Theorem brtposg 6257

Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brtposg	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )

Proof of Theorem brtposg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opswapg 5117	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >. )
2	1	breq1d 4015	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( U. `' { <. A , B >. } F C <-> <. B , A >. F C ) )
3	2	3adant3 1017	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( U. `' { <. A , B >. } F C <-> <. B , A >. F C ) )
4	3	anbi2d 464	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ <. B , A >. F C ) ) )
5		brtpos2 6254	. . 3 |- ( C e. X -> ( <. A , B >.tpos F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) ) )
6	5	3ad2ant3 1020	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { <. A , B >. } F C ) ) )
7		opexg 4230	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> <. B , A >. e. _V )
8	7	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. B , A >. e. _V )
9	8	anim1i 340	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X ) )
10	9	3impa 1194	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X ) )
11		breldmg 4835	. . . . . . 7 |- ( ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X /\ <. B , A >. F C ) -> <. B , A >. e. dom F )
12	11	3expia 1205	. . . . . 6 |- ( ( <. B , A >. e. _V /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. B , A >. e. dom F ) )
13	10, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. B , A >. e. dom F ) )
14		opelcnvg 4809	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( <. A , B >. e. `' dom F <-> <. B , A >. e. dom F ) )
15	14	3adant3 1017	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >. e. `' dom F <-> <. B , A >. e. dom F ) )
16	13, 15	sylibrd 169	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. A , B >. e. `' dom F ) )
17		elun1 3304	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. `' dom F -> <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
18	16, 17	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C -> <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
19	18	pm4.71rd 394	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. B , A >. F C <-> ( <. A , B >. e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ <. B , A >. F C ) ) )
20	4, 6, 19	3bitr4d 220	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C e. X ) -> ( <. A , B >.tpos F C <-> <. B , A >. F C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   u. cun 3129   (/)c0 3424   {csn 3594   <.cop 3597   U.cuni 3811   class class class wbr 4005   `'ccnv 4627   dom cdm 4628  tpos ctpos 6247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-tpos 6248

This theorem is referenced by:  ottposg  6258  dmtpos  6259  rntpos  6260  ovtposg  6262  dftpos3  6265  tpostpos  6267