Theorem ordwe 4667

Description: Epsilon well-orders every ordinal. Proposition 7.4 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 3-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordwe	⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)

Proof of Theorem ordwe

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordfr 4666	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → E Fr 𝐴)
2		ordelord 4471	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → Ord 𝑧)
3	2	3ad2antr3 1188	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → Ord 𝑧)
4		ordtr1 4478	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
5		epel 4382	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 E 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦)
6		epel 4382	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 E 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)
7	5, 6	anbi12i 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
8		epel 4382	. . . . 5 ⊢ (𝑥 E 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧)
9	4, 7, 8	3imtr4g 205	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑧 → ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
10	3, 9	syl 14	. . 3 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
11	10	ralrimivvva 2613	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧))
12		df-wetr 4424	. 2 ⊢ ( E We 𝐴 ↔ ( E Fr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑥 E 𝑦 ∧ 𝑦 E 𝑧) → 𝑥 E 𝑧)))
13	1, 11, 12	sylanbrc 417	1 ⊢ (Ord 𝐴 → E We 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   class class class wbr 4082   E cep 4377   Fr wfr 4418   We wwe 4420  Ord word 4452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-setind 4628

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-tr 4182  df-eprel 4379  df-frfor 4421  df-frind 4422  df-wetr 4424  df-iord 4456

This theorem is referenced by:  nnwetri  7074