Theorem msrtri 14948

Description: Reverse triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mscl.x	|- X = ( Base ` M )
mscl.d	|- D = ( dist ` M )

Assertion

Ref	Expression
msrtri	|- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) )

Proof of Theorem msrtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mscl.x	. . . 4 |- X = ( Base ` M )
2		mscl.d	. . . 4 |- D = ( dist ` M )
3	1, 2	msmet2 14936	. . 3 |- ( M e. MetSp -> ( D |` ( X X. X ) ) e. ( Met ` X ) )
4		metrtri 14849	. . 3 |- ( ( ( D |` ( X X. X ) ) e. ( Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A ( D |` ( X X. X ) ) C ) - ( B ( D |` ( X X. X ) ) C ) ) ) <_ ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) )
5	3, 4	sylan 283	. 2 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A ( D |` ( X X. X ) ) C ) - ( B ( D |` ( X X. X ) ) C ) ) ) <_ ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) )
6		simpr1 1006	. . . . 5 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. X )
7		simpr3 1008	. . . . 5 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X )
8	6, 7	ovresd 6087	. . . 4 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) C ) = ( A D C ) )
9		simpr2 1007	. . . . 5 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X )
10	9, 7	ovresd 6087	. . . 4 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B ( D |` ( X X. X ) ) C ) = ( B D C ) )
11	8, 10	oveq12d 5962	. . 3 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A ( D |` ( X X. X ) ) C ) - ( B ( D |` ( X X. X ) ) C ) ) = ( ( A D C ) - ( B D C ) ) )
12	11	fveq2d 5580	. 2 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A ( D |` ( X X. X ) ) C ) - ( B ( D |` ( X X. X ) ) C ) ) ) = ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) )
13	6, 9	ovresd 6087	. 2 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A ( D |` ( X X. X ) ) B ) = ( A D B ) )
14	5, 12, 13	3brtr3d 4075	1 |- ( ( M e. MetSp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( abs ` ( ( A D C ) - ( B D C ) ) ) <_ ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   X. cxp 4673   |` cres 4677   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   <_ cle 8108   - cmin 8243   abscabs 11308   Basecbs 12832   distcds 12918   Metcmet 14299   MetSpcms 14809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-map 6737  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-xneg 9894  df-xadd 9895  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-tset 12928  df-rest 13073  df-topn 13074  df-topgen 13092  df-psmet 14305  df-xmet 14306  df-met 14307  df-bl 14308  df-mopn 14309  df-top 14470  df-topon 14483  df-topsp 14503  df-bases 14515  df-xms 14811  df-ms 14812

This theorem is referenced by: (None)