Theorem ovres 6145

Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ovres	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A ( F |` ( C X. D ) ) B ) = ( A F B ) )

Proof of Theorem ovres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4751	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> <. A , B >. e. ( C X. D ) )
2		fvres 5651	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) -> ( ( F |` ( C X. D ) ) ` <. A , B >. ) = ( F ` <. A , B >. ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( ( F |` ( C X. D ) ) ` <. A , B >. ) = ( F ` <. A , B >. ) )
4		df-ov 6004	. 2 |- ( A ( F |` ( C X. D ) ) B ) = ( ( F |` ( C X. D ) ) ` <. A , B >. )
5		df-ov 6004	. 2 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
6	3, 4, 5	3eqtr4g 2287	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A ( F |` ( C X. D ) ) B ) = ( A F B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   X. cxp 4717   |` cres 4721   ` cfv 5318  (class class class)co 6001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-res 4731  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6004

This theorem is referenced by:  ovresd  6146  oprssov  6147  ofmresval  6230  elq  9817  mgmsscl  13394  grpissubg  13731  xmetres2  15053  blres  15108  xmetresbl  15114  mscl  15139  xmscl  15140  xmsge0  15141  xmseq0  15142  divcnap  15239  cncfmet  15266  mpodvdsmulf1o  15664