Theorem brtposg 6415

Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brtposg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )

Proof of Theorem brtposg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opswapg 5221	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >. )
2	1	breq1d 4096	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( U. `' { <. A , B >. } F C <-> <. B , A >. F C ) )
3	2	3adant3 1041	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( U. `' { <. A , B >. } F C <-> <. B , A >. F C ) )
4	3	anbi2d 464	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ <. B , A >. F C ) ) )
5		brtpos2 6412	. . 3 |- ( C e. X -> ( <. A , B >.tpos F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) ) )
6	5	3ad2ant3 1044	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) ) )
7		opexg 4318	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> <. B , A >. e. _V )
8	7	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. B , A >. e. _V )
9	8	anim1i 340	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X ) )
10	9	3impa 1218	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X ) )
11		breldmg 4935	. . . . . . 7 |- ( ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X /\ <. B , A >. F C ) -> <. B , A >. e. dom F )
12	11	3expia 1229	. . . . . 6 |- ( ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. B , A >. e. dom F ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. B , A >. e. dom F ) )
14		opelcnvg 4908	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( <. A , B >. e. `' dom F <-> <. B , A >. e. dom F ) )
15	14	3adant3 1041	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >. e. `' dom F <-> <. B , A >. e. dom F ) )
16	13, 15	sylibrd 169	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. A , B >. e. `' dom F ) )
17		elun1 3372	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. `' dom F -> <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
18	16, 17	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
19	18	pm4.71rd 394	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ <. B , A >. F C ) ) )
20	4, 6, 19	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   u. cun 3196   (/)c0 3492   {csn 3667   <.cop 3670   U.cuni 3891   class class class wbr 4086   `'ccnv 4722   dom cdm 4723  tpos ctpos 6405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-tpos 6406

This theorem is referenced by:  ottposg  6416  dmtpos  6417  rntpos  6418  ovtposg  6420  dftpos3  6423  tpostpos  6425