Theorem brtposg 6484

Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brtposg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )

Proof of Theorem brtposg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opswapg 5248	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >. )
2	1	breq1d 4118	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( U. `' { <. A , B >. } F C <-> <. B , A >. F C ) )
3	2	3adant3 1044	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( U. `' { <. A , B >. } F C <-> <. B , A >. F C ) )
4	3	anbi2d 464	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ <. B , A >. F C ) ) )
5		brtpos2 6481	. . 3 |- ( C e. X -> ( <. A , B >.tpos F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) ) )
6	5	3ad2ant3 1047	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) ) )
7		opexg 4343	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> <. B , A >. e. _V )
8	7	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. B , A >. e. _V )
9	8	anim1i 340	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X ) )
10	9	3impa 1221	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X ) )
11		breldmg 4961	. . . . . . 7 |- ( ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X /\ <. B , A >. F C ) -> <. B , A >. e. dom F )
12	11	3expia 1232	. . . . . 6 |- ( ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. B , A >. e. dom F ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. B , A >. e. dom F ) )
14		opelcnvg 4934	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( <. A , B >. e. `' dom F <-> <. B , A >. e. dom F ) )
15	14	3adant3 1044	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >. e. `' dom F <-> <. B , A >. e. dom F ) )
16	13, 15	sylibrd 169	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. A , B >. e. `' dom F ) )
17		elun1 3385	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. `' dom F -> <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
18	16, 17	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
19	18	pm4.71rd 394	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ <. B , A >. F C ) ) )
20	4, 6, 19	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   u. cun 3208   (/)c0 3507   {csn 3688   <.cop 3691   U.cuni 3913   class class class wbr 4108   `'ccnv 4747   dom cdm 4748  tpos ctpos 6474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-fv 5359  df-tpos 6475

This theorem is referenced by:  ottposg  6485  dmtpos  6486  rntpos  6487  ovtposg  6489  dftpos3  6492  tpostpos  6494