Theorem msrtri 15033

Description: Reverse triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mscl.x	|- X = ( Base ` M )
mscl.d	|- D = ( dist ` M )

Assertion

Ref	Expression
msrtri	|- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) )

Proof of Theorem msrtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mscl.x	. . . 4 |- X = ( Base ` M )
2		mscl.d	. . . 4 |- D = ( dist ` M )
3	1, 2	msmet2 15021	. . 3 |- ( M e. MetSp -> ( D |` ( X X. X ) ) e. ( Met ` X ) )
4		metrtri 14934	. . 3 |- ( ( ( D |` ( X X. X ) ) e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A ( D |` ( X X. X ) ) C ) - ( B ( D |` ( X X. X ) ) C ) ) ) <_ ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) )
5	3, 4	sylan 283	. 2 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A ( D |` ( X X. X ) ) C ) - ( B ( D |` ( X X. X ) ) C ) ) ) <_ ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) )
6		simpr1 1006	. . . . 5 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. X )
7		simpr3 1008	. . . . 5 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X )
8	6, 7	ovresd 6105	. . . 4 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) C ) = ( A D C ) )
9		simpr2 1007	. . . . 5 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X )
10	9, 7	ovresd 6105	. . . 4 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B ( D |` ( X X. X ) ) C ) = ( B D C ) )
11	8, 10	oveq12d 5980	. . 3 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A ( D |` ( X X. X ) ) C ) - ( B ( D |` ( X X. X ) ) C ) ) = ( ( A D C ) - ( B D C ) ) )
12	11	fveq2d 5598	. 2 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A ( D |` ( X X. X ) ) C ) - ( B ( D |` ( X X. X ) ) C ) ) ) = ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) )
13	6, 9	ovresd 6105	. 2 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) = ( A D B ) )
14	5, 12, 13	3brtr3d 4085	1 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4054   X. cxp 4686   |` cres 4690   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   <_ cle 8138   - cmin 8273   abscabs 11393   Basecbs 12917   distcds 13003   Metcmet 14384   MetSpcms 14894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074  ax-caucvg 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-isom 5294  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-map 6755  df-sup 7107  df-inf 7108  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-7 9130  df-8 9131  df-9 9132  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-q 9771  df-rp 9806  df-xneg 9924  df-xadd 9925  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-cj 11238  df-re 11239  df-im 11240  df-rsqrt 11394  df-abs 11395  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-tset 13013  df-rest 13158  df-topn 13159  df-topgen 13177  df-psmet 14390  df-xmet 14391  df-met 14392  df-bl 14393  df-mopn 14394  df-top 14555  df-topon 14568  df-topsp 14588  df-bases 14600  df-xms 14896  df-ms 14897

This theorem is referenced by: (None)