Theorem psmetres2 14920

Description: Restriction of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetres2	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. (PsMet ` R ) )

Proof of Theorem psmetres2

Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psmetf 14912	. . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
3		simpr 110	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> R C_ X )
4		xpss12 4800	. . . 4 |- ( ( R C_ X /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
5	3, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
6	2, 5	fssresd 5474	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR* )
7		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> a e. R )
8	7, 7	ovresd 6110	. . . . 5 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> ( a ( D |` ( R X. R ) ) a ) = ( a D a ) )
9		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> D e. (PsMet ` X ) )
10	3	sselda 3201	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> a e. X )
11		psmet0 14914	. . . . . 6 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ a e. X ) -> ( a D a ) = 0 )
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> ( a D a ) = 0 )
13	8, 12	eqtrd 2240	. . . 4 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> ( a ( D |` ( R X. R ) ) a ) = 0 )
14	9	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> D e. (PsMet ` X ) )
15	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) -> R C_ X )
16	15	sselda 3201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> c e. X )
17	10	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> a e. X )
18	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> R C_ X )
19	18	sselda 3201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) -> b e. X )
20	19	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> b e. X )
21		psmettri2 14915	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( c e. X /\ a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
22	14, 16, 17, 20, 21	syl13anc 1252	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
23	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) -> a e. R )
24		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) -> b e. R )
25	23, 24	ovresd 6110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) -> ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) = ( a D b ) )
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) = ( a D b ) )
27		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> c e. R )
28	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> a e. R )
29	27, 28	ovresd 6110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) = ( c D a ) )
30	24	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> b e. R )
31	27, 30	ovresd 6110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) = ( c D b ) )
32	29, 31	oveq12d 5985	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> ( ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) +e ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) ) = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
33	22, 26, 32	3brtr4d 4091	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) <_ ( ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) +e ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) ) )
34	33	ralrimiva 2581	. . . . 5 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) -> A. c e. R ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) <_ ( ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) +e ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) ) )
35	34	ralrimiva 2581	. . . 4 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> A. b e. R A. c e. R ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) <_ ( ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) +e ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) ) )
36	13, 35	jca 306	. . 3 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> ( ( a ( D |` ( R X. R ) ) a ) = 0 /\ A. b e. R A. c e. R ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) <_ ( ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) +e ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) ) ) )
37	36	ralrimiva 2581	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> A. a e. R ( ( a ( D |` ( R X. R ) ) a ) = 0 /\ A. b e. R A. c e. R ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) <_ ( ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) +e ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) ) ) )
38		df-psmet 14420	. . . . . 6 |- PsMet = ( a e. _V |-> { b e. ( RR* ^m ( a X. a ) ) | A. c e. a ( ( c b c ) = 0 /\ A. d e. a A. e e. a ( c b d ) <_ ( ( e b c ) +e ( e b d ) ) ) } )
39	38	mptrcl 5685	. . . . 5 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X e. _V )
40	39	adantr 276	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> X e. _V )
41	40, 3	ssexd 4200	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> R e. _V )
42		ispsmet 14910	. . 3 |- ( R e. _V -> ( ( D |` ( R X. R ) ) e. (PsMet ` R ) <-> ( ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR* /\ A. a e. R ( ( a ( D |` ( R X. R ) ) a ) = 0 /\ A. b e. R A. c e. R ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) <_ ( ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) +e ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) ) ) ) ) )
43	41, 42	syl 14	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> ( ( D |` ( R X. R ) ) e. (PsMet ` R ) <-> ( ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR* /\ A. a e. R ( ( a ( D |` ( R X. R ) ) a ) = 0 /\ A. b e. R A. c e. R ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) <_ ( ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) +e ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) ) ) ) ) )
44	6, 37, 43	mpbir2and 947	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. (PsMet ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   {crab 2490   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   X. cxp 4691   |` cres 4695   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   ^m cmap 6758   0cc0 7960   RR*cxr 8141   <_ cle 8143   +ecxad 9927  PsMetcpsmet 14412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-map 6760  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-psmet 14420

This theorem is referenced by: (None)