Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  psmetres2 Unicode version

Theorem psmetres2 12539
 Description: Restriction of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetres2 PsMet PsMet

Proof of Theorem psmetres2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psmetf 12531 . . . 4 PsMet
21adantr 274 . . 3 PsMet
3 simpr 109 . . . 4 PsMet
4 xpss12 4653 . . . 4
53, 3, 4syl2anc 409 . . 3 PsMet
62, 5fssresd 5306 . 2 PsMet
7 simpr 109 . . . . . 6 PsMet
87, 7ovresd 5918 . . . . 5 PsMet
9 simpll 519 . . . . . 6 PsMet PsMet
103sselda 3101 . . . . . 6 PsMet
11 psmet0 12533 . . . . . 6 PsMet
129, 10, 11syl2anc 409 . . . . 5 PsMet
138, 12eqtrd 2173 . . . 4 PsMet
149ad2antrr 480 . . . . . . . 8 PsMet PsMet
153ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 PsMet
1615sselda 3101 . . . . . . . 8 PsMet
1710ad2antrr 480 . . . . . . . 8 PsMet
183adantr 274 . . . . . . . . . 10 PsMet
1918sselda 3101 . . . . . . . . 9 PsMet
2019adantr 274 . . . . . . . 8 PsMet
21 psmettri2 12534 . . . . . . . 8 PsMet
2214, 16, 17, 20, 21syl13anc 1219 . . . . . . 7 PsMet
237adantr 274 . . . . . . . . 9 PsMet
24 simpr 109 . . . . . . . . 9 PsMet
2523, 24ovresd 5918 . . . . . . . 8 PsMet
2625adantr 274 . . . . . . 7 PsMet
27 simpr 109 . . . . . . . . 9 PsMet
287ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 PsMet
2927, 28ovresd 5918 . . . . . . . 8 PsMet
3024adantr 274 . . . . . . . . 9 PsMet
3127, 30ovresd 5918 . . . . . . . 8 PsMet
3229, 31oveq12d 5799 . . . . . . 7 PsMet
3322, 26, 323brtr4d 3967 . . . . . 6 PsMet
3433ralrimiva 2508 . . . . 5 PsMet
3534ralrimiva 2508 . . . 4 PsMet
3613, 35jca 304 . . 3 PsMet
3736ralrimiva 2508 . 2 PsMet
38 df-psmet 12193 . . . . . 6 PsMet
3938mptrcl 5510 . . . . 5 PsMet
4039adantr 274 . . . 4 PsMet
4140, 3ssexd 4075 . . 3 PsMet
42 ispsmet 12529 . . 3 PsMet
4341, 42syl 14 . 2 PsMet PsMet
446, 37, 43mpbir2and 929 1 PsMet PsMet
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481  wral 2417  crab 2421  cvv 2689   wss 3075   class class class wbr 3936   cxp 4544   cres 4548  wf 5126  cfv 5130  (class class class)co 5781   cmap 6549  cc0 7643  cxr 7822   cle 7824  cxad 9586  PsMetcpsmet 12185 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-map 6551  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-psmet 12193 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator