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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > psmetres2 | Unicode version |
Description: Restriction of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.) |
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psmetres2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | psmetf 14282 |
. . . 4
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2 | 1 | adantr 276 |
. . 3
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3 | simpr 110 |
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4 | xpss12 4751 |
. . . 4
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5 | 3, 3, 4 | syl2anc 411 |
. . 3
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6 | 2, 5 | fssresd 5411 |
. 2
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7 | simpr 110 |
. . . . . 6
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8 | 7, 7 | ovresd 6037 |
. . . . 5
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9 | simpll 527 |
. . . . . 6
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10 | 3 | sselda 3170 |
. . . . . 6
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11 | psmet0 14284 |
. . . . . 6
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12 | 9, 10, 11 | syl2anc 411 |
. . . . 5
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13 | 8, 12 | eqtrd 2222 |
. . . 4
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14 | 9 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
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15 | 3 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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16 | 15 | sselda 3170 |
. . . . . . . 8
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17 | 10 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . 8
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18 | 3 | adantr 276 |
. . . . . . . . . 10
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19 | 18 | sselda 3170 |
. . . . . . . . 9
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20 | 19 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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21 | psmettri2 14285 |
. . . . . . . 8
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22 | 14, 16, 17, 20, 21 | syl13anc 1251 |
. . . . . . 7
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23 | 7 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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24 | simpr 110 |
. . . . . . . . 9
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25 | 23, 24 | ovresd 6037 |
. . . . . . . 8
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26 | 25 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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27 | simpr 110 |
. . . . . . . . 9
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28 | 7 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . 9
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29 | 27, 28 | ovresd 6037 |
. . . . . . . 8
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30 | 24 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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31 | 27, 30 | ovresd 6037 |
. . . . . . . 8
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32 | 29, 31 | oveq12d 5914 |
. . . . . . 7
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33 | 22, 26, 32 | 3brtr4d 4050 |
. . . . . 6
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34 | 33 | ralrimiva 2563 |
. . . . 5
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35 | 34 | ralrimiva 2563 |
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36 | 13, 35 | jca 306 |
. . 3
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37 | 36 | ralrimiva 2563 |
. 2
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38 | df-psmet 13856 |
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39 | 38 | mptrcl 5619 |
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40 | 39 | adantr 276 |
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41 | 40, 3 | ssexd 4158 |
. . 3
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42 | ispsmet 14280 |
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43 | 41, 42 | syl 14 |
. 2
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44 | 6, 37, 43 | mpbir2and 946 |
1
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Colors of variables: wff set class |
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This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-cnex 7932 ax-resscn 7933 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-ral 2473 df-rex 2474 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4311 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-fv 5243 df-ov 5899 df-oprab 5900 df-mpo 5901 df-map 6676 df-pnf 8024 df-mnf 8025 df-xr 8026 df-psmet 13856 |
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