Theorem ovresd 5911

Description: Lemma for converting metric theorems to metric space theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovresd.1	|- ( ph -> A e. X )
ovresd.2	|- ( ph -> B e. X )

Assertion

Ref	Expression
ovresd	|- ( ph -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) = ( A D B ) )

Proof of Theorem ovresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovresd.1	. 2 |- ( ph -> A e. X )
2		ovresd.2	. 2 |- ( ph -> B e. X )
3		ovres 5910	. 2 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) = ( A D B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 408	1 |- ( ph -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) = ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   X. cxp 4537   |` cres 4541  (class class class)co 5774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-res 4551  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777

This theorem is referenced by:  psmetres2  12502  xmetres2  12548  xmssym  12638  xmstri2  12639  mstri2  12640  xmstri  12641  mstri  12642  xmstri3  12643  mstri3  12644  msrtri  12645  limcimolemlt  12802  cnplimcim  12805  cnplimclemr  12807  limccnpcntop  12813  limccnp2lem  12814