Theorem ottposg 6420

Description: The transposition swaps the first two elements in a collection of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ottposg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹 ↔ ⟨𝐵, 𝐴, 𝐶⟩ ∈ 𝐹))

Proof of Theorem ottposg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtposg 6419	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶))
2		df-br 4089	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩tpos 𝐹𝐶 ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹)
3		df-br 4089	. . 3 ⊢ (⟨𝐵, 𝐴⟩𝐹𝐶 ↔ ⟨⟨𝐵, 𝐴⟩, 𝐶⟩ ∈ 𝐹)
4	1, 2, 3	3bitr3g 222	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹 ↔ ⟨⟨𝐵, 𝐴⟩, 𝐶⟩ ∈ 𝐹))
5		df-ot 3679	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵, 𝐶⟩ = ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩
6	5	eleq1i 2297	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹 ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹)
7		df-ot 3679	. . 3 ⊢ ⟨𝐵, 𝐴, 𝐶⟩ = ⟨⟨𝐵, 𝐴⟩, 𝐶⟩
8	7	eleq1i 2297	. 2 ⊢ (⟨𝐵, 𝐴, 𝐶⟩ ∈ 𝐹 ↔ ⟨⟨𝐵, 𝐴⟩, 𝐶⟩ ∈ 𝐹)
9	4, 6, 8	3bitr4g 223	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (⟨𝐴, 𝐵, 𝐶⟩ ∈ tpos 𝐹 ↔ ⟨𝐵, 𝐴, 𝐶⟩ ∈ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   ∈ wcel 2202  ⟨cop 3672  ⟨cotp 3673   class class class wbr 4088  tpos ctpos 6409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-ot 3679  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-tpos 6410

This theorem is referenced by: (None)