Theorem psmetres2 13500

Description: Restriction of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetres2	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. (PsMet ` R ) )

Proof of Theorem psmetres2

Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psmetf 13492	. . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* )
3		simpr 110	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> R C_ X )
4		xpss12 4730	. . . 4 |- ( ( R C_ X /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
5	3, 3, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> ( R X. R ) C_ ( X X. X ) )
6	2, 5	fssresd 5388	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR* )
7		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> a e. R )
8	7, 7	ovresd 6009	. . . . 5 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> ( a ( D |` ( R X. R ) ) a ) = ( a D a ) )
9		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> D e. (PsMet ` X ) )
10	3	sselda 3155	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> a e. X )
11		psmet0 13494	. . . . . 6 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ a e. X ) -> ( a D a ) = 0 )
12	9, 10, 11	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> ( a D a ) = 0 )
13	8, 12	eqtrd 2210	. . . 4 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> ( a ( D |` ( R X. R ) ) a ) = 0 )
14	9	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> D e. (PsMet ` X ) )
15	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) -> R C_ X )
16	15	sselda 3155	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> c e. X )
17	10	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> a e. X )
18	3	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> R C_ X )
19	18	sselda 3155	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) -> b e. X )
20	19	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> b e. X )
21		psmettri2 13495	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( c e. X /\ a e. X /\ b e. X ) ) -> ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
22	14, 16, 17, 20, 21	syl13anc 1240	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
23	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) -> a e. R )
24		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) -> b e. R )
25	23, 24	ovresd 6009	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) -> ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) = ( a D b ) )
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) = ( a D b ) )
27		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> c e. R )
28	7	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> a e. R )
29	27, 28	ovresd 6009	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) = ( c D a ) )
30	24	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> b e. R )
31	27, 30	ovresd 6009	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) = ( c D b ) )
32	29, 31	oveq12d 5887	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> ( ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) +e ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) ) = ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
33	22, 26, 32	3brtr4d 4032	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) /\ c e. R ) -> ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) <_ ( ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) +e ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) ) )
34	33	ralrimiva 2550	. . . . 5 |- ( ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) /\ b e. R ) -> A. c e. R ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) <_ ( ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) +e ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) ) )
35	34	ralrimiva 2550	. . . 4 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> A. b e. R A. c e. R ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) <_ ( ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) +e ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) ) )
36	13, 35	jca 306	. . 3 |- ( ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) /\ a e. R ) -> ( ( a ( D |` ( R X. R ) ) a ) = 0 /\ A. b e. R A. c e. R ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) <_ ( ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) +e ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) ) ) )
37	36	ralrimiva 2550	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> A. a e. R ( ( a ( D |` ( R X. R ) ) a ) = 0 /\ A. b e. R A. c e. R ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) <_ ( ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) +e ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) ) ) )
38		df-psmet 13154	. . . . . 6 |- PsMet = ( a e. _V |-> { b e. ( RR* ^m ( a X. a ) ) | A. c e. a ( ( c b c ) = 0 /\ A. d e. a A. e e. a ( c b d ) <_ ( ( e b c ) +e ( e b d ) ) ) } )
39	38	mptrcl 5594	. . . . 5 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X e. _V )
40	39	adantr 276	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> X e. _V )
41	40, 3	ssexd 4140	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> R e. _V )
42		ispsmet 13490	. . 3 |- ( R e. _V -> ( ( D |` ( R X. R ) ) e. (PsMet ` R ) <-> ( ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR* /\ A. a e. R ( ( a ( D |` ( R X. R ) ) a ) = 0 /\ A. b e. R A. c e. R ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) <_ ( ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) +e ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) ) ) ) ) )
43	41, 42	syl 14	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> ( ( D |` ( R X. R ) ) e. (PsMet ` R ) <-> ( ( D |` ( R X. R ) ) : ( R X. R ) --> RR* /\ A. a e. R ( ( a ( D |` ( R X. R ) ) a ) = 0 /\ A. b e. R A. c e. R ( a ( D |` ( R X. R ) ) b ) <_ ( ( c ( D |` ( R X. R ) ) a ) +e ( c ( D |` ( R X. R ) ) b ) ) ) ) ) )
44	6, 37, 43	mpbir2and 944	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ R C_ X ) -> ( D |` ( R X. R ) ) e. (PsMet ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   class class class wbr 4000   X. cxp 4621   |` cres 4625   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   ^m cmap 6642   0cc0 7802   RR*cxr 7981   <_ cle 7983   +ecxad 9757  PsMetcpsmet 13146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-map 6644  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-psmet 13154

This theorem is referenced by: (None)