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Theorem psmetres2 12539
Description: Restriction of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
psmetres2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  (PsMet `  R )
)

Proof of Theorem psmetres2
Dummy variables  a  b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psmetf 12531 . . . 4  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR* )
21adantr 274 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
3 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  R  C_  X )
4 xpss12 4653 . . . 4  |-  ( ( R  C_  X  /\  R  C_  X )  -> 
( R  X.  R
)  C_  ( X  X.  X ) )
53, 3, 4syl2anc 409 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( R  X.  R )  C_  ( X  X.  X
) )
62, 5fssresd 5306 . 2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) ) : ( R  X.  R
) --> RR* )
7 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  a  e.  R )
87, 7ovresd 5918 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a )  =  ( a D a ) )
9 simpll 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
103sselda 3101 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  a  e.  X )
11 psmet0 12533 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  a  e.  X )  ->  (
a D a )  =  0 )
129, 10, 11syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  (
a D a )  =  0 )
138, 12eqtrd 2173 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a )  =  0 )
149ad2antrr 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
153ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R
)  /\  b  e.  R )  ->  R  C_  X )
1615sselda 3101 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  c  e.  X )
1710ad2antrr 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  a  e.  X )
183adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  R  C_  X )
1918sselda 3101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R
)  /\  b  e.  R )  ->  b  e.  X )
2019adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  b  e.  X )
21 psmettri2 12534 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  (
c  e.  X  /\  a  e.  X  /\  b  e.  X )
)  ->  ( a D b )  <_ 
( ( c D a ) +e
( c D b ) ) )
2214, 16, 17, 20, 21syl13anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  (
a D b )  <_  ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
237adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R
)  /\  b  e.  R )  ->  a  e.  R )
24 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R
)  /\  b  e.  R )  ->  b  e.  R )
2523, 24ovresd 5918 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R
)  /\  b  e.  R )  ->  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  =  ( a D b ) )
2625adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  =  ( a D b ) )
27 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  c  e.  R )
287ad2antrr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  a  e.  R )
2927, 28ovresd 5918 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  (
c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a )  =  ( c D a ) )
3024adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  b  e.  R )
3127, 30ovresd 5918 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  (
c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  =  ( c D b ) )
3229, 31oveq12d 5799 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  (
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a ) +e ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) b ) )  =  ( ( c D a ) +e
( c D b ) ) )
3322, 26, 323brtr4d 3967 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X
)  /\  R  C_  X
)  /\  a  e.  R )  /\  b  e.  R )  /\  c  e.  R )  ->  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  <_  ( ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) a ) +e
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b ) ) )
3433ralrimiva 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R
)  /\  b  e.  R )  ->  A. c  e.  R  ( a
( D  |`  ( R  X.  R ) ) b )  <_  (
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a ) +e ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) b ) ) )
3534ralrimiva 2508 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  A. b  e.  R  A. c  e.  R  ( a
( D  |`  ( R  X.  R ) ) b )  <_  (
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a ) +e ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) b ) ) )
3613, 35jca 304 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  /\  a  e.  R )  ->  (
( a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a )  =  0  /\  A. b  e.  R  A. c  e.  R  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  <_  ( ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) a ) +e
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b ) ) ) )
3736ralrimiva 2508 . 2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  A. a  e.  R  ( (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a )  =  0  /\  A. b  e.  R  A. c  e.  R  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  <_  ( ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) a ) +e
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b ) ) ) )
38 df-psmet 12193 . . . . . 6  |- PsMet  =  ( a  e.  _V  |->  { b  e.  ( RR*  ^m  ( a  X.  a
) )  |  A. c  e.  a  (
( c b c )  =  0  /\ 
A. d  e.  a 
A. e  e.  a  ( c b d )  <_  ( (
e b c ) +e ( e b d ) ) ) } )
3938mptrcl 5510 . . . . 5  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  X  e.  _V )
4039adantr 274 . . . 4  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  X  e.  _V )
4140, 3ssexd 4075 . . 3  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  R  e.  _V )
42 ispsmet 12529 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  (
( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  (PsMet `  R
)  <->  ( ( D  |`  ( R  X.  R
) ) : ( R  X.  R ) -->
RR*  /\  A. a  e.  R  ( (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a )  =  0  /\  A. b  e.  R  A. c  e.  R  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  <_  ( ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) a ) +e
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b ) ) ) ) ) )
4341, 42syl 14 . 2  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  (
( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  (PsMet `  R
)  <->  ( ( D  |`  ( R  X.  R
) ) : ( R  X.  R ) -->
RR*  /\  A. a  e.  R  ( (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) a )  =  0  /\  A. b  e.  R  A. c  e.  R  (
a ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b )  <_  ( ( c ( D  |`  ( R  X.  R ) ) a ) +e
( c ( D  |`  ( R  X.  R
) ) b ) ) ) ) ) )
446, 37, 43mpbir2and 929 1  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  R  C_  X )  ->  ( D  |`  ( R  X.  R ) )  e.  (PsMet `  R )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   {crab 2421   _Vcvv 2689    C_ wss 3075   class class class wbr 3936    X. cxp 4544    |` cres 4548   -->wf 5126   ` cfv 5130  (class class class)co 5781    ^m cmap 6549   0cc0 7643   RR*cxr 7822    <_ cle 7824   +ecxad 9586  PsMetcpsmet 12185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-map 6551  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-psmet 12193
This theorem is referenced by: (None)
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