Theorem ovres 6155

Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ovres	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A ( F |` ( C X. D ) ) B ) = ( A F B ) )

Proof of Theorem ovres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4753	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> <. A , B >. e. ( C X. D ) )
2		fvres 5657	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) -> ( ( F |` ( C X. D ) ) ` <. A , B >. ) = ( F ` <. A , B >. ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( ( F |` ( C X. D ) ) ` <. A , B >. ) = ( F ` <. A , B >. ) )
4		df-ov 6014	. 2 |- ( A ( F |` ( C X. D ) ) B ) = ( ( F |` ( C X. D ) ) ` <. A , B >. )
5		df-ov 6014	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2287	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A ( F |` ( C X. D ) ) B ) = ( A F B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3670   X. cxp 4719   |` cres 4723   ` cfv 5322  (class class class)co 6011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-br 4085  df-opab 4147  df-xp 4727  df-res 4733  df-iota 5282  df-fv 5330  df-ov 6014

This theorem is referenced by:  ovresd  6156  oprssov  6157  ofmresval  6240  elq  9844  mgmsscl  13431  grpissubg  13768  xmetres2  15090  blres  15145  xmetresbl  15151  mscl  15176  xmscl  15177  xmsge0  15178  xmseq0  15179  divcnap  15276  cncfmet  15303  mpodvdsmulf1o  15701