Theorem ordwe 4553

Description: Epsilon well-orders every ordinal. Proposition 7.4 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 3-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordwe	⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)

Proof of Theorem ordwe

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 4552	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2		ordelord 4359	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Ord 𝑧)
3	2	3ad2antr3 1154	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → Ord 𝑧)
4		ordtr1 4366	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
5		epel 4270	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)
6		epel 4270	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
7	5, 6	anbi12i 456	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
8		epel 4270	. . . . 5 ⊢ (𝑥 E 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧)
9	4, 7, 8	3imtr4g 204	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑧 → ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
10	3, 9	syl 14	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
11	10	ralrimivvva 2549	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
12		df-wetr 4312	. 2 ⊢ ( E We 𝐴 ↔ ( E Fr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧)))
13	1, 11, 12	sylanbrc 414	1 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 968   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444   class class class wbr 3982   E cep 4265   Fr wfr 4306   We wwe 4308  Ord word 4340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-frfor 4309  df-frind 4310  df-wetr 4312  df-iord 4344

This theorem is referenced by:  nnwetri  6881