ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brtposg Unicode version

Theorem brtposg 6001
Description: The transposition swaps arguments of a three-parameter relation. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
brtposg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )

Proof of Theorem brtposg
StepHypRef Expression
1 opswapg 4904 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )
21breq1d 3847 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( U. `' { <. A ,  B >. } F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
323adant3 963 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( U. `' { <. A ,  B >. } F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
43anbi2d 452 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C )  <-> 
( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  <. B ,  A >. F C ) ) )
5 brtpos2 5998 . . 3  |-  ( C  e.  X  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C ) ) )
653ad2ant3 966 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { <. A ,  B >. } F C ) ) )
7 opexg 4046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  -> 
<. B ,  A >.  e. 
_V )
87ancoms 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> 
<. B ,  A >.  e. 
_V )
98anim1i 333 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >.  e. 
_V  /\  C  e.  X ) )
1093impa 1138 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >.  e.  _V  /\  C  e.  X ) )
11 breldmg 4630 . . . . . . 7  |-  ( (
<. B ,  A >.  e. 
_V  /\  C  e.  X  /\  <. B ,  A >. F C )  ->  <. B ,  A >.  e. 
dom  F )
12113expia 1145 . . . . . 6  |-  ( (
<. B ,  A >.  e. 
_V  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. B ,  A >.  e.  dom  F
) )
1310, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. B ,  A >.  e.  dom  F
) )
14 opelcnvg 4604 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  <->  <. B ,  A >.  e. 
dom  F ) )
15143adant3 963 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  <->  <. B ,  A >.  e. 
dom  F ) )
1613, 15sylibrd 167 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. A ,  B >.  e.  `' dom  F ) )
17 elun1 3165 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e.  `' dom  F  ->  <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
1816, 17syl6 33 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >. F C  ->  <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
1918pm4.71rd 386 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. B ,  A >. F C  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  <. B ,  A >. F C ) ) )
204, 6, 193bitr4d 218 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( <. A ,  B >.tpos  F C  <->  <. B ,  A >. F C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    e. wcel 1438   _Vcvv 2619    u. cun 2995   (/)c0 3284   {csn 3441   <.cop 3444   U.cuni 3648   class class class wbr 3837   `'ccnv 4427   dom cdm 4428  tpos ctpos 5991
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-fv 5010  df-tpos 5992
This theorem is referenced by:  ottposg  6002  dmtpos  6003  rntpos  6004  ovtposg  6006  dftpos3  6009  tpostpos  6011
  Copyright terms: Public domain W3C validator