Theorem brtposg 6081

Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brtposg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )

Proof of Theorem brtposg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opswapg 4961	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >. )
2	1	breq1d 3885	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( U. `' { <. A , B >. } F C <-> <. B , A >. F C ) )
3	2	3adant3 969	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( U. `' { <. A , B >. } F C <-> <. B , A >. F C ) )
4	3	anbi2d 455	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ <. B , A >. F C ) ) )
5		brtpos2 6078	. . 3 |- ( C e. X -> ( <. A , B >.tpos F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) ) )
6	5	3ad2ant3 972	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) ) )
7		opexg 4088	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> <. B , A >. e. _V )
8	7	ancoms 266	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. B , A >. e. _V )
9	8	anim1i 336	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X ) )
10	9	3impa 1144	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X ) )
11		breldmg 4683	. . . . . . 7 |- ( ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X /\ <. B , A >. F C ) -> <. B , A >. e. dom F )
12	11	3expia 1151	. . . . . 6 |- ( ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. B , A >. e. dom F ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. B , A >. e. dom F ) )
14		opelcnvg 4657	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( <. A , B >. e. `' dom F <-> <. B , A >. e. dom F ) )
15	14	3adant3 969	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >. e. `' dom F <-> <. B , A >. e. dom F ) )
16	13, 15	sylibrd 168	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. A , B >. e. `' dom F ) )
17		elun1 3190	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. `' dom F -> <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
18	16, 17	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
19	18	pm4.71rd 389	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ <. B , A >. F C ) ) )
20	4, 6, 19	3bitr4d 219	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 930   e. wcel 1448   _Vcvv 2641   u. cun 3019   (/)c0 3310   {csn 3474   <.cop 3477   U.cuni 3683   class class class wbr 3875   `'ccnv 4476   dom cdm 4477  tpos ctpos 6071

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-fv 5067  df-tpos 6072

This theorem is referenced by:  ottposg  6082  dmtpos  6083  rntpos  6084  ovtposg  6086  dftpos3  6089  tpostpos  6091