Theorem ovres 6086

Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ovres	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A ( F |` ( C X. D ) ) B ) = ( A F B ) )

Proof of Theorem ovres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4707	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> <. A , B >. e. ( C X. D ) )
2		fvres 5600	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) -> ( ( F |` ( C X. D ) ) ` <. A , B >. ) = ( F ` <. A , B >. ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( ( F |` ( C X. D ) ) ` <. A , B >. ) = ( F ` <. A , B >. ) )
4		df-ov 5947	. 2 |- ( A ( F |` ( C X. D ) ) B ) = ( ( F |` ( C X. D ) ) ` <. A , B >. )
5		df-ov 5947	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2263	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A ( F |` ( C X. D ) ) B ) = ( A F B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636   X. cxp 4673   |` cres 4677   ` cfv 5271  (class class class)co 5944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-res 4687  df-iota 5232  df-fv 5279  df-ov 5947

This theorem is referenced by:  ovresd  6087  oprssov  6088  ofmresval  6170  elq  9743  mgmsscl  13193  grpissubg  13530  xmetres2  14851  blres  14906  xmetresbl  14912  mscl  14937  xmscl  14938  xmsge0  14939  xmseq0  14940  divcnap  15037  cncfmet  15064  mpodvdsmulf1o  15462