ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ottposg Unicode version

Theorem ottposg 6156
Description: The transposition swaps the first two elements in a collection of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
ottposg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B ,  C >.  e. tpos  F  <->  <. B ,  A ,  C >.  e.  F ) )

Proof of Theorem ottposg
StepHypRef Expression
1 brtposg 6155 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
2 df-br 3934 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. tpos  F
)
3 df-br 3934 . . 3  |-  ( <. B ,  A >. F C  <->  <. <. B ,  A >. ,  C >.  e.  F
)
41, 2, 33bitr3g 221 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. tpos  F  <->  <. <. B ,  A >. ,  C >.  e.  F
) )
5 df-ot 3538 . . 3  |-  <. A ,  B ,  C >.  = 
<. <. A ,  B >. ,  C >.
65eleq1i 2206 . 2  |-  ( <. A ,  B ,  C >.  e. tpos  F  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. tpos  F )
7 df-ot 3538 . . 3  |-  <. B ,  A ,  C >.  = 
<. <. B ,  A >. ,  C >.
87eleq1i 2206 . 2  |-  ( <. B ,  A ,  C >.  e.  F  <->  <. <. B ,  A >. ,  C >.  e.  F )
94, 6, 83bitr4g 222 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B ,  C >.  e. tpos  F  <->  <. B ,  A ,  C >.  e.  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 963    e. wcel 1481   <.cop 3531   <.cotp 3532   class class class wbr 3933  tpos ctpos 6145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-ot 3538  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-fv 5135  df-tpos 6146
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator