Theorem ottposg 6258

Description: The transposition swaps the first two elements in a collection of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ottposg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B , C >. e. tpos F <-> <. B , A , C >. e. F ) )

Proof of Theorem ottposg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtposg 6257	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )
2		df-br 4006	. . 3 |- ( <. A , B >.tpos F C <-> <. <. A , B >. , C >. e. tpos F )
3		df-br 4006	. . 3 |- ( <. B , A >. F C <-> <. <. B , A >. , C >. e. F )
4	1, 2, 3	3bitr3g 222	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. <. A , B >. , C >. e. tpos F <-> <. <. B , A >. , C >. e. F ) )
5		df-ot 3604	. . 3 |- <. A , B , C >. = <. <. A , B >. , C >.
6	5	eleq1i 2243	. 2 |- ( <. A , B , C >. e. tpos F <-> <. <. A , B >. , C >. e. tpos F )
7		df-ot 3604	. . 3 |- <. B , A , C >. = <. <. B , A >. , C >.
8	7	eleq1i 2243	. 2 |- ( <. B , A , C >. e. F <-> <. <. B , A >. , C >. e. F )
9	4, 6, 8	3bitr4g 223	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B , C >. e. tpos F <-> <. B , A , C >. e. F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   <.cop 3597   <.cotp 3598   class class class wbr 4005  tpos ctpos 6247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-ot 3604  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-tpos 6248

This theorem is referenced by: (None)