Theorem ottposg 6234

Description: The transposition swaps the first two elements in a collection of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ottposg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B , C >. e. tpos F <-> <. B , A , C >. e. F ) )

Proof of Theorem ottposg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtposg 6233	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )
2		df-br 3990	. . 3 |- ( <. A , B >.tpos F C <-> <. <. A , B >. , C >. e. tpos F )
3		df-br 3990	. . 3 |- ( <. B , A >. F C <-> <. <. B , A >. , C >. e. F )
4	1, 2, 3	3bitr3g 221	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. <. A , B >. , C >. e. tpos F <-> <. <. B , A >. , C >. e. F ) )
5		df-ot 3593	. . 3 |- <. A , B , C >. = <. <. A , B >. , C >.
6	5	eleq1i 2236	. 2 |- ( <. A , B , C >. e. tpos F <-> <. <. A , B >. , C >. e. tpos F )
7		df-ot 3593	. . 3 |- <. B , A , C >. = <. <. B , A >. , C >.
8	7	eleq1i 2236	. 2 |- ( <. B , A , C >. e. F <-> <. <. B , A >. , C >. e. F )
9	4, 6, 8	3bitr4g 222	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B , C >. e. tpos F <-> <. B , A , C >. e. F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 973   e. wcel 2141   <.cop 3586   <.cotp 3587   class class class wbr 3989  tpos ctpos 6223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-ot 3593  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206  df-tpos 6224

This theorem is referenced by: (None)