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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > psmetres2 | Unicode version |
Description: Restriction of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.) |
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psmetres2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | psmetf 12253 |
. . . 4
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2 | 1 | adantr 272 |
. . 3
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3 | simpr 109 |
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4 | xpss12 4584 |
. . . 4
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5 | 3, 3, 4 | syl2anc 406 |
. . 3
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6 | 2, 5 | fssresd 5235 |
. 2
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7 | simpr 109 |
. . . . . 6
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8 | 7, 7 | ovresd 5843 |
. . . . 5
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9 | simpll 499 |
. . . . . 6
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10 | 3 | sselda 3047 |
. . . . . 6
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11 | psmet0 12255 |
. . . . . 6
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12 | 9, 10, 11 | syl2anc 406 |
. . . . 5
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13 | 8, 12 | eqtrd 2132 |
. . . 4
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14 | 9 | ad2antrr 475 |
. . . . . . . 8
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15 | 3 | ad2antrr 475 |
. . . . . . . . 9
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16 | 15 | sselda 3047 |
. . . . . . . 8
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17 | 10 | ad2antrr 475 |
. . . . . . . 8
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18 | 3 | adantr 272 |
. . . . . . . . . 10
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19 | 18 | sselda 3047 |
. . . . . . . . 9
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20 | 19 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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21 | psmettri2 12256 |
. . . . . . . 8
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22 | 14, 16, 17, 20, 21 | syl13anc 1186 |
. . . . . . 7
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23 | 7 | adantr 272 |
. . . . . . . . 9
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24 | simpr 109 |
. . . . . . . . 9
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25 | 23, 24 | ovresd 5843 |
. . . . . . . 8
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26 | 25 | adantr 272 |
. . . . . . 7
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27 | simpr 109 |
. . . . . . . . 9
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28 | 7 | ad2antrr 475 |
. . . . . . . . 9
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29 | 27, 28 | ovresd 5843 |
. . . . . . . 8
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30 | 24 | adantr 272 |
. . . . . . . . 9
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31 | 27, 30 | ovresd 5843 |
. . . . . . . 8
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32 | 29, 31 | oveq12d 5724 |
. . . . . . 7
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33 | 22, 26, 32 | 3brtr4d 3905 |
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34 | 33 | ralrimiva 2464 |
. . . . 5
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35 | 34 | ralrimiva 2464 |
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36 | 13, 35 | jca 302 |
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37 | 36 | ralrimiva 2464 |
. 2
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38 | df-psmet 11938 |
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39 | 38 | mptrcl 5435 |
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40 | 39 | adantr 272 |
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41 | 40, 3 | ssexd 4008 |
. . 3
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42 | ispsmet 12251 |
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43 | 41, 42 | syl 14 |
. 2
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44 | 6, 37, 43 | mpbir2and 896 |
1
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Colors of variables: wff set class |
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This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-sep 3986 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-ral 2380 df-rex 2381 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-id 4153 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-fv 5067 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-map 6474 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-psmet 11938 |
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