ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brtposg Unicode version

Theorem brtposg 6081
Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
brtposg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )

Proof of Theorem brtposg
StepHypRef Expression
1 opswapg 4961 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )
21breq1d 3885 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( U. `' { <. A ,  B >. } F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
323adant3 969 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( U. `' { <. A ,  B >. } F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
43anbi2d 455 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  <. B ,  A >. F C ) ) )
5 brtpos2 6078 . . 3  |-  ( C  e.  X  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C ) ) )
653ad2ant3 972 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C ) ) )
7 opexg 4088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  -> 
<. B ,  A >.  e. 
_V )
87ancoms 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> 
<. B ,  A >.  e. 
_V )
98anim1i 336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >.  e. 
_V  /\  C  e.  X ) )
1093impa 1144 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >.  e.  _V  /\  C  e.  X ) )
11 breldmg 4683 . . . . . . 7  |-  ( (
<. B ,  A >.  e. 
_V  /\  C  e.  X  /\  <. B ,  A >. F C )  ->  <. B ,  A >.  e. 
dom  F )
12113expia 1151 . . . . . 6  |-  ( (
<. B ,  A >.  e. 
_V  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. B ,  A >.  e.  dom  F
) )
1310, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. B ,  A >.  e.  dom  F
) )
14 opelcnvg 4657 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  <->  <. B ,  A >.  e. 
dom  F ) )
15143adant3 969 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  <->  <. B ,  A >.  e. 
dom  F ) )
1613, 15sylibrd 168 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. A ,  B >.  e.  `' dom  F ) )
17 elun1 3190 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  ->  <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
1816, 17syl6 33 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
1918pm4.71rd 389 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >. F C  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  <. B ,  A >. F C ) ) )
204, 6, 193bitr4d 219 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 930    e. wcel 1448   _Vcvv 2641    u. cun 3019   (/)c0 3310   {csn 3474   <.cop 3477   U.cuni 3683   class class class wbr 3875   `'ccnv 4476   dom cdm 4477  tpos ctpos 6071
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-fv 5067  df-tpos 6072
This theorem is referenced by:  ottposg  6082  dmtpos  6083  rntpos  6084  ovtposg  6086  dftpos3  6089  tpostpos  6091
  Copyright terms: Public domain W3C validator