Theorem ovresd 6015

Description: Lemma for converting metric theorems to metric space theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovresd.1	|- ( ph -> A e. X )
ovresd.2	|- ( ph -> B e. X )

Assertion

Ref	Expression
ovresd	|- ( ph -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) = ( A D B ) )

Proof of Theorem ovresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovresd.1	. 2 |- ( ph -> A e. X )
2		ovresd.2	. 2 |- ( ph -> B e. X )
3		ovres 6014	. 2 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) = ( A D B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) = ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   X. cxp 4625   |` cres 4629  (class class class)co 5875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-res 4639  df-iota 5179  df-fv 5225  df-ov 5878

This theorem is referenced by:  psmetres2  13836  xmetres2  13882  xmssym  13972  xmstri2  13973  mstri2  13974  xmstri  13975  mstri  13976  xmstri3  13977  mstri3  13978  msrtri  13979  limcimolemlt  14136  cnplimcim  14139  cnplimclemr  14141  limccnpcntop  14147  limccnp2lem  14148