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordfr 4457 . 2 (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2 ordelord 4271 . . . . 5 ((Ord 𝐴𝑧𝐴) → Ord 𝑧)
323ad2antr3 1131 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → Ord 𝑧)
4 ordtr1 4278 . . . . 5 (Ord 𝑧 → ((𝑥𝑦𝑦𝑧) → 𝑥𝑧))
5 epel 4182 . . . . . 6 (𝑥 E 𝑦𝑥𝑦)
6 epel 4182 . . . . . 6 (𝑦 E 𝑧𝑦𝑧)
75, 6anbi12i 453 . . . . 5 ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑧))
8 epel 4182 . . . . 5 (𝑥 E 𝑧𝑥𝑧)
94, 7, 83imtr4g 204 . . . 4 (Ord 𝑧 → ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
103, 9syl 14 . . 3 ((Ord 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) → ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
1110ralrimivvva 2490 . 2 (Ord 𝐴 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
12 df-wetr 4224 . 2 ( E We 𝐴 ↔ ( E Fr 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴 ((𝑥 E 𝑦𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧)))
131, 11, 12sylanbrc 411 1 (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 945  wcel 1463  wral 2391   class class class wbr 3897   E cep 4177   Fr wfr 4218   We wwe 4220  Ord word 4252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-setind 4420
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-frfor 4221  df-frind 4222  df-wetr 4224  df-iord 4256
This theorem is referenced by:  nnwetri  6770
  Copyright terms: Public domain W3C validator