ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ottposg Unicode version

Theorem ottposg 6120
Description: The transposition swaps the first two elements in a collection of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
ottposg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B ,  C >.  e. tpos  F  <->  <. B ,  A ,  C >.  e.  F ) )

Proof of Theorem ottposg
StepHypRef Expression
1 brtposg 6119 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
2 df-br 3900 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. tpos  F
)
3 df-br 3900 . . 3  |-  ( <. B ,  A >. F C  <->  <. <. B ,  A >. ,  C >.  e.  F
)
41, 2, 33bitr3g 221 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. tpos  F  <->  <. <. B ,  A >. ,  C >.  e.  F
) )
5 df-ot 3507 . . 3  |-  <. A ,  B ,  C >.  = 
<. <. A ,  B >. ,  C >.
65eleq1i 2183 . 2  |-  ( <. A ,  B ,  C >.  e. tpos  F  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. tpos  F )
7 df-ot 3507 . . 3  |-  <. B ,  A ,  C >.  = 
<. <. B ,  A >. ,  C >.
87eleq1i 2183 . 2  |-  ( <. B ,  A ,  C >.  e.  F  <->  <. <. B ,  A >. ,  C >.  e.  F )
94, 6, 83bitr4g 222 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B ,  C >.  e. tpos  F  <->  <. B ,  A ,  C >.  e.  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 947    e. wcel 1465   <.cop 3500   <.cotp 3501   class class class wbr 3899  tpos ctpos 6109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-ot 3507  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-fv 5101  df-tpos 6110
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator