ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ottposg Unicode version

Theorem ottposg 6249
Description: The transposition swaps the first two elements in a collection of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
ottposg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B ,  C >.  e. tpos  F  <->  <. B ,  A ,  C >.  e.  F ) )

Proof of Theorem ottposg
StepHypRef Expression
1 brtposg 6248 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
2 df-br 4001 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. tpos  F
)
3 df-br 4001 . . 3  |-  ( <. B ,  A >. F C  <->  <. <. B ,  A >. ,  C >.  e.  F
)
41, 2, 33bitr3g 222 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. tpos  F  <->  <. <. B ,  A >. ,  C >.  e.  F
) )
5 df-ot 3601 . . 3  |-  <. A ,  B ,  C >.  = 
<. <. A ,  B >. ,  C >.
65eleq1i 2243 . 2  |-  ( <. A ,  B ,  C >.  e. tpos  F  <->  <. <. A ,  B >. ,  C >.  e. tpos  F )
7 df-ot 3601 . . 3  |-  <. B ,  A ,  C >.  = 
<. <. B ,  A >. ,  C >.
87eleq1i 2243 . 2  |-  ( <. B ,  A ,  C >.  e.  F  <->  <. <. B ,  A >. ,  C >.  e.  F )
94, 6, 83bitr4g 223 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B ,  C >.  e. tpos  F  <->  <. B ,  A ,  C >.  e.  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    /\ w3a 978    e. wcel 2148   <.cop 3594   <.cotp 3595   class class class wbr 4000  tpos ctpos 6238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-ot 3601  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-fv 5219  df-tpos 6239
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator